【数学】湖北省通山一中2019-2020学年高二下学期周练（三）

【数学】湖北省通山一中2019-2020学年高二下学期周练（三）

湖北省通山一中2019-2020学年高二下学期周练（三）‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．已知复数z满足，则复数z的共轭复数为（　　）‎ A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i ‎2．8名学生站成两排，前排5人，后排3人，则不同的站法种数为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若成绩在[60，80）的人数是16，则低于60分的人数是（　　）‎ A．6 B．‎12 ‎C．15 D．18‎ ‎4．下列判断错误的是（　　）‎ A．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.21．‎ B．“∀x∈R，x2＞‎0”‎的否定是“∃x0∈R，≤‎0”‎ ‎ C．若随机变量ξ服从二项分布：ξ～B（5，），则Eξ＝1 ‎ D．“am2＜bm‎2”‎是“a＜b”的必要不充分条件 ‎5．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是（　　）‎ ‎（1）若α∥β，m⊂α，则m∥β；‎ ‎（2）若m∥α，n⊂α，则m∥n；‎ ‎（3）若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；‎ ‎（4）若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．‎ A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）‎ ‎6．二中“时光胶囊”社团计划做3种与海军节有关的精美卡片，分别是“浪花白”、“辽宁号”、“深潜蓝”，将在每袋礼品中随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该礼品4袋，获奖的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如果随机变量X～N（4，1），则P（X≤2）等于（　　）‎ ‎（注：P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544）‎ A．0.210 B．‎0.0228 ‎C．0.0456 D．0.021 5‎ ‎8．在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（　　）‎ A．﹣40 B．‎160 ‎C．120 D．200‎ ‎9．已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝2lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时，t的值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎11．已知f（x）＝﹣6x+1在（﹣1，1）单调递减，则m的取值范围为（　　）‎ A．[﹣3，3] B．（﹣3，3） C．[﹣5，5] D．（﹣5，5）‎ ‎12.已知三次函数的导函数为f′（x），若方程f′[f（x）]＝0有四个实数根，则实数a的范围为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．已知随机变量X的分布列如表：‎ X ‎0‎ ‎2‎ a P b 其中a＞0，b＞0．且E（X）＝2，则b＝　 　，D（2x﹣1）＝　 　．‎ ‎14．已知函数f（x）＝x3﹣2x+ex﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（‎2a2）≤0．则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎15．“新冠肺炎”爆发后，某医院由甲、乙、丙、丁、戊5位医生组成的专家组到某市参加抗击疫情．五位医生去乘高铁，按规定每位乘客在进站前都需要安检，当时只有3个安检口开通，且没有其他旅客进行安检.5位医生分别从3个安检口进行安检，每个安检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检，则甲、乙2位医生不在同一个安检口进行安检的概率为　 　．‎ ‎16．已知函数f（x）＝xlnx+mex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数m的取值范围是　 　．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．‎ ‎18．4月份的二中迎来了国内外的众多宾客，其中很多人喜欢询问MT团队模式，为了了解“询问MT团队模式”是否与性别有关，在4月期间，随机抽取了80人，得到如下所示的列联表：‎ 关心“MT团队”‎ 不关心“MT团队”‎ 合计 男性 ‎12‎ 女性 ‎36‎ 合计 ‎80‎ ‎（Ⅰ）若在80人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，男性应抽9人，请将上面的列联表补充完整，并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为关心“MT团队”与性别有关系？‎ ‎（Ⅱ）若以抽取样本的频率为概率，从4月来宾中随机抽取4人赠送精美纪念品，记这4人中关心“MT团队”人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19．如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝∠BMC＝90°，MB＝MC，AD＝DC＝，平面BCM⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD∥平面ABM；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC⊥平面BCM；‎ ‎（Ⅲ）在棱AM上是否存在一点E，使得二面角E﹣BC﹣M的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．‎ ‎21．已知函数f（x）＝x2+alnx．‎ ‎（1）当a＝﹣2时，求函数f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）若在[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．‎ ‎22.已知函数，其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）有唯一零点，求a的值．‎ 参考答案 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．D．2．A．3．B．4．D．5．B．6．C．7．B．8．C．9．C．10．A．11．C．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．，24．‎ ‎14.解：函数f（x）＝x3﹣2x+ex﹣的导数为：‎ f′（x）＝3x2﹣2+ex+≥﹣2+2＝0，‎ 可得f（x）在R上递增；‎ 又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣＝0，‎ 可得f（x）为奇函数，‎ 则f（a﹣1）+f（‎2a2）≤0，‎ 即有f（‎2a2）≤﹣f（a﹣1）‎ 由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），‎ f（‎2a2）≤f（1﹣a），‎ 即有‎2a2≤1﹣a，‎ 解得﹣1≤a≤，‎ 故答案为：[﹣1，]．‎ ‎15．【分析】基本事件总数n＝＝540，甲、乙2位医生在同一个安检口进行安检包含的基本事件个数m＝﹣32＝135，由此能求出甲、乙2位医生不在同一个安检口进行安检的概率．‎ ‎【解答】解：某医院由甲、乙、丙、丁、戊5位医生组成的专家组到某市参加抗击疫情．‎ 五位医生去乘高铁，按规定每位乘客在进站前都需要安检，‎ 当时只有3个安检口开通，且没有其他旅客进行安检.5位医生分别从3个安检口进行安检，‎ 每个安检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检，‎ 基本事件总数n＝＝540，‎ 甲、乙2位医生在同一个安检口进行安检包含的基本事件个数m＝﹣32＝135，‎ 则甲、乙2位医生不在同一个安检口进行安检的概率为P＝1﹣＝1﹣＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎16．【分析】f（x）＝xln x+mex（x＞0），∴f′（x）＝ln x+1+mex（x＞0），由函数f（x）有两个极值点可得y＝﹣m和g（x）＝在（0，+∞）上有两个交点，g′（x）＝（x＞0），令h（x）＝﹣ln x﹣1，利用导数研究其单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：f（x）＝xln x+mex（x＞0），∴f′（x）＝ln x+1+mex（x＞0），‎ 由函数f（x）有两个极值点可得y＝﹣m和g（x）＝在（0，+∞）上有两个交点，‎ g′（x）＝（x＞0），令h（x）＝﹣ln x﹣1，‎ 则h′（x）＝﹣﹣＜0，‎ ‎∴h（x）在（0，+∞）上单调递减且h（1）＝0，‎ ‎∴当x∈（0，1]时，h（x）≥0，即g′（x）≥0，g（x）在（0，1]上单调递增，g（x）≤g（1）＝，‎ 当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减．‎ 故g（x）max＝g（1）＝，‎ 而当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→0；‎ 若y＝﹣m和g（x）的图象在（0，+∞）上有两个交点，‎ 只需0＜﹣m＜，故﹣＜m＜0．‎ 故答案为：（﹣，0）．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．【分析】（I）由题意知红队至少有两名队员获胜包括四种情况，一是只有甲输，二是只有乙输，三是只有丙输，四是三个人都赢，这四种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果．‎ ‎（II）由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，变量等于2使得概率可以用1减去其他的概率得到，写出分布列，算出期望．‎ ‎【解答】解：（I）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，‎ ‎∵甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5‎ 可以得到D，E，F的对立事件的概率分别为0.4，0，5，0.5‎ 红队至少两名队员获胜包括四种情况：DE，DF，，DEF，‎ 这四种情况是互斥的，‎ ‎∴P＝0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5＝0.55‎ ‎（II）由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3‎ P（ξ＝0）＝0.4×0.5×0.5＝0.1．，‎ P（ξ＝1）＝0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5＝0.35‎ P（ξ＝3）＝0.6×0.5×0.5＝0.15‎ P（ξ＝2）＝1﹣0.1﹣0.35﹣0.15＝0.4‎ ‎∴ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.35‎ ‎0.4‎ ‎0.15‎ ‎∴Eξ＝0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15＝1.6‎ ‎【点评】本题考查互斥事件的概率，考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，解题时注意对立事件概率的使用，一般遇到从正面解决比较麻烦的，就选择利用对立事件来解决．‎ ‎18．【分析】（Ⅰ）根据所给数据得到列联表，利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到答案；‎ ‎（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，求得相应的概率，即可得到X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设80人中，男性人数为m，按性别分层抽取一个容量为20的样本，男性应抽9人，则＝，解得m＝36．‎ 关心“MT团队”‎ 不关心“MT团队”‎ 合计 男性 ‎24‎ ‎12‎ ‎36‎ 女性 ‎36‎ ‎8‎ ‎44‎ 合计 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 将列联表中的数据代入计算可得 K2＝≈2.424，由2.424＜3.841，‎ 可得在犯错误的概率不超过0.05前提下，不能认为关心“MT团队”与性别有关系；‎ ‎（Ⅱ）根据题意可得X服从二项分布：X∽B（4，），‎ 则P（X＝i）＝C（）i（）4﹣i，i＝0，1，2，3，4，‎ 故X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 则E（X）＝np＝4×＝3．‎ ‎【点评】本题考查独立性检验中的计算K2，以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查分析能力和运算能力，属于中档题．‎ ‎19．【解答】（I）证明：因为AB∥CD，AB⊂平面ABM，CD⊄平面ABM，‎ 所以CD∥平面ABM；‎ ‎（Ⅱ）证明：取AB的中点N，连接CN，‎ 在直角梯形ABCD中，，且CN⊥AB，‎ 在Rt△CNB中，由勾股定理得BC＝，‎ 由AC2＝AD2+DC2＝4，在△ACB中，AC2+BC2＝AB2，故AC⊥BC，‎ 又因为平面BCM⊥平面ABCD，‎ 且平面BCM∩平面ABCD＝BC，‎ 所以AC⊥平面BCM；‎ ‎（Ⅲ）解：取BC的中点O，连接OM，ON，‎ 由ON∥AC，所以ON⊥平面BCM．‎ 因为BM＝MC，所以OM⊥BC．‎ 如图以直线ON，OB，OM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，‎ 则M（0，0，1），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），A（2，﹣1，0），‎ ‎，，，‎ 平面BCM的一个法向量为＝（1，0，0），‎ 假设在棱AM上存在一点E，使得二面角E﹣BC﹣M的大小为，‎ 不妨设，‎ 所以，‎ 设平面BCE的一个法向量为＝（x，y，z），‎ 则 即 ‎ 令x＝λ，z＝2λ﹣2，所以＝（λ，0，2λ﹣2），‎ 故，‎ 得或λ＝2，‎ 因为0≤λ≤1，所以，‎ 所以在棱AM上存在一点E，使得二面角E﹣BC﹣M的大小为，此时．‎ ‎20．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，求得a和b的值，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）方法一、设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02＝16，求出直线PA的方程，令x＝0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y＝0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值．‎ 方法二、设P（4cosθ，2sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x＝0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y＝0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得e＝＝，‎ 又△OAB的面积为4，可得ab＝4，即ab＝8，‎ 且a2﹣b2＝c2，‎ 解得a＝4，b＝2，c＝2，‎ 可得椭圆C的方程：；‎ ‎（2）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），‎ 可得x02+4y02＝16，‎ 当x0＝0时，可得P（0，﹣2），‎ 即有M（0，﹣2），N（0，0），‎ 可得|AN|•|BM|为定值16；‎ 直线PA：y＝（x﹣4），令x＝0，可得y＝﹣，‎ 则|BM|＝|2+|；‎ 直线PB：y＝x+2，令y＝0，可得x＝﹣，‎ 则|AN|＝|4+|．‎ 可得|AN|•|BM|＝|4+|•|2+|，‎ ‎|AN|•|BM|＝|4+|•|2+|＝||＝|‎ ‎|＝||＝16，‎ 即有|AN|•|BM|为定值16．‎ 证法二：设P（4cosθ，2sinθ），（0≤θ＜2π），‎ 直线PA：y＝（x﹣4），令x＝0，可得y＝﹣，‎ 则|BM|＝2||；‎ 直线PB：y＝x+2，令y＝0，可得x＝﹣，‎ 则|AN|＝4||．‎ 即有|AN|•|BM|＝2||•4||，‎ ‎＝8||，‎ ‎＝8||＝16．‎ 则|AN|•|BM|为定值16．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，椭圆的参数方程，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题．‎ ‎21．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，得到导数在x＝1时为零．然后列表讨论函数在区间（0，1）和（1，+∞）上讨论函数的单调性，即可得到函数f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）在[1，+∞）上是单调函数，说明g（x）的导数g'（x）在区间[1，+∞）恒大于等于0，或g'（x）在区间[1，+∞）恒小于等于0．然后分两种情况加以讨论，最后综合可得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）易知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）‎ 当a＝﹣2时，．…（2分）‎ 当x变化时，f'（x）和f（x）的值的变化情况如下表：…（4分）‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 递减 极小值 递增 由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞），极小值是f（1）＝1．…（8分）‎ ‎（2）由，得．…（9分）‎ 又函数为[1，+∞）上单调函数，‎ ‎①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，‎ 则g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，‎ 即不等式在[1，+∞）上恒成立．‎ 也即在[1，+∞）上恒成立，‎ 而φ（x）＝在[1，+∞）上的最大值为φ（1）＝0，所以a≥0．…（12分）‎ ‎②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，‎ 根据①，在[1，+∞）上φ（x）max＝φ（1）＝0，φ（x）没有最小值．…（13分）‎ 所以g'（x）≤0在[1，+∞）上是不可能恒成立的．…（15分）‎ 综上，a的取值范围为[0，+∞）．…（16分）‎ ‎【点评】本题是一道导数的应用题，着重考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数恒成立等知识点，属于中档题．‎ ‎22.【解答】解：（I）当a＝2时，，∴．‎ ‎∴f′（0）＝2﹣1＝1，又f（0）＝2﹣1＝1，‎ ‎∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝x，即x﹣y+1＝0；‎ ‎（Ⅱ）解法一：问题等价于关于x的方程有唯一的解时，求a的值．‎ 令，则．‎ 令h（x）＝1﹣2x﹣ex，则h'（x）＝﹣2﹣ex＜0，∴h（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减．‎ 又h（0）＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；‎ 当x∈（0，+∞）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减．‎ ‎∴g（x）的极大值为g（0）＝1，‎ ‎∴当x∈（﹣∞，0]时，g（x）∈（﹣∞，1]；当x∈（0，+∞）时，g（x）∈（0，1）．‎ 又a＞0，∴当方程有唯一的解时，a＝1．‎ 综上，当函数f（x）有唯一零点时，a的值为1．‎ 解法二：问题等价于关于x的方程有唯一的解时，求a的值．‎ 令ex＝t（t＞0），则x＝lnt．‎ 问题等价于关于t的方程有唯一的解时，求a的值．‎ 令，则．‎ 令h（t）＝1﹣t﹣2lnt（t＞0），则．‎ ‎∴h（t）在（0，+∞）单调递减，而h（1）＝0，‎ ‎∴当t∈（0，1）时，h（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，h（t）＜0．‎ ‎∴当t∈（0，1）时，g'（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＜0．‎ 从而g（t）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．‎ 注意到：g（1）＝1，当t＞1时，g（t）＞0，当t→0时，g（t）→﹣∞，‎ ‎∴g（t）的唯一极大值为g（1）＝1．‎ 结合g（t）的图象知，a＝1或a＜0时，关于t的方程有唯一的解，而a＞0，所以a＝1．‎