高中数学人教a版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评12 word版含答案

高中数学人教a版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评12 word版含答案

学业分层测评(十二) (建议用时：45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1．下列条件中，能使直线 m⊥平面α的是( ) A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α 【解析】 由线线平行及线面垂直的判定知选项 D 正确． 【答案】 D 2．如图 238，三棱锥 PABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线 PB 和平面 ABC 所成的角是( ) 图 238 A．∠BPA B．∠PBA C．∠PBC D．以上都不对 【解析】 由 PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B， 得 PA⊥平面 ABC， 所以∠PBA 为 BP 与平面 ABC 所成的角．故选 B. 【答案】 B 3．已知直线 m，n 是异面直线，则过直线 n 且与直线 m 垂直的平 面( ) 【导学号：09960073】 A．有且只有一个 B．至多一个 C．有一个或无数个 D．不存在 【解析】 若异面直线 m、n 垂直，则符合要求的平面有一个，否 则不存在． 【答案】 B 4．在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦 值为( ) A. 2 3 B. 3 3 C.2 3 D. 6 3 【解析】 如图所示，连接 BD 交 AC 于点 O，连接 D1O，由于 BB1∥DD1，∴DD1 与平面 ACD1 所成的角就是 BB1 与平面 ACD1 所成的 角．易知∠DD1O 即为所求．设正方体的棱长为 1，则 DD1＝1，DO＝ 2 2 ，D1O＝ 6 2 ， ∴cos ∠DD1O＝DD1 D1O ＝ 2 6 ＝ 6 3 . ∴BB1 与平面 ACD1 所成的角的余弦值为 6 3 . 【答案】 D 5．(2015·成都高二检测)已知 ABCDA1B1C1D1 为正方体，下列结论 错误的是( ) A．BD∥平面 CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面 CB1D1 D．AC1⊥BD1 【解析】 正方体中由 BD∥B1D1，易知 A 正确； 由 BD⊥AC，BD⊥CC1 可得 BD⊥平面 ACC1， 从而 BD⊥AC1，即 B 正确； 由以上可得 AC1⊥B1D1，同理 AC1⊥D1C， 因此 AC1⊥平面 CB1D1，即 C 正确； 由于四边形 ABC1D1 不是菱形，所以 AC1⊥BD1 不正确．故选 D. 【答案】 D 二、填空题 6．(2016·太原高一检测)如图 239，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂 足为 A，EB⊥β，垂足为 B，则 CD 与 AB 的位置关系是________． 图 239 【解析】 ∵EA⊥α，CD⊂α， 根据直线和平面垂直的定义，则有 CD⊥EA. 同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有 EB⊥CD. 又 EA∩EB＝E， ∴CD⊥平面 AEB. 又∵AB⊂平面 AEB，∴CD⊥AB. 【答案】 CD⊥AB 7．如图 2310 所示，PA⊥平面 ABC，在△ABC 中，BC⊥AC，则 图中直角三角形的个数有________． 图 2310 【解析】 PA⊥平面 ABC BC⊂平面 ABC ⇒ PA⊥BC AC⊥BC PA∩AC＝A ⇒BC⊥平面 PAC⇒BC⊥PC， ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC. 【答案】 4 三、解答题 8．如图 2311，四边形 ABCD 为矩形，AD⊥平面 ABE，F 为 CE 上的点，且 BF⊥平面 ACE.求证：AE⊥BE. 图 2311 【证明】 ∵AD⊥平面 ABE，AD∥BC， ∴BC⊥平面 ABE. 又 AE⊂平面 ABE，∴AE⊥BC. ∵BF⊥平面 ACE，AE⊂平面 ACE，∴AE⊥BF. 又∵BF⊂平面 BCE，BC⊂平面 BCE，BF∩BC＝B， ∴AE⊥平面 BCE. 又 BE⊂平面 BCE，∴AE⊥BE. 9．如图 2312 所示，三棱锥 ASBC 中，∠BSC＝90°，∠ASB＝ ∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线 AS 与平面 SBC 所成的角． 【导学号：09960074】 图 2312 【解】 因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB 与△SAC 都是等边三角形．因此 AB＝AC. 如图所示，取 BC 的中点 D， 连接 AD，SD，则 AD⊥BC. 设 SA＝a，则在 Rt△SBC 中，BC＝ 2a，CD＝SD＝ 2 2 a. 在 Rt△ADC 中，AD＝ AC2－CD2＝ 2 2 a. 则 AD2＋SD2＝SA2，所以 AD⊥SD. 又 BC∩SD＝D，所以 AD⊥平面 SBC. 因此∠ASD 即为直线 AS 与平面 SBC 所成的角． 在 Rt△ASD 中，SD＝AD＝ 2 2 a， 所以∠ASD＝45°， 即直线 AS 与平面 SBC 所成的角为 45°. [自我挑战] 10．(2015·淮安高二检测)如图 2313，四棱锥 SABCD 的底面 ABCD 为正方形，SD⊥底面 ABCD，则下列结论中正确的有________个． 图 2313 ①AC⊥SB； ②AB∥平面 SCD； ③SA 与平面 ABCD 所成的角是∠SAD； ④AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SC 所成的角． 【解析】 因为 SD⊥底面 ABCD，所以 AC⊥SD. 因为 ABCD 是正方形， 所以 AC⊥BD.又 BD∩SD＝D， 所以 AC⊥平面 SBD，所以 AC⊥SB，故①正确． 因为 AB∥CD，AB⊄平面 SCD，CD⊂平面 SCD， 所以 AB∥平面 SCD，故②正确． 因为 AD 是 SA 在平面 ABCD 内的射影， 所以 SA 与平面 ABCD 所成的角是∠SAD.故③正确． 因为 AB∥CD， 所以 AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SC 所成的角， 故④正确． 【答案】 4 11．如图 2314，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面， M 为圆周上任意一点，AN⊥PM，N 为垂足. 【导学号：09960075】 (1)求证：AN⊥平面 PBM； (2)若 AQ⊥PB，垂足为 Q，求证：NQ⊥PB. 图 2314 【证明】 (1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴AM⊥BM. 又 PA⊥平面 ABM，∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面 PAM. 又 AN⊂平面 PAM，∴BM⊥AN. 又 AN⊥PM，且 BM∩PM＝M，∴AN⊥平面 PBM. (2)由(1)知 AN⊥平面 PBM， PB⊂平面 PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A， ∴PB⊥平面 ANQ. 又 NQ⊂平面 ANQ，∴PB⊥NQ.