2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第二章 第8节 函数与方程
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多维层次练14
[A级 基础巩固]
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2，0 C. D．0
解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.
答案：D
2．(2020·长郡中学等十三校联考)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，所以x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.
答案：B
3．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.
答案：C
4．已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A. B. C．－ D．－
解析：令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
答案：C
5．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．0
1
解析：因为当x>0时，x＝1是函数f(x)的一个零点，
所以当x≤0时，要使f(x)＝－2x＋a没有零点，
则－2x＋a<0或－2x＋a>0恒成立，
即a<2x或a>2x恒成立，故a≤0或a>1.
所以函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件可以是a<0.
答案：A
6．(多选题)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
x
1
1.5
1.25
1.375
1.437 5
1.406 25
f(x)的
近似值
－2
0.625
－0.984
－0.260
0.162
－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0近似解(精确度为0.05)可以是( )
A．1.25 B．1.437 5
C．1.406 25 D．1.421 9
解析：由零点存在定理，在(1.406 25，1.437 5)内有零点，
又1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.05，
所以在区间[1.406 25，1.437 5]内任取一值可为零点近似解．
则B、C、D均满足要求．
答案：BCD
7．(2020·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰好有两个不同的实根，则实数a的取值范围为( )
A.1 D．a∈R
解析：作出函数f(x)的图象如图：
因为关于x的方程f(x)＝2a恰好有两个不同实根，
所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，
所以2a>2或<2a≤1.
解之得a>1或0)的最小值为8，则实数a的取值范围是( )
A．(5，6) B．(7，8) C．(8，9) D．(9，10)
解析：由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，
所以f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8.
令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.
则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，
又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，
所以实数a所在的区间为(5，6)．
答案：A
9．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
解析：由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.
答案：3
10．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________，函数的零点是________(用a表示)．
解析：依题意，f(x)＝x2＋ax＋b有不变号零点，
所以Δ＝a2－4b＝0，知a2＝4b，
从而函数的零点x0＝－.
答案：a2＝4b －
11．(2020·济南质检)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于________．
解析：考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标．
又A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.
答案：1
12．已知函数f(x)＝
(1)若f(1)＝3，则实数a＝________．
(2)若函数y＝f(x)－2有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)f(1)＝1－a＝3，所以a＝－2，
(2)作出y＝2与y＝f(x)的图象(略)，y＝f(x)－2有两个零点，则12－a<2，所以a>－1.
答案：(1)－2 (2)(－1，＋∞)
[B级 能力提升]
13．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x＞0)，y2＝ln x(x＞0)的图象，如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
答案：C
14．(2020·佛山调研)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(1，＋∞)∪{0} D．(0，1]
解析：令g(x)＝f(x)－b＝0，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)<0得ex(x＋2)<0，即x<－2，此时f(x)为减函数，
由f′(x)>0得ex(x＋2)>0，即－20)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________．
解析：易知y＝ex－e－x为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得y＝f(x)的图象．
所以y＝f(x)的图象关于点(0，4)对称，
又y＝kx＋4过点(0，4)且关于(0，4)对称．
所以方程f(x)＝kx＋4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0.
因此x1＋x2＋x3＝0.
答案：0
[C级 素养升华]
16．(2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
解析：(1)当λ＝2时，f(x)＝
其图象如图(1)所示．
由图知f(x)<0的解集为(1，4)．
(2)f(x)＝恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．
在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)．
答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)
素养培育直观想象——嵌套函数的零点问题(自主阅读)
函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数的相关问题．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单函数，借助函数的图象、性质求解．
1．嵌套函数的零点个数判断
[典例1] 已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析：由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得
f(x)＝或f(x)＝1，
作出函数y＝f(x)的图象．
由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．
答案：5
[解题思路] 1.上述题目涉及嵌套函数零点个数的判断，求解的主要步骤：(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点；
(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)，求出x的值域判断图象交点个数．
2．抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
2．嵌套函数零点中的参数
[典例2] (2020·湖北重点中学联考)已知函数f(x)＝，若关于x
的方程[f(x)]2＋mf(x)＋m－1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，2)∪(2，＋∞) B.
C. D．(1，e)
解析：因为f′(x)＝＝，
所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上递减．
因此f(x)max＝f(1)＝.
又当x→－∞时，f(x)→－∞；x→＋∞时，f(x)→0且f(x)>0.
从而作出t＝f(x)的简图，如图所示．
令t＝f(x)，g(t)＝t2＋mt＋m－1.
由g(t)＝0，得t＝－1或t＝1－m.
当t＝－1时，f(x)＝＝－1，方程有一解，要使原方程有3个不同的实数解，必须使t＝1－m与t＝f(x)的图象有两个交点．
故0<1－m<，所以1－t1)且t1<－1，t2≥－1.
当t1<－1时，t1＝f(x)有一解．
当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．
综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．
答案：[－1，＋∞)
[解题思路] 1.求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围．进而由t＝f(x)图象确定x取值．
2．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．
