湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学(理)(六)试卷

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湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学(理)(六)试卷

湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学(理)(六)试卷 理科数学 测试范围:学科内综合.共150分,考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2.已知实数满足(其中为虚数单位),则复数的共轭复数为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知命题,,则命题的真假以及命题的否定分别为 ( )‎ A.真,,‎ B.真,,‎ C.假,,‎ D.假,,‎ ‎4.已知向量,,若,且,则实数的值为 ( )‎ A.2 B.4 C.或2 D.或4‎ ‎5.运行如下程序框图,若输出的的值为6,则判断框中可以填 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知函数,则下列说法正确的是 ( )‎ A.函数的图象关于对称 B.函数的图象关于对称 C.函数的图象关于中心对称 D.函数的图象关于中心对称 ‎8.将函数的图象向右平移个单位后,得到的函数图象关于对称,则当取到最小值时,函数的单调增区间为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.已知实数满足,若,且恒成立,则实数的取值不可能为 ( )‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎10.已知某几何体的三视图如下所示,若网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的最短棱长为 ( )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎11.已知椭圆的离心率为,且是椭圆上相异的两点,若点满足,则的取值范围为 ( )‎ A. B. C. D.‎ 12. 已知函数的定义域为,若对任意的,‎ 恒成立,则实数的取值范围为 ( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.)‎ ‎13.杨辉,字谦光,南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如图所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图,并说明此表引自11世纪中叶(约公元1050年)贾宪的《释锁算术》,并绘画了“古法七乘方图”.故此,杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下:‎ 基于上述规律,可以推测,当时,从左往右第22个数为 .‎ ‎14.多项式的展开式中,含项的系数为 .‎ ‎15.已知四棱锥中,底面四边形为等腰梯形,且,,,,若平面平面,则四棱锥外接球的表面积为 .‎ ‎ ‎ ‎ 第15题图 第16题图 ‎16.如第16题图所示,四边形被线段切割成两个三角形分别为和,若,,,‎ 则四边形面积的最大值为 .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)已知正项数列的前n项和为,若数列是公差为的等差数列,且是的等差中项.‎ ‎(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;‎ ‎(2)若是数列的前n项和,若恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎18.(12分)某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动,分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛,每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛,且各队员之间参加比赛相互独立;已知甲同学必选“中国象棋”,不选“国际象棋”,乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.‎ ‎(1)求甲、乙同时参加围棋比赛的概率;‎ ‎(2)记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为,求的分布列及期望.‎ ‎19.(12分)如图,三棱锥中,,,分别为的中点,;连接,平面平面.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)已知椭圆的离心率为,点是椭圆上的点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)已知斜率存在又不经过原点的直线与圆相切,且与椭圆交于两点.探究:在椭圆上是否存在点,使得,若存在,请求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由.‎ ‎21.(12分)已知函数.‎ ‎(1)若函数的图象在点处的切线的斜率为,求函数在上的最小值;‎ ‎(2)若关于的方程在上有两个解,求实数的取值范围.‎ 请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22.(10分)选修4—4坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中曲线的参数方程为(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)将曲线向左平移2个单位,再将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的,得到曲线,求曲线上的点到直线的距离的最小值.‎ ‎23.(10分)选修4—5不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ 理科数学答案与解析 ‎1.【答案】C【解析】依题意,集合,,‎ 故,故选C.‎ ‎2.【答案】A【解析】依题意,,故,故,故复数的共轭复数为,故选A.‎ ‎3.【答案】B【解析】不妨取,此时,故命题为真;特称命题的否定为全称命题,故,,故选B.‎ ‎4.【答案】253【解析】当时,共有24个数,从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数,观察可知,其规律为1,31,61,101,151,211,281,361,451,551,661,781,911,1051,‎ ‎1201,1361,1531,1711,1901,2101,2311,253,故所求数字为253.‎ ‎5.【答案】B【解析】运行该程序,第一次,;第二次,;第三次,;第四次,;第五次;;第六次,;观察可知,判断框中可以填“”,故选B.‎ ‎6.【答案】A【解析】依题意,‎ ‎;‎ ‎;故原式的值为,故选A.‎ ‎7.【答案】D【解析】依题意,,将函数的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位后,得到函数的图象,这是一个奇函数,图象关于中心对称,故函数的对称中心为,故选D.‎ 8. ‎【答案】C【解析】依题意,将函数的图象向右平移个单位后,得到的图象,此时,‎ 解得,故,故的最小值为 故;令,解得 ‎,即,故选C.‎ ‎9.【答案】A【解析】依题意,作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示,可以求出;要使恒成立,需且仅需解得;故的取值不可能为7,故选A.‎ ‎ ‎ ‎ 第9题答案图 第10题答案图 ‎10.【答案】B【解析】作出该几何体的直观图如下图所示,观察可知,该几何体的最短棱长为或,均为,故选B.‎ ‎11.【答案】A【解析】依题意,;因为,故;设,则,‎ 故,,可知,当时,有最大值25,当时,有小值;故的取值范围为,故选A.‎ ‎12.【答案】B【解析】,可得,令,则,其中,,,又,则,即,因此实数的取值范围是,故选B.‎ ‎13.【答案】253【解析】当时,共有24个数,从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数,观察可知,其规律为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210,231,253,故所求数字为253.‎ ‎14.【答案】420【解析】依题意,多项式,要凑出,则必须有四个,两个,以及两个,故所求系数为.‎ ‎15.【答案】【解析】因为四边形为等腰梯形,‎ ‎,故;因为,,‎ ‎,‎ 故;取CD的中点E,则E是等腰梯形 外接圆圆心;F是外心,作平面,平面,则O是四棱锥的外接球的球心,且;设四棱锥的外接球半径,则,所以四棱锥外接球的表面积是.‎ ‎16.【答案】【解析】因为,故,‎ 故,故是等腰直角三角形;在中,,‎ 由余弦定理,;;‎ 又,;‎ 易知当时,四边形的面积有最大值,最大值为.‎ ‎17.【解析】(1)依题意,,故,故;‎ 故数列是公比为3的等比数列,因为,故,‎ 解得;故数列的通项公式为;(6分)‎ ‎(2)依题意,,故数列是以1为首项,为公比的等比数列,‎ 故 故,即实数的取值范围为.(12分)‎ ‎18.【解析】(1)依题意,甲、乙同时参加围棋比赛的概率;(4分)‎ ‎(2)依题意,的可能取值为1,2,3;乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为;‎ ‎,,,故的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故所求期望.(12分)‎ ‎19.【解析】(1),平面平面,‎ 平面平面,故底面,‎ ‎,两两垂直,以 为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知 条件知,,‎ 且,‎ ‎,‎ ‎,,平面.(6分)‎ ‎(2)由(1)可知,平面的法向量为.‎ 令平面的法向量为,故,‎ 即,取.,‎ 二面角的余弦值为.(12分)‎ ‎20.【解析】(1)依题意,,故.①‎ 将代入椭圆的方程中,可得.②‎ 联立①②,解得,故椭圆的标准方程为.(4分)‎ ‎(2)假设在椭圆上存在点,使得.‎ 依题意,设直线,圆,即.‎ 直线与圆相切,所以,‎ 整理得.当时,切线的斜率不存在,不合题意,舍去;‎ 当且时,得,把代入椭圆 的方程得:.‎ 易知,圆在椭圆内,所以直线与椭圆相交,设,‎ 则,,‎ ‎,‎ ‎.‎ 因为,故,‎ 即的坐标为.‎ 又因为在椭圆上,所以,‎ 得,把代入得;‎ 因为,所以,,于是或,‎ 综上所述.(12分)‎ ‎21.【解析】(1)依题意,,故,‎ 解得,故;令,故;‎ 因为,,,‎ 故函数在上的最小值为;(4分)‎ ‎(2)依题意,;‎ 问题转化为在有两个解;‎ 令,.‎ ‎①当时,,在上单调递增.‎ 由零点存在性定理,在至多一个零点,与题设发生矛盾. ‎ ‎②当时,令,则.‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递增 极大值 单调递减 因为,当(或),‎ 要使在内有两个零点,则即可,得,‎ 又因为,所以;综上,实数的取值范围为.(12分)‎ ‎22.【解析】(1)曲线:;直线:;(4分)‎ ‎(2)依题意,曲线;又曲线的参数方程为为参数),‎ 设曲线上任一点,‎ 则(其中),‎ 所以点到直线的距离的最小值为.(10分)‎ ‎23.【解析】(1)显然;故,‎ 故不等式的解集为;(5分)‎ ‎(2)依题意,当,,‎ 故,解得;‎ 当时,,‎ 故,解得;‎ 综上所述,实数的值为.(10分)‎
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