开卷教育联盟全国2020届高三模拟考试(二)数学(理)试题 Word版含解析

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开卷教育联盟全国2020届高三模拟考试(二)数学(理)试题 Word版含解析

www.ks5u.com 开卷教育联盟 2020届全国高三模拟考试(二)‎ 数学(理科)‎ 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合,再根据并集的定义求解即可.‎ ‎【详解】 ,选B ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的并集运算,是基础题.‎ ‎2.( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的四则运算,直接对所求式子运算即可得答案.‎ ‎【详解】.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算,考查基本运算求解能力,属于基础题.‎ ‎3.设函数,的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是( )‎ A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 - 23 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的性质即可得到结论.‎ ‎【详解】解:是奇函数,是偶函数,‎ ‎,,‎ ‎,故函数是奇函数,故错误,‎ 为偶函数,故错误,‎ 是奇函数,故正确.‎ 为偶函数,故错误,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.‎ ‎4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是,称为黄金分割比,我们把有两条边长之比为的三角形称为黄金三角形.则下列结论,正确的个数是( )‎ ‎①顶角等于的等腰三角形是黄金三角形;‎ ‎②底角等于的等腰三角形是黄金三角形;‎ ‎③有一个角等于的直角三角形是黄金三角形;‎ ‎④有一个角等于的直角三角形是黄金三角形.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图等腰,顶角,做底角的角平分线,可得为底角为的等腰三角形,设,推出,即可求出关系,可判断①②的真假,再通过解三角形求得,的三角函数,可判断③④真假.‎ - 23 -‎ ‎【详解】如图,等腰,顶角,‎ 做角的角平分线,与边交于,‎ 则为底角为的等腰三角形,‎ 为顶角为的等腰三角形,所以,‎ 设,,‎ 化简得,故①②正确,‎ 在中,由余弦定理得 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 取中点,则,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以③④不正确.‎ 故选:B.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】‎ 本题以数学文化为背景,考查等腰三角形的性质、求三角函数值,考查计算求解能力,属于中档题.‎ ‎5.已知函数,则y=f(x)的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值判断函数的图象即可.‎ ‎【详解】令,则,再取,则,显然,故排除选项B、C;‎ 再取时,,又当时,,故排除选项D.‎ 故选:A.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象的判断,特殊值法比利用函数的导函数判断单调性与极值方法简洁,属于基础题.‎ ‎6.唐宋八大家,又称唐宋古文八大家,是中国唐代韩愈、柳宗元,宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称.他们先后掀起的古文革新浪潮,使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.在唐宋八大家中随机取两位,则他们来自同一朝代的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出八大家随机取两位的方法数为,再求出两个来自同一朝代的有,即可求解.‎ ‎【详解】在唐宋八大家中随机取两位,‎ 则他们来自同一朝代的概率是.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率,利用组合数公式是解题的关键,属于基础题.‎ ‎7.中,边的高为,若,,,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:由,,可知 ‎8. 执行右面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( )‎ - 23 -‎ A. [-3,4] B. [-5,2]‎ C. [-4,3] D. [-2,5]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:此程序为分段函数,当时,,当时,,所以函数的值域为:,故选A.‎ 考点:程序框图 ‎9.已知数列的通项公式为,则数列( )‎ A. 有最大项,没有最小项 B. 有最小项,没有最大项 C. 既有最大项又有最小项 D. 既没有最大项也没有最小项 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化为,其中;结合二次函数的性质和的取值可确定最值的取得情况,从而得到结果.‎ - 23 -‎ ‎【详解】由题意得:‎ 令,则 ‎ 对称轴为,在上单调递减,在上单调递增 当时,取最小值;当时,取最大值 既有最大项又有最小项 故选:‎ ‎【点睛】本题考查数列最大项和最小项的求解问题,关键是能够将通项公式化为二次函数的形式,根据二次函数性质求得结果;易错点是忽略数列中的取值的限制及换元后参数的取值限制,造成求解错误.‎ ‎10.如图,在正四棱柱中,底面的边长为3,与底面所成角的大小为,且,则该正四棱柱的外接球表面积为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 长方体外接球的直径为长方体的对角线,与底面所成的角为,从而有,求出即可.‎ ‎【详解】连正四棱柱,‎ 平面为与底面所成角,‎ - 23 -‎ ‎,‎ 在中,,‎ ‎,‎ 正四棱柱的外接球半径为,‎ 其表面积为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题,注意直线与平面所成角的几何求法,属于基础题.‎ ‎11.( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化切为弦,分式通分,引进特殊角,非特殊角相消相约,即可求解.‎ ‎【详解】原式 ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查非特殊角求值、三角恒等变换应用,考查计算求解能力,属于中档题.‎ ‎12.如图,为椭圆的长轴的左、右端点,为坐标原点,‎ - 23 -‎ 为椭圆上不同于的三点,直线,围成一个平行四边形,则( )‎ A 5 B. C. 9 D. 14‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:设,斜率为,则斜率为,且 ‎,所以,同理,因此,选D.‎ 考点:解析几何定值问题 ‎【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.‎ 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)‎ ‎13.已知,曲线在点处的切线的斜率为,则当取最小值时,的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 求导求出,得,利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】由题意可得,因为,‎ 所以,‎ 当且仅当时,等号成立,取最小值为4.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义、基本不等式求最值,属于基础题.‎ ‎14.函数的图象可由函数的图象至少向右平移_______个长度单位得到.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数,然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位.‎ ‎【详解】分别把两个函数解析式化简为:‎ ‎,‎ ‎,‎ 可知只需把函数的图象向右平移个单位长度,‎ 得到函数的图象,‎ 故答案是:.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数图象的平移变换的问题,在解题的过程中,注意正确化简函数解析式,把握住平移的原则是左加右减,以及自变量本身的变化量.‎ ‎15.甲小组有2个男生和4个女生,乙小组有5个男生和3个女生,现随机地从甲小组抽出一名学生放入乙小组,然后从乙小组随机抽出一名学生,则从乙小组抽出女生的概率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 对于从甲组抽出一名学生分男、女讨论,再结合独立事件同时发生的概率关系,和互斥事件概率,即可求解.‎ ‎【详解】根据题意,分两种情况讨论:‎ ‎①从甲小组中取出男生,其概率为,‎ 此时乙小组中有6个男生和3个女生,‎ 从乙小组中取出女生的概率为,‎ 则这种情况下的概率为.‎ ‎②从甲小组中取出女生,其概率为,‎ 此时乙小组中有5个男生和4个女生,‎ 从乙小组中取出女生的概率为,‎ 则这种情况下的概率为.‎ 则从乙小组中取出女生的概率是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查互斥事件、独立事件同时发生的概率,合理分类是解题的关键,属于基础题.‎ ‎16.已知双曲线:的渐近线与抛物线相切,则的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将渐近线方程与抛物线方程联立,利用相切只有一个实数解,求出,再由关系,即可求解.‎ ‎【详解】把代入得,‎ - 23 -‎ ‎∴,所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的性质,属于基础题.‎ 三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)‎ ‎17.为数列的前项和,已知,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由题意当时,,当时,,因为 ‎∴,即可求得通项公式;(2)因为,利用裂项求和法即可求得数列的前项和.‎ 试题解析:(1)依题意有①‎ 当时,,得;‎ 当时,②‎ 有①②得,‎ 因为,∴,‎ ‎∴成等差数列,得.‎ ‎(2),‎ - 23 -‎ 考点:等差数列的通项公式,裂项求和法 ‎18.如图,四棱锥中,底面为矩形,平面,为的中点.‎ ‎ ‎ ‎(1)证明:∥平面.‎ ‎(2)设二面角为,,,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连结交于点,连结. 根据四边形为矩形,所以为的中点,为的中点,利用三角形的中位线可得∥,再利用线面平行的判定定理证明. ‎ ‎(2) 根据平面,四边形为矩形,建立空间直角坐标系.设,再求得平面DAE, 平面CAE的法向量,根据二面角为,利用,解得.,然后利用锥体体积公式求解.‎ ‎【详解】(1)连结交于点,连结. ‎ 因为四边形为矩形,所以为的中点,‎ 又为的中点,所以∥,‎ 且平面,平面,所以∥平面. ‎ ‎(2) 因为平面,四边形为矩形,所以两两垂直,‎ - 23 -‎ 以为坐标原点,的方向为轴的正方向,的方向为轴的正方向,的方向为轴的正方向,为单位长,建立空间直角坐标系.‎ 设,则, ‎ 所以, ‎ 设为平面的法向量,则,‎ 可取 , ‎ 又为平面的一个法向量,由题设知 即,解得.‎ 因为为的中点,设为的中点,‎ 则∥,且,⊥面,‎ 故有三棱锥的高为, ‎ 三棱锥的体积 所以三棱锥的体积为.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理,二面角和三棱锥的体积,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎19.某校为了了解在校学生的支出情况,组织学生调查了该校2012年至2018年学生的人均月支出(单位:百元)的数据如下表:‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均月支出 ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎(1)求关于的线性回归方程;‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程,分析2012年至2018年该校学生人均月支出的变化情况,并预测该校2020年的人均月支出.‎ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.‎ ‎【答案】(1).(2)2012年至2018年该校学生人均月支出逐年增加,平均每年增加0.5百元. 预测值为6.8百元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知数据分别求出公式中的量,即可求出求解;‎ ‎(2)根据系数的正负,分析月支出增加还是减少,将代入回归方程,即可求出结论.‎ ‎【详解】(1)由所给数据计算得 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ - 23 -‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 所求回归方程为.‎ ‎(2)由(1)知,,‎ 故2012年至2018年该校学生人均月支出逐年增加,‎ 平均每年增加0.5百元.‎ 将2020年的年份代号代入(1)中的回归方程,‎ 得,‎ 故预测该校2020年人均月支出为6.8百元.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归直线方程以及应用,考查计算求解能力,属于基础题.‎ ‎20.已知椭圆:的上、下顶点分别为,,且短轴长为,为椭圆上任意一点,直线,的斜率之积为,,依次为左、右焦点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ - 23 -‎ ‎(2)山不会忘记你,河不会忘记你,祖国不会忘记你!南仁东,“天眼”之父,被追授“时代楷模”荣誉称号.24年,8000多个日夜,500米口径球面射电望远镜首席科学家、总工程师南仁东心无旁骛,为崇山峻岭间的“中国天眼”燃尽生命,在世界天文史上镌刻下新的高度.“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜,它看似一口“大锅”,可以接收到百亿光年外的电磁信号.调试期的“天眼”已经发现了多颗脉冲星,成为国际瞩目的宇宙观测“利器”.在党的十九大报告中,“天眼”与天宫、蛟龙、大飞机等一起,被列为创新型国家建设的丰硕成果……南仁东来不及目睹.但他执着追求科学梦想的精神,将激励一代又一代科技工作者继续奋斗,勇攀世界科技高峰.在“天眼”的建设中大量用到了圆锥曲线的光学性质,请以上面的椭圆为代表,证明:由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点后反射,反射光线必经过另一焦点.(温馨提示:光线射到曲线上某点反射时,法线垂直于该点处的切线)‎ ‎【答案】(1).(2)答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知得坐标,设,结合斜率公式,即可求出椭圆方程;‎ ‎(2)设点坐标,根据已知求出切线斜率,进而求出法线方程,利用几何法证明法线是的角平分线即可.‎ ‎【详解】(1)设,直线,的斜率为,,‎ 由题意知,,‎ 由,得,‎ 整理得.即椭圆的方程为.‎ ‎(2)当为椭圆顶点时结论显然成立,‎ 当不是椭圆顶点时,要证结论只须证法线平分,‎ 设点坐标,‎ 设切于点的切线方程为,‎ 与椭圆方程联立,消去得,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ - 23 -‎ ‎,‎ 所以切线斜率为,所以法线斜率为,‎ 法线方程,‎ 令可得法线与轴交点的横坐标为,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎,‎ 或(舍去)‎ 所以法线平分,结论成立.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆轨迹方程、直线与椭圆的位置关系,注意几何法证明椭圆的性质,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.‎ - 23 -‎ ‎21.已知定义在的函数满足,且,(,是常数). ‎ ‎(1)当时,求在处的切线方程;‎ ‎(2)存在,使,求取值范围.‎ ‎【答案】(1).(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时,求出,得到切线的点斜式方程即可;‎ ‎(2)即求时,,由已知可得,令,可证恒成立,因此,进而得到单调性,求出的最小值,而,对分类讨论,得到其单调性,进而求出最大值,即可求出结论.‎ ‎【详解】(1)当时,,.‎ 故,又,‎ 所以切线方程为,即.‎ ‎(2)证明:由题意,在时,,‎ 因为满足,‎ 所以,令,‎ 则,‎ - 23 -‎ 当时,,单调递增,‎ 故时,有最大值,,‎ 所以,在内单调递减,,‎ 而.‎ 当时,在内,,单调递增,‎ ‎,∴;‎ 当时,在内,,单调递减,,∴,‎ 综上所述,的取值范围是 ‎【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到导数的几何意义、单调性、最值,不等式存在成立与最值之间的转化,意在考查逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.‎ ‎22.‎ 在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)已知点,若点的极坐标为,直线经过点且与曲线相交于两点,设线段的中点为,求的值.‎ ‎【答案】(1),(Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ 分析:(Ⅰ)将直线的参数方程中的参数消掉,得到直线的普通方程,将曲线的极坐标方程等号两边同乘以,再根据平面直角坐标与极坐标之间的转换关系,求得结果;‎ ‎(Ⅱ)根据题意,得到相应点的坐标,代入,求得对应直线的斜率,两个方程联立,求得弦的中点,之后应用两点间距离公式求得结果.‎ 详解:(Ⅰ)消去直线的参数方程中的参数,得到直线的普通方程为:,把曲线的极坐标方程 左右两边同时乘以,得到:,‎ 利用公式代入,化简出曲线的直角坐标方程:;‎ ‎(Ⅱ)点的直角坐标为,将点的直角坐标为代入直线中,得,即,联立方程组:,得中点坐标为,‎ 从而.‎ 点睛:该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题,涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化,极坐标方程与平面直角坐标方程的转化,直线与曲线的交点,两点间距离问题,注意对公式的正确使用即可正确求得结果.‎ ‎23.已知函数,.‎ ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)记的最小值为,已知点在圆内(含边界),求证:.‎ ‎【答案】(1).(2)答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由绝对值不等式性质,即可求解;‎ ‎(2)根据柯西不等式拼凑,求出 - 23 -‎ 最大值,即可证明结论.‎ ‎【详解】(1)∵,‎ ‎∴.‎ ‎(2)证明:由(1)知,由柯西不等式得 ‎,‎ ‎∴,‎ 又点在圆内(含边界),故,‎ ‎∴(当且仅当时取等号).‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的性质和柯西不等式的应用,考查计算求解能力,属于中档题.‎ - 23 -‎ - 23 -‎
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