2018届二轮复习 函数的图象与性质 课件（全国通用）

2018届二轮复习 函数的图象与性质 课件（全国通用）

第 1 讲 函数的图象与性质 考情分析 年份 卷别 题号 考查内容 命题规律 2017 Ⅰ 5 函数的性质与不等式 　　1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等,主要考查求函数的定义域,分段函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别. 2.此部分内容有时出现在选择题、填空题压轴题的位置,多与导数、不等式、创新性问题结合命题,难度较大. Ⅲ 15 分段函数与不等式 2016 Ⅰ 7 函数图象的判断 Ⅱ 12 函数图象的对称性及应用 2015 Ⅰ 13 偶函数的定义 Ⅱ 5,10 分段函数的求值,函数图象的判断 总纲目录 考点一   函数及其表示 考点二 函数的图象及其应用（高频考点） 考点三 函数的性质（高频考点） 考点一    函数及其表示 　　1.函数的三要素:定义域、值域和对应关系.注意“定义域优先”的 原则. 2.分段函数:分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数. 典型例题 　　(1)(2017课标全国Ⅲ,15,5分)设函数 f ( x )=   则满足 f ( x )+ f   >1的 x 的取值范围是 　　　     . (2)(2016浙江,12,6分)设函数 f ( x )= x 3 +3 x 2 +1.已知 a ≠ 0,且 f ( x )- f ( a )=( x - b )( x - a ) 2 , x ∈R,则实数 a = 　　　     , b = 　　　     . 答案　(1)   　(2)-2;1 解析 　(1)当 x >   时, f ( x )+ f   =2 x +   >2 x >   >1; 当0< x ≤   时, f ( x )+ f   =2 x +   +1=2 x + x +   >2 x >1;当 x ≤ 0时, f ( x )+ f   = x +1+   +1=2 x +   ,∴ f ( x )+ f   >1 ⇒ 2 x +   >1 ⇒ x >-   ,即-   < x ≤ 0. 综上, x ∈   . (2) f ( x )- f ( a )= x 3 +3 x 2 +1-( a 3 +3 a 2 +1) = x 3 - a 3 +3( x 2 - a 2 )=( x - a )( x 2 + ax + a 2 )+3( x - a )( x + a ) =( x - a )[ x 2 +( a +3) x + a 2 +3 a ]=( x - b )( x - a ) 2 , 即 x 2 +( a +3) x + a 2 +3 a =0的两个根分别为 a , b , 由 a 2 +( a +3) a + a 2 +3 a =0,得 a =0(舍去)或 a =-2. 当 a =-2时,方程为 x 2 + x -2=0,则 b =1. 方法归纳 求函数值时的三个关注点 (1) 形如 f ( g ( x )) 的函数求值时 , 应遵循先内后外的原则 . (2) 对于分段函数的求值 ( 解不等式 ) 问题 , 必须依据条件准确地找出利用 哪一段求解 . (3) 对于利用函数性质的求值问题 , 必须依据条件找到函数满足的性质 , 利用该性质求解 . 跟踪集训 1.函数 f ( x )=   +lg(3 x +1)的定义域是   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案     A　由题意可知   即   所以-   < x <1,故选A. 2.(2017石家庄教学质量检测(一))设函数 f ( x )=   若 f   =2, 则实数 n 为   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   答案     D　因为 f   =2 ×   + n =   + n ,当   + n <1,即 n <-   时, f   =2   + n =2,解得 n =-   ,不符合题意;当   + n ≥ 1,即 n ≥ -   时, f   =log 2   =2,即   + n =4,解得 n =   ,故选D. 考点二    函数的图象及其应用(高频考点) 命题点 1.由函数解析式确定图象. 2.由图象确定函数解析式. 3.函数图象的变换. 4.函数图象的应用. 作函数图象有两种基本方法:一是描点法,二是图象变换法,其中图象变 换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 典型例题 　　(1)(2017惠州第三次调研考试)函数 f ( x )=   cos x (-π ≤ x ≤ π且 x ≠ 0)的图象可能为   (　　)   (2)已知 f ( x )=2 x -1, g ( x )=1- x 2 ,规定:当| f ( x )| ≥ g ( x )时, h ( x )=| f ( x )|;当| f ( x )|< g ( x )时, h ( x )=- g ( x ),则 h ( x )   (　　) A.有最小值-1,最大值1 B.有最大值1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值 解析 　(1)因为 f (- x )=   cos(- x )=-   ·cos x =- f ( x ),故函数 f ( x )是奇 函数,所以排除A,B;取 x =π,则 f (π)=   cos π=-   <0,所以排除C. 故选D. (2)由题意并利用平移变换的知识画出函数| f ( x )|, g ( x )的图象,如图.   答案 　(1)D　(2)C 而 h ( x )=   故 h ( x )有最小值-1,无最大值.   方法归纳 由函数解析式识别函数图象的策略 A. f ( x )=   　    B. f ( x )=   C. f ( x )=-   　    D. f ( x )=   1.(2017 武汉武昌调研考试 ) 已知函数 f ( x ) 的部分图象如图所示 , 则 f ( x ) 的 解析式可以是   ( 　　 ) 答案     D    A中,当 x →+ ∞ 时, f ( x )→- ∞ ,与题图不符,故不成立; B为偶函数,与题图不符,故不成立; C中,当 x →0 + 时, f ( x )<0,与题图不符,故不成立,故选D. 跟踪集训 2.已知函数 y =log a ( x + c )( a , c 为常数,其中 a >0,且 a ≠ 1)的图象如图所示,则 下列结论成立的是   (　　)   A. a >1, c >1　    B. a >1,0< c <1 C.0< a <1, c >1　    D.0< a <1,0< c <1 答案     D　由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0< a <1.又当 x =0 时, y >0,即log a c >0,所以0< c <1. 3.已知定义在区间[0,4]上的函数 y = f ( x )的图象如图所示,则 y =- f (2- x )的图 象为   (　　)   答案     D　解法一:先作出函数 y = f ( x )的图象关于 y 轴的对称图象,得到 y = f (- x )的图象;然后将 y = f (- x )的图象向右平移2个单位,得到 y = f (2- x )的图象; 再作 y = f (2- x )的图象关于 x 轴的对称图象,得到 y =- f (2- x )的图象,故选D. 解法二:先作出函数 y = f ( x )的图象关于原点的对称图象,得到 y =- f (- x )的图 象;然后将 y =- f (- x )的图象向右平移2个单位,得到 y =- f (2- x )的图象,故选D. 考点三    函数的性质(高频考点) 命题点 1.判断函数的单调性,奇偶性等. 2.求函数的最值或单调区间. 3.利用函数的性质求值. 1.判断函数单调性的常用方法 数形结合法、结论法(增+增得增、减+减得减及复合函数的同增异 减)、定义法和导数法. 2.判断函数奇偶性的3个技巧 (1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称; (2)确定函数的奇偶性,务必先判断函数的定义域是否关于原点对称; (3)对于偶函数而言,有 f (- x )= f ( x )= f (| x |). 3.周期性的3个常用结论 对于 f ( x )定义域内任一自变量的值 x : (1)若 f ( x + a )=- f ( x ),则 T =2 a ( a >0); (2)若 f ( x + a )=   ,则 T =2 a ( a >0); (3)若 f ( x + a )=-   ,则 T =2 a ( a >0). 典型例题 　　(1)(2017北京,5,5分)已知函数 f ( x )=3 x -   ,则 f ( x )   (　　) A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数 (2)已知函数 f ( x )为定义在R上的奇函数,当 x ≥ 0时,有 f ( x +3)=- f ( x ),且当 x ∈ (0,3)时, f ( x )= x +1,则 f (-2 017)+ f (2 018)=   (　　) A.3　    B.2　    C.1　    D.0 (3)(2017广西三市第一次联考)已知 f ( x )是定义在R上的偶函数,且在区间 (- ∞ ,0]上单调递增,若实数 a 满足 f (   )> f (-   ),则 a 的取值范围是   (     　) A.(- ∞ ,   )　    B.(0,   ) C.(   ,+ ∞ )　    D.(1,   ) 答案 　(1)A　(2)C　(3)B 解析 　(1)易知函数 f ( x )的定义域关于原点对称. ∵ f (- x )=3 - x -   =   -3 x =- f ( x ), ∴ f ( x )为奇函数. 又∵ y =3 x 在R上是增函数, y =-   在R上是增函数, ∴ f ( x )=3 x -   在R上是增函数.故选A. (2)因为函数 f ( x )为定义在R上的奇函数, 所以 f (-2 017)=- f (2 017), 因为当 x ≥ 0时,有 f ( x +3)=- f ( x ), 所以 f ( x +6)=- f ( x +3)= f ( x ), 所以 f ( x )的周期为6. 又当 x ∈(0,3)时, f ( x )= x +1, 所以 f (2 017)= f (336 × 6+1)= f (1)=2, f (2 018)= f (336 × 6+2)= f (2)=3, 故 f (-2 017)+ f (2 018)=- f (2 017)+3=-2+3=1. (3)∵ f ( x )是定义在R上的偶函数,且在区间(- ∞ ,0]上单调递增,∴ f ( x )在区 间[0,+ ∞ )上单调递减.根据函数的对称性,可得 f (-   )= f (   ),∴ f (   )> f (   ). ∵   >0, f ( x )在区间[0,+ ∞ )上单调递减,∴0<   <   ⇒ log 3 a <   ⇒ 0< a <   .故选B. 方法归纳 函数三个性质的应用 (1)奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数 值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可先研究部分(一半)区间上 的情况.尤其注意偶函数 f ( x )的性质: f (| x |)= f ( x ). (2)单调性:可以比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性. (3)周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已 知区间上的问题,转化到已知区间上求解. 跟踪集训 1.(2017郑州第二次质量预测)已知函数 f ( x )= a sin x + b   +4,若 f (lg 3)=3,则 f   =   (　　) A.   　    B.-   　    C.5　    D.8 答案     C　由 f (lg 3)= a sin(lg 3)+ b   +4=3得 a sin(lg 3)+ b   =-1,而 f   = f (-lg 3)=- a sin(lg 3)- b   +4=-[ a sin(lg 3)+ b   ]+4=1+4=5.故 选C. 2.(2017课标全国Ⅰ,5,5分)函数 f ( x )在(- ∞ ,+ ∞ )单调递减,且为奇函数.若 f (1)=-1,则满足-1 ≤ f ( x -2) ≤ 1的 x 的取值范围是   (　　) A.[-2,2]　    B.[-1,1] C.[0,4]　    D.[1,3] 答案     D　本题考查利用函数的性质求解不等式. 已知函数 f ( x )在(- ∞ ,+ ∞ )上为单调递减函数,且为奇函数,则 f (-1)=- f (1)= 1,所以原不等式可化为 f (1) ≤ f ( x -2) ≤ f (-1),则-1 ≤ x -2 ≤ 1,即1 ≤ x ≤ 3,故选 D. 3.已知函数 y = f ( x )是R上的偶函数,设 a =ln   , b =(ln π) 2 , c =ln   ,当任意 x 1 、 x 2 ∈(0,+ ∞ )时,都有( x 1 - x 2 )·[ f ( x 1 )- f ( x 2 )]<0,则   (　　) A. f ( a )> f ( b )> f ( c )　    B. f ( b )> f ( a )> f ( c ) C. f ( c )> f ( b )> f ( a )　    D. f ( c )> f ( a )> f ( b ) 答案     D　依题意,知函数 y = f ( x )在(0,+ ∞ )上为减函数,且其图象关于 y 轴 对称,则 f ( a )= f (- a )= f   = f (ln π),又 f ( c )= f (ln   )= f   ,0<   ln π f (ln π)> f [(ln π) 2 ],即 f ( c )> f ( a )> f ( b ).故选D. 1.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞ )上单调递增的是   (　　) A. y =   　    B. y =| x |-1 C. y =lg x 　    D. y =   随堂检测 答案     B    A中函数 y =   不是偶函数且在(0,+ ∞ )上单调递减,故A不符合 题意; B中函数满足题意; C中函数不是偶函数,故C不符合题意; D中函数不满足在(0,+ ∞ )上单调递增,故选B. 2.(2017成都第一次诊断性检测)已知定义在R上的奇函数 f ( x )满足 f ( x +3) = f ( x ),且当 x ∈   时, f ( x )=- x 3 ,则 f   =   (　　) A.-   　    B.   　    C.-   　    D.   答案     B　由 f ( x +3)= f ( x )知函数 f ( x )的周期为3,又函数 f ( x )为奇函数,所以 f   = f   =- f   =   =   . 3.(2017山东,9,5分)设 f ( x )=   若 f ( a )= f ( a +1),则 f   =   (　　) A.2　    B.4　    C.6　    D.8 答案     C　解法一:当0< a <1时, a +1>1, ∴ f ( a )=   , f ( a +1)=2( a +1-1)=2 a . 由 f ( a )= f ( a +1)得   =2 a ,∴ a =   . 此时 f   = f (4)=2 × (4-1)=6. 当 a ≥ 1时, a +1>1, ∴ f ( a )=2( a -1), f ( a +1)=2( a +1-1)=2 a . 由 f ( a )= f ( a +1)得2( a -1)=2 a ,无解. 综上, f   =6,故选C. 又 f ( a )= f ( a +1), ∴   =2( a +1-1), ∴ a =   . ∴ f   = f (4)=6. 解法二:∵当0< x <1时, f ( x )=   ,为增函数, 当 x ≥ 1时, f ( x )=2( x -1),为增函数, 4.(2017课标全国Ⅲ,7,5分)函数 y =1+ x +   的部分图象大致为   (　　)   答案     D　当 x ∈(0,1)时,sin x >0, ∴ y =1+ x +   >1+ x >1,排除A、C. 令 f ( x )= x +   ,则 f (- x )=- x +   =- f ( x ), ∴ f ( x )= x +   是奇函数, ∴ y =1+ x +   的图象关于点(0,1)对称,故排除B. 故选D. 5.函数 f ( x )=   的值域为 　　　     . 答案 　[-1,1) 解析 　由题意得 f ( x )=   =1-   , ∵   ≥ 0,∴0<   ≤ 2,∴-2 ≤ -   <0, ∴-1 ≤ 1-   <1, 故所求函数的值域为[-1,1). 6.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y =2 a 与函数 y =| x - a |-1的图象只有一个 交点,则 a 的值为 　　　     . 答案 　-   解析 　函数 y =| x - a |-1的图象如图所示,因为直线 y =2 a 与函数 y =| x - a |-1的图 象只有一个交点,故2 a =-1,解得 a =-   .