东北三省四市教研联合体2020届高三模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

东北三省四市教研联合体2020届高三模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知得到，再与A求交集即可.‎ ‎【详解】由已知，，故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.‎ ‎2.已知，则复数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的四则运算，即可求得复数.‎ ‎【详解】因为，‎ 故可得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.‎ ‎3.为等差数列的前项和，若，则( )‎ A. －1 B. 0 C. 1 D. 2‎ - 22 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，即可容易求得.‎ ‎【详解】因为数列是等差数列，‎ 故可得，又，‎ 故可得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和的性质，属基础题.‎ ‎4.设是实数，“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解分式不等式，根据充分性和必要性即可容易求得.‎ ‎【详解】因为，即可求得，‎ 故是的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及分式不等式的求解.‎ ‎5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可.‎ ‎【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则，又，‎ 故，所以，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.‎ ‎6.哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为，，；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为，，.为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计生活垃圾，数据统计如图.则估计生活垃圾投放错误的概率为( )‎ ‎200‎ ‎10‎ ‎40‎ ‎15‎ ‎120‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎50‎ ‎30‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算投放正确的概率，再求出投放错误的概率即可.‎ ‎【详解】根据题意，投放正确的概率为，‎ 故投放错误的概率为.‎ - 22 -‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查简单随机事件的概率求解，属基础题.‎ ‎7.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义，求得，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即可.‎ ‎【详解】因为，故可得，‎ 则切线的斜率；‎ 又因为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，以及已知正切值求齐次式的值，属综合基础题.‎ ‎8.已知函数，若函数的零点恰有4个，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图像，数形结合即可容易求得.‎ ‎【详解】因为，故可得的图像如下：‎ - 22 -‎ 若函数的零点恰有4个，‎ 即与有4个交点，‎ 故.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的范围，涉及对数函数的图像，属综合中档题.‎ ‎9.设等比数列满足，则的最大值为( )‎ A. B. 4 C. 10 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列下标和性质，即可容易求得，再根据均值不等式即可容易求得.‎ ‎【详解】因为数列是等比数列，又，‎ 故可得，‎ 即，‎ 又，‎ 又，‎ 当且仅当时，取得最大值..‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，以及利用均值不等式求最值，属综合中档题.‎ - 22 -‎ ‎10.如图所示，在边长为4的正方形纸片中，与相交于.剪去，将剩余部分沿，折叠，使、重合，则以、、、为顶点的四面体的外接球的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，还原出几何体，结合几何体的特点，即可容易求得.‎ ‎【详解】根据题意，为方便说明问题，将几何体从正方体中截取出来如下所示：‎ 容易知三棱锥和棱长为的正方体有相同的外接球.‎ 则外接球的半径，‎ 故其外接球体积.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查几何体的还原以及外接球的求解，本题中从正方体中截取几何体是解决问题的关键.‎ ‎11.已知双曲线：（，）的离心率为，抛物线：（‎ - 22 -‎ ‎）的准线经过的左焦点.若抛物线的焦点到的渐近线的距离为2，则的标准方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，双曲线的右焦点和抛物线焦点相同，结合离心率和焦点到渐近线的距离即可容易求得.‎ ‎【详解】根据题意可知双曲线的右焦点和抛物线焦点相同，‎ 又因为抛物线的焦点到的渐近线的距离为2，‎ 故可得（根据点到直线的距离公式，即可容易求得）‎ 又因为，‎ 解得，则.‎ 则抛物线的方程为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线方程和双曲线方程的求解，涉及抛物线的渐近线，属综合基础题.‎ ‎12.已知函数，则使成立的的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是偶函数，且当时是单调增函数，利用函数的性质即可求得不等式.‎ - 22 -‎ ‎【详解】因为，且其定义域为，故是偶函数；‎ 又当时，是单调增函数，则时，是单调减函数.‎ 故等价于，‎ 整理得，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数性质求解不等式，属综合中档题；本题的难点在于要有意识去判断函数的性质.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.设向量，若与共线，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线的坐标公式，即可容易求得参数.‎ ‎【详解】因为且与共线 故可得，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标公式，属基础题.‎ ‎14.一个样本的容量为70，分成五组，已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为，则该样本第四组的频率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率的计算公式，结合题目已知信息，即可容易求得.‎ ‎【详解】因为样本容量为，根据题意可得：‎ - 22 -‎ 第一组和第三组的频率为.‎ 根据频率之和为，即可求得：‎ 第四组的频率为.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查频率的计算公式，属基础题.‎ ‎15.若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则在区间上的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 注意平移是针对自变量x，所以，再利用整体换元法求值域（最值）即可.‎ ‎【详解】由已知，，‎ ‎，又，故，‎ ‎，所以的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.‎ ‎16.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________.‎ - 22 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.‎ ‎【详解】由已知，，，，设内切圆的圆心为，半径为，则 ‎，故有，‎ 解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为 ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.‎ - 22 -‎ ‎ ‎ 组别 分组 频数 频率 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（Ⅰ）从这20人中成绩为“优秀”的员工中任取2人，求恰有1人的分数为96的概率；‎ ‎（Ⅱ）根据这20人的分数补全频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）频率分布表和频率分布直方图见解析，82.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）列举出从四个人中抽取两人的所有情况，找出满足题意的情况，用古典概型的概率计算公式即可求得；‎ ‎（Ⅱ）根据茎叶图中数据，先补全频率分布表和频率分布直方图，再估算平均值即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设分数分别为95、96、96、98的四人为、、、‎ 从成绩为优秀的员工中任取2人，‎ 包含6个基本事件 - 22 -‎ 设从成绩为优秀的员工中随机抽取2人恰有一人的分数为96为事件.‎ 包含4个基本事件 ‎∴‎ ‎（Ⅱ）‎ 组别 分组 频数 频率 ‎1‎ ‎2‎ ‎0.01‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎0.03‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎0.04‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎0.02‎ ‎，‎ 估计所有员工的平均分为82.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率计算，以及频率分布表和频率分布直方图的绘制，涉及平均数的求解，属综合基础题.‎ ‎18.在中，为边上一点，，.‎ ‎（1）求；‎ - 22 -‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），利用两角差的正弦公式计算即可；‎ ‎（2）设，在中，用正弦定理将用x表示，在中用一次余弦定理即可解决.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴，‎ 所以， ‎ ‎.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴设，，‎ 在中，由正弦定理得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.‎ ‎19.点（）是抛物线：上一点，为的焦点.‎ ‎（Ⅰ）若直线与抛物线的准线交于点，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）过点作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点，证明：直线的斜率是定值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意，求得点的坐标，即可容易求得面积；‎ ‎（Ⅱ）设出点的坐标，根据点在曲线上点的坐标满足曲线方程，以及直线的斜率之和为零，即可容易证明.‎ ‎【详解】（Ⅰ）将代入得 则：，准线：，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 由题可知，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ - 22 -‎ ‎∴‎ 即证.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线上一点坐标的求解，抛物线中定值问题的简单证明，属中档题.‎ ‎20.如图，在直角中，.通过以直线轴顺时针旋转得到（）.点为线段上一点，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若是线段的中点，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）通过证明，即可证明线面垂直；‎ ‎（Ⅱ）根据即可容易求得.‎ ‎【详解】（Ⅰ）在中，由余弦定理得，，‎ - 22 -‎ ‎∴∴‎ 由题意可知：∴，，‎ ‎∴平面，‎ 平面，∴‎ ‎，‎ ‎∴平面，‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎.‎ 故四棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及棱锥体积的求解，属中档题.‎ ‎21.已知函数（）.‎ ‎（Ⅰ）若函数，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数的导数的两个零点从小到大依次为，，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）函数单调性见解析；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意，求得，对参数进行分类讨论即可容易求得；‎ ‎（Ⅱ）根据是的两根，求得之间的关系式，构造函数，根据其单调性即可证明.‎ - 22 -‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵∴（）.‎ 当时，，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，或，‎ ‎∴在，上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，或，‎ ‎∴在，上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，在上恒成立，‎ 所以在上单调递增；‎ 综上所述：‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，在，上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，在，上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递增.‎ ‎（Ⅱ）∵（）.‎ 且的两个零点从小到大依次为，‎ ‎∴，是方程的两个根，‎ ‎∴‎ 又，且所以 欲证，即证 - 22 -‎ 只需证 令（），‎ ‎∴在上单调递增，上单调递减，‎ ‎∴，‎ 即成立.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论求函数的单调性，以及利用导数证明不等式，涉及构造函数法，属综合困难题.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.点在曲线上，点满足.‎ ‎（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点的轨迹的极坐标方程；‎ ‎（2）点，分别是曲线上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值.‎ ‎【答案】（1）（）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）由已知，曲线的参数方程消去t后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；‎ ‎（2）设，，由（1）可得，，相加即可得到证明.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎∵，∴，∴，‎ 由题可知：，‎ ‎：（）.‎ ‎（2）因为，‎ 设，，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.‎ 选修4-5不等式选讲 ‎23.已知关于的不等式有解.‎ - 22 -‎ ‎（1）求实数的最大值；‎ ‎（2）若，，均为正实数，且满足.证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，只需找到的最大值即可；‎ ‎（2），构造并利用基本不等式可得，即.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎∴的最大值为4.‎ 关于的不等式有解等价于，‎ ‎（ⅰ）当时，上述不等式转化为，解得，‎ ‎（ⅱ）当时，上述不等式转化为，解得，‎ 综上所述，实数的取值范围为，则实数的最大值为3，即.‎ ‎（2）证明：根据（1）求解知，所以，‎ 又∵，，，，‎ ‎，当且仅当时，等号成立，‎ 即，∴，‎ 所以，.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎ - 22 -‎