江苏省海安高级中学2020届高三模拟考试数学试题

江苏省海安高级中学2020届高三模拟考试数学试题

‎2020届高三年级模拟考试 数学 Ⅰ 参考公式：‎ 样本数据，，…，的标准差，其中；‎ 柱体的体积公式：，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．‎ 锥体的体积公式：，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位 置上．‎ ‎1．已知全集，集合，则 ▲ ．[来源:学科网ZXXK]‎ S←9‎ i←1‎ While S≥0‎ ‎ S←Si i←i1‎ End While Print i ‎ ‎（第6题）‎ ‎2．已知复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．‎ ‎3．数据1，3，5，7，9的标准差为 ▲ ．‎ ‎4．函数的定义域是 ▲ ． ‎ ‎5．在一底面半径和高都是2m的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是 ▲ ．‎ ‎6．右图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为 ▲ ．‎ ‎7. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线经过点，则该双曲线的准线方程为 ▲ ．‎ ‎8. 设是等比数列的前n项的和，成等差数列，则的值为 ▲ ．‎ ‎9．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 ▲ ．（写出所有正确命题的序号）‎ ‎①因为当时，，所以不是函数的周期；‎ ‎②对于定义在上的函数，若，则函数不是偶函数；‎ ‎③“”是“”成立的充分必要条件；‎ ‎④若实数a满足，则．‎ ‎（第10题）‎ ‎10. 如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体 积为 ▲ ．‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中，若函数在处的切线与圆C：存在公共点，则实数a的取值范围为 ▲ ．‎ ‎12. 已知函数，若关于x的不等式的解集是，则的值为 ▲ ．‎ ‎13.在边长为4的菱形ABCD中，A=60°，点P在菱形ABCD所在的平面内．若，，则= ▲ ．‎ ‎14.设函数，，其中．若存在唯一的整数x，使得，则实数k的取值范围是 ▲ ．‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A P D B C O MO ‎（第15题）‎ ‎15．(本小题满分14分)‎ 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，M为棱PD的中点，MAMC．‎ 求证：（1）PB平面AMC；‎ ‎（2）平面PBD平面AMC．‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，成等差数列，，，成等比数列．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积为1，求c的值.‎ ‎17．(本小题满分14分)‎ O Q P B A D C ‎（第17题）‎ 某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为米．开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ．设．‎ ‎（1）用表示线段PQ，并确定的范围；‎ ‎（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．‎ ‎18．(本小题满分16分)‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，右顶点A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P(－4，0)，连接PM交椭圆C于另一点E．求证：直线NE过定点B，并求出点B的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于S，T两点，求的取值范围．‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ 已知函数，其中，．‎ ‎（1）①求函数的单调区间；‎ ‎②若x1，x2满足，且，．求证：．‎ ‎（2）函数．若对任意，，都有|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|，求的最大值．‎ ‎20．(本小题满分16分)‎ 已知{an}，{bn}，{cn}都是各项不为零的数列，且满足，其中Sn是数列{an}的前n项和，{cn}是公差为的等差数列．‎ ‎（1）若数列{an}是常数列，d＝2，c2＝3，求数列{bn}的通项公式； ‎ ‎（2）若an＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎（3）若 （k为常数，），．‎ 求证：对任意的，恒成立．‎ 数学II （附加题）‎ ‎21. 【选做题】 在A，B，C四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A. 选修42：矩阵与变换 已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝．求矩阵A．‎ B. 选修44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为＝2．点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．‎ C. 选修45：不等式选讲 若正数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ O B P D C A ‎22. （本小题满分10分）‎ 如图，在正四棱锥P－ABCD中，底面正方形的对角线AC，BD交于点O且OP＝AB．‎ ‎（1）求直线BP与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（2）求锐二面角B－PD－C的大小．‎ ‎（第22题）‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有m个，有p个，则称为“数列”．‎ ‎（1）为“数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种?‎ ‎（2）为“数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得，且的概率为?‎ 数学答案 参考公式：‎ 样本数据，，…，的标准差，其中；‎ 柱体的体积公式：，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．‎ 锥体的体积公式：，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位 置上 ‎1． ‎ 答案：‎ ‎2．‎ 答案：‎ ‎3．‎ 答案：‎ ‎4．‎ 答案：‎ ‎5． ‎ 答案：‎ ‎6． 答案：5‎ ‎7. ‎ 答案：‎ ‎8. ‎ ‎ 答案：2（必修五P.62第10题改编）‎ ‎9． ‎ 答案：①②④‎ ‎10. ‎ 答案：‎ ‎11. ‎ 答案：‎ ‎12. ‎ 答案：‎ ‎13. ‎ 答案：-1‎ ‎14. ‎ 答案：‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎15．(本小题满分14分)‎ 证明：（1）连结，‎ ‎ 因为为菱形ABCD对角线AC，BD的交点，‎ ‎ 所以为BD的中点． …… 2分[来源:学。科。网]‎ ‎ 又M为棱PD的中点，‎ ‎ 所以， …… 4分 ‎ 又平面AMC，平面AMC，‎ ‎ 所以PB平面AMC； …… 6分 ‎（2）在菱形ABCD中，ACBD，且为AC的中点，‎ ‎ 又MAMC，故ACOM， …… 8分 ‎ 而OMBD，OM，BD平面PBD，‎ ‎ 所以AC平面PBD， …… 11分 ‎ 又AC平面AMC，‎ ‎ 所以平面PBD平面AMC． …… 14分 16. ‎（本小题满分14分）‎ 解：（1）由题意知：，‎ ‎ 因为，所以 ‎ 又因为△ABC为锐角三角形，所以①， …… 2分 ‎ 所以，‎ ‎ 所以，与①式联立，‎ ‎ 解得（负舍）， …… 4分 又，所以． …… 6分 ‎（2）由（1）知，，，且，‎ ‎ 又，结合解出， …… 8分 ‎ 同理解出， …… 10分 ‎ 在△ABC中，由正弦定理知：，‎ ‎ 因此， …… 12分 ‎ 又，由此解出． …… 14分 ‎17．(本小题满分14分)‎ 解：（1）过点Q作于点H，则，‎ 在三角形AOP中，‎ 因为，，‎ 所以，，‎ 所以，故． …… 4分 因为，即，且． …… 6分 ‎ （2）因为，‎ 令，，且． …… 8分 ‎ 所以，‎ ‎ 令，即，‎ ‎ 所以， …… 10分 记，， ‎ 所以当时，，单调递增；‎ 所以当时，，单调递减，‎ 又因为，所以当时，取最大值．‎ 此时，所以PQ的最大值为米．‎ ‎ 答：湖上桥面PQ长度的最大值为米． …… 14分 ‎18． ‎ 解：（1）设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，‎ 由题意得a＝2，e＝， …… 2分 即，所以c＝1，．‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1． …… 4分 ‎ （2）证明：根据对称性，直线NE过的定点B一定在x轴上．‎ 由题意可知直线PM的斜率存在，设直线PM的方程为y＝k(x＋4)．‎ 由消去y得 (4k2＋3)x2＋32k2x＋64k2－12＝0．‎ 设点M(x1，y1)，E(x2，y2)，‎ 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， …… 6分 又因为N(x1，－y1)，所以直线NE的方程为y－y2＝(x－x2)．‎ 令y＝0，得x＝x2－．‎ 将y1＝k(x1＋4)，y2＝k(x2＋4)代入上式并整理，‎ 得．‎ 整理得．‎ 所以，直线NE过x轴上的定点B(－1，0)． …… 10分 ‎（3）当过点M的直线ST的斜率不存在时，‎ 直线ST的方程为x＝－1，S(－1，)，T(－1，－)，此时·＝－．…… 12分 当过点B的直线ST的斜率存在时，‎ 设直线ST的方程为y＝m(x＋1)，且S(xS，yS)，T(xT，yT)在椭圆C上，‎ 由，得(4m2＋3)x2＋8m2x＋4m2－12＝0，‎ 则Δ＝(8m2)2－4(4m2＋3)(4m2－12)＝144(m2＋1)>0．‎ 故有xS＋xT＝－，xSxT＝， …… 14分 从而ySyT＝m2(xS＋1)(xT＋1)＝m2[(xS＋xT)＋xSxT＋1]＝－．‎ 所以·＝xSxT＋ySyT＝－＝－－．[来源:学科网ZXXK]‎ 由，得．‎ 综上，·的取值范围是． …… 16分[来源:学科网ZXXK]‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ 解：（1）①因为f ′ (x)＝，．‎ 令f ′ (x)＞0，得x＜－或x＞，‎ 所以f(x)的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞)． ……2分 令f ′ (x)<0，得－＜x＜0或0＜x＜，‎ 所以f(x)的单调减区间为(－，0)和(0，)． ……4分[来源:学科网]‎ ‎②因为x1＋x2＞0，x2＞0，所以x1＞0，或x1＜0．‎ 若x1＞0，因为|xi|＞(i＝1，2)，所以x1＞，x2＞，‎ 由①，知f(x)在(，＋∞)上是增函数，‎ 所以f(x1)＋2f(x2)＞f()＋2f()＝＞． ……5分 若x1＜0，由|x1|＞，得x1＜－，‎ 因为x1＋x2＞0，x2＞0，所以x2＞－x1＞，‎ 由①，知f(x)在(，＋∞)上是增函数，所以f(x1)＋2f(x2)＞f(x1)＋2f(－x1)＝f(－x1)>．‎ 综上，f(x1)＋2f(x2)＞． ……8分 ‎（2）g′ (x)＝ax－＝，x(0，)，所以g ′ (x)＜0，‎ 所以函数g(x)在(0，)上是减函数．‎ 不妨假设x1＜x2．‎ 由（1），知f(x) 在(0，)上是减函数，‎ 所以不等式|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)＞g(x1)－g(x2)， ……10分 即[f(x1)－g(x1)]－[f(x2)－g(x2)]＞0．‎ 令M(x)＝f(x)－g(x)，x(0，)，则M(x)为减函数．‎ 因为M ′ (x)＝f ′ (x)－g′ (x)＝－ax＋＝，‎ 所以≤0在区间(0，)上恒成立，‎ 即1－2bx≥0在区间(0，)上恒成立，‎ 所以1－≥0，即b≤． ……14分 所以b－a≤－a＝－(－)2＋≤． ‎ 所以b－a的最大值为． ……16分 ‎20．(本小题满分16分)‎ 解：（1）因为d＝2，c2＝3，所以cn＝2n－1．‎ 因为数列{an}是各项不为零的常数列，所以a1＝a2＝…＝an，Sn ＝na1，‎ 则由Sncn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn及cn＝2n－1，得n(2n－1)＝b1＋b2＋…＋bn，‎ 当n≥2时，(n－1)(2n－3)＝b1＋b2＋…＋bn－1，‎ 两式相减得bn＝4n－3．‎ 当n＝1时，b1＝1，也满足bn＝4n－3，故bn＝4n－3(n∈N*)． ……4分 ‎（2）因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝Sncn，‎ 当n≥2时，Sn－1cn－1＝a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1，‎ 两式相减得Sncn－Sn－1cn－1＝anbn，‎ 即(Sn－1＋an) cn－Sn－1cn－1＝anbn，Sn－1 (cn－cn－1)＋ancn＝anbn，‎ 即Sn－1d＋λncn＝λnbn． ……7分 又Sn－1＝，所以d＋λncn＝λnbn，即d＋cn＝bn，‎ 所以当n≥3时，d＋cn－1＝bn－1，‎ 两式相减得bn－bn－1＝d(n≥3)，‎ 所以数列{bn}从第二项起是公差为d等差数列．‎ 又当n＝1时，由S1c1＝a1b1，得c1＝b1，‎ 当n＝2时，由b2＝d＋c2＝d＋c1＋d＝b1＋d，得b2－b1＝d．‎ 故数列{bn}是公差为d等差数列． ……10分 ‎（3）由（2）得当n≥2时，Sn－1 (cn－cn－1)＋ancn＝anbn，即Sn－1d＝an(bn－cn)，‎ 因为bn＝cn＋k，所以bn＝cn＋kd，即bn－cn＝kd，所以Sn－1d＝an·kd，即Sn－1＝kan．‎ 所以Sn＝Sn－1＋an＝(k＋1)an．‎ 当n≥3时，Sn－1＝(k＋1)an－1＝kan， ‎ 即an＝an－1，故从第二项起数列{an}是等比数列．‎ 所以当n≥2时，an＝a2()n－2． ……12分 bn＝cn＋k＝cn＋kd＝c1＋(n－1)k＋k2＝k＋(n－1)k＋k2＝k(n＋k)．‎ 另外由已知条件得，(a1＋a2)c2＝a1b1＋a2b2，又c2＝2k，b1＝k，b2＝k(2＋k)，‎ 所以a2＝1，因而an＝()n－2．‎ 令dn＝，则－1＝－1＝－1＝－＜0，‎ 对任意的，恒成立． ……16分 数学II （附加题）‎ ‎21. 【选做题】 在A，B，C四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A. 选修42：矩阵与变换 解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1，‎ 即＝－1×，得 ……5分 同理可得 解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.‎ 因此矩阵A＝． ……10分 B. 选修44：坐标系与参数方程 解：ρcos＝2化简为ρcosθ＋ρsinθ＝4，‎ 则直线l的直角坐标方程为x＋y＝4. ……4分 设点P的坐标为(2cosα，sinα)，‎ 得P到直线l的距离d＝，‎ 即d＝，其中cosφ＝，sinφ＝. ……8分 当sin(α＋φ)＝－1时，dmax＝2＋． ……10分 C. 选修45：不等式选讲 解：因为正数a、b、c满足a＋b＋c＝1，‎ 所以[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥(1＋1＋1)2， ……5分 即＋＋≥1，‎ 当且仅当3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝时，原式取最小值1． ……10分 ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 解：（1）在正四棱锥P－ABCD中，底面正方形的对角线AC，BD交于点O，‎ 所以OP⊥平面ABCD，取AB的中点E，BC的中点F，‎ 所以OP ，OE，OF两两垂直，故以点O为坐标原点，‎ 以OE，OF，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.‎ ‎ 设底面正方形边长为2，因为OP＝AB，所以OP＝1，‎ 所以B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，1)， ‎ 所以＝(－1，－1，1)， ……2分 设平面PCD的法向量是＝(x，y，z)，‎ 因为＝(0，－2，0)，＝(1，－1，1)，‎ 所以·＝－2y＝0，·＝x－y＋z＝0，‎ 取x＝1，则y＝0，z＝－1，所以＝(1，0，－1)，‎ 所以cos<，>＝＝－，‎ 所以直线BP与平面PCD所成角的正弦值为. ……5分 ‎（2）设平面BPD的法向量是＝(x，y，z)，‎ 因为＝(－1，－1，1)，＝(－2，－2，0)，‎ 所以·＝－x－y＋z＝0，·＝－2x－2y＝0，‎ 取x＝1，则y＝－1，z＝0，所以＝(1，－1，0)， ……7分 由（1）知平面PCD的法向量是＝(1，0，－1)，‎ 所以cos<，>＝＝，所以<，>＝60°，‎ 所以锐二面角B－PD－C的大小为60°． ……10分 ‎23. （本小题满分10分）‎ 解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“”“” ，‎ ‎“”：共有种；“”：共有种.‎ 利用分类计数原理，共有种取法. ……2分 ‎（2）与（1）基本同理，“”共有种；“”：共有种.‎ 而在“数列”中任取三项共有种，‎ 所以根据古典概型有：， ……4分 再根据组合数的计算公式能得到：，‎ ① 时，‎ 应满足，所以，‎ 共有99个． ……6分 ② ‎ 时，应满足，‎ 视为常数，可解得.因为，所以，‎ 根据可知，（否则）‎ 下设，则由于为正整数知必为正整数，‎ 又因为，所以.‎ 化简上述关系式可以知道：，‎ 所以均为偶数，所以设，则，‎ 所以，由于中必存在偶数，‎ 故只需中存在数为3的倍数即可，所以，‎ 所以, ……8分 检验：符合题意，‎ 所以共有16个.‎ ‎ 综上所述：共有115个数对符合题意． ……10分 阅卷注意：8分点到10分点之间的检验如果没写则扣去两分