2018-2019学年海南省八校联盟高二上学期期末联考数学试题（解析版）

2018-2019学年海南省八校联盟高二上学期期末联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年海南省八校联盟高二上学期期末联考数学试题 一、单选题 ‎1．设命题，，则为（ ）‎ A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 解：全称命题的否定是特称命题，所以，命题，，则为：，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．‎ ‎2．某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由分层抽样的特点，运用比例关系求出结果 ‎【详解】‎ 设样本中的老年教师人数为人，由分层抽样的特点得：，所以，故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了分层抽样的计算，由分层抽样的特点结合比例关系求出结果，较为基础 ‎3．设直线的方向向量为，平面的法向量为，，则使成立的是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，验证，得到，进而得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，只有B中，所以，故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用空间向量判定点、线、面的位置关系的应用，其中熟记空间向量与线面位置关系的判定方法，熟练使用平面的法向量是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎4．在8件同类产品中，有6件是正品，2件次品，从这8件产品中任意抽取2件产品，则下列说法正确的是 A．事件“至少有一件是正品”是必然事件 B．事件“都是次品”是不可能事件 C．事件“都是正品”和“至少一个正品”是互斥事件 D．事件“至少一个次品”和“都是正品”是对立事件 ‎【答案】D ‎【解析】本题首先可以根据题意得出所有的可能种类，然后通过必然事件以及不可能事件的性质判断出A、B错误，再然后通过互斥事件与对立事件的性质判断出C错误以及D正确，即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 因为抽取的两件产品有可能都是次品，所以A、B错；‎ 因为事件“至少一个正品”包含事件“都是正品”，所以C错；‎ 因为事件“至少一个次品”和事件“都是正品”包含了所有可能的事件，故互为对立事件，所以D正确，综上所述，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了事件的关系，主要考查了必然事件、不可能事件、互斥事件、对立事件的相关性质，提高了学生对于事件的关系的判断能力，体现了基础性，是简单题。‎ ‎5．若焦点在轴上的椭圆 的离心率为，则（ ）‎ A．31 B．28 C．25 D．23‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据椭圆定义，用m表示出和，再根据离心率求得m的值。‎ ‎【详解】‎ 焦点在x轴上，所以 ‎ 所以 离心率 ，所以 ‎ 解方程得m=23‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆定义及离心率，属于基础题。‎ ‎6．篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表：‎ 得分 ‎8‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎22‎ ‎28‎ ‎33‎ ‎37‎ 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ 则这15场得分的中位数和众数分别为（ ）‎ A．22，18 B．18，18 C．22，22 D．20，18‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据频数分布表列出的数据，找出出现次数最多的数字为众数；这组数据有15个，这组数据的中位数是排序后最中间的数字．‎ ‎【详解】‎ 解：根据表中数据可知，得分频率最高的为18，故众数为18，‎ 将得分按从小到大顺序排序，‎ 排在中间位置的为18，故中位数为18，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频数分布表，考查众数、中位数，对于一组数据这两个特征数是经常考查的，本题是基础题．‎ ‎7．下列说法：①若线性回归方程为，则当变量增加一个单位时，一定增加3个单位；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；③线性回归直线方程必过点；④抽签法属于简单随机抽样；其中错误的说法是（ ）‎ A．①③ B．②③④ C．① D．①②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据线性回归方程与方差的求法，随机抽样的知识，对选项中的命题判断正误即可．‎ ‎【详解】‎ 解：对于①，回归方程中，变量增加1个单位时，平均增加3个单位，不是一定增加，①错误；‎ 对于②，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，②正确；‎ 对于③，线性回归方程必经过样本中心点，③正确；‎ 对于④，抽签法属于简单随机抽样；④正确．‎ 综上，错误的命题是①．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程与的应用问题，是基础题．‎ ‎8．在三棱柱中，若，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】可先画出三棱柱，结合向量的加法及减法公式将用进行代换即可 ‎【详解】‎ 如图所示：根据向量线性运算的加法法则有，‎ 整理顺序得：‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量线性运算的加法及减法运算，属于基础题 ‎9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一点，，为坐标原点，若，则（ ）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】连结，由于，可知是三角形的中位线，得到，然后利用双曲线的性质求出即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以为的中点，‎ ‎(如下图)连结，则是三角形的中位线，‎ 所以，‎ 由双曲线方程可得，，，‎ 所以，，‎ 而，，‎ 所以或者18，‎ 因为，所以舍去，‎ 故18，则.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义及性质，平面向量的线性运算，属于中档题。‎ ‎10．“方程表示的曲线为椭圆”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】先求出方程为椭圆时的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可。‎ ‎【详解】‎ 若方程表示的曲线为椭圆，‎ 则，解得且，‎ 则“方程表示的曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件。‎ ‎【点睛】‎ 方程，若，则方程表示的曲线为圆；若，，且，则方程表示的曲线为椭圆；若，则方程表示的曲线为双曲线。‎ ‎11．过焦点为F的抛物线y2＝12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若直线NF的斜率为，则|MF|＝（ ）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线的焦点坐标，则，‎ 直线的斜率为，可得，‎ 则抛物线可得：，解得，所以，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．‎ ‎12．如图，椭圆（）的两焦点为，，长轴为，短轴为，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，，，，则菱形的面积与矩形的面积的比值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】菱形的面积，求出矩形的长和宽，从而求出面积，进而得到，然后利用圆内切于菱形，可以求出的比值，即可求出.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，菱形的面积，‎ 设矩形中，，，连结（如下图），‎ 则易知和相似，则，‎ 又因为，可得，，‎ 则矩形的面积，‎ 所以，‎ 因为，可得，‎ 两端同时平方得，‎ 由于，则，‎ 即，‎ 则解得或者，‎ 由于，故舍去，即.‎ 所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆与椭圆的综合，椭圆的性质，及面积的计算，属于难题。‎ 二、填空题 ‎13．若焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为yx，虚轴长为6，则实轴长为_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】可设双曲线的方程设为，由渐近线方程可得，由题意可得，求得，可得实轴长．‎ ‎【详解】‎ 解：焦点在轴上的双曲线的方程设为，‎ 由渐近线方程为，可得，即，‎ 虚轴长为，即，，可得，‎ 则实轴长为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎14．已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，y1），B（，y2）分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若|AF|＝10，则|y1﹣y2|＝_____．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】由已知根据焦半径公式求得，得到抛物线方程，进一步求得、的坐标，即可求出．‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ 则抛物线的方程为，‎ 把代入方程，得 舍去），即，‎ 把代入方程，得 舍去），即，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．‎ ‎15．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染.某环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取了15天的AQI数据，用如图所示的茎叶图记录.根据该统计数据，估计此地该年空气质量为优或良的天数约为__________．（该年为366天）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用茎叶图性质和等可能事件概率计算公式能求出该样本中空气质量优或良的频率，从而能估计该年空气质量优或良的天数．‎ ‎【详解】‎ 从茎叶图中可发现该样本中空气质量优或良为10天 故该样本中空气质量优或良的频率为，‎ 从而估计该年气质量优或良的天数为天 ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图的应用，用频率去估计概率，从而解决问题，属基础题，‎ ‎16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 令，则， ， ， ， ‎ ‎， ，‎ 设异面直线与所成角为，‎ 则．‎ 异面直线与所成角的余弦值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ 三、解答题 ‎17．为了解某校高一1000名学生的物理成绩，随机抽查了部分学生的期中考试成绩，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）估计该校高一学生物理成绩不低于80分的人数；‎ ‎（2）若在本次考试中，规定物理成绩在m分以上（包括m分）的为优秀，该校学生物理成绩的优秀率大约为18%，求m的值．‎ ‎【答案】（1）540人；（2）92.5．‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图求出该校高一学生物理成绩不低于80分的频率，由此能求出该校高一学生物理成绩不低于80分的人数．‎ ‎（2）由，得，由此列方程能求出的值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由频率分布直方图得：‎ 该校高一学生物理成绩不低于80分的频率为：‎ ‎，‎ 该校高一学生物理成绩不低于80分的人数为：人．‎ ‎（2），，‎ ‎，‎ 解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频数的求法，考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎18．一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．‎ ‎（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；‎ ‎（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为和，求的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1） 从袋中随机取两个球， 利用列举法求出所有的基本事件个数， 再用列举法求出取出的编号之和为6 包含的基本事件有个数， 由此能求出取出的球的编号之和为6概率 ．‎ ‎（2） 基本事件总数，再用列举法求出包含的基本事件的个数， 由此能求出的概率 ．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）从袋中随机抽取两个球共有15种取法，‎ 取出球的编号之和为6的有，，共2种取法，‎ 故所求概率.‎ ‎（2）先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法，‎ 两次取的球的编号之和大于5的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共26种取法，‎ 故所求概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型概率的求法， 是基础题， 解题时要认真审题， 注意列举法的合理运用 ．‎ ‎19．求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：‎ ‎（1）椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A（3，2）；‎ ‎（2）双曲线的焦点在x轴上，右焦点为F，过F作重直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=3，离心率为．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设出椭圆的标准方程，根据下焦点即可得知上焦点坐标，由椭圆定义即可求得a，结合焦距即可求得b，进而得到椭圆的标准方程。‎ ‎（2）因为过右焦点F作垂直，即可表示出A、B两点的坐标及长度，进而根据求得a、b的关系，结合双曲线中a、b、c的关系即可求得a、b的值，进而求得双曲线的标准方程。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设椭圆的标准方程为， ‎ 上焦点为，下焦点为， ‎ 根据椭圆的定义知，，即， ‎ 所以，‎ 因此，椭圆的标准方程为 ‎（2）设双曲线的标准方程为， ‎ 把带入双曲线方程，得，所以. ‎ 由，得. ‎ 所以， ‎ 所以双曲线的标准方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆与双曲线的定义及标准方程的求法，属于基础题。‎ ‎20．如图，菱形的边长为4，，矩形的面积为，且平面平面.‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】(1) 因为四边形是矩形，所以,再由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立坐标系得到各个面的法向量，进而得到夹角的余弦值，再求正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：因为四边形是矩形，所以.‎ 因为平面平面，且平面平面，‎ 所以平面.‎ 又平面，所以.‎ ‎(2)解：设与的交点为，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 因为菱形的边长为4，且，所以.‎ 因为矩形的面积为8，所以.‎ 则，，，，‎ 所以，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 令，则，，所以.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 令，则，，所以.‎ 所以，所以.‎ 所以二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，或者建系来做。‎ ‎21．在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为梯形，，，，平面ABCD．‎ 求BE与平面EAC所成角的正弦值；‎ 线段BE上是否存在点M，使平面平面DFM？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CF为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面EAC的法向量，利用向量法能求出BE与平面EAC所成角的正弦值．‎ 设线段BE上存在点b，，，，使平面平面DFM，求出平面DMF的法向量和平面EAC的法向量，利用向量法求出线段BE上不存在点M，使平面平面DFM．‎ ‎【详解】‎ 四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为梯形，，，平面ABCD．‎ 以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，‎ CF为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，则1，，‎ ‎0，，1，，‎ ‎0，，0，，‎ ‎，1，，‎ ‎0，，‎ 设平面EAC的法向量y，，‎ 则，取，‎ 得，‎ 设BE与平面EAC所成角为，‎ 则．‎ 与平面EAC所成角的正弦值为．‎ 线段BE上不存在点M，使平面平面DFM．‎ 理由如下：‎ 设线段BE上存在点b，，，，使平面平面DFM，‎ 则，，，0，，‎ 设平面DMF的法向量y，，‎ 则，取，得，‎ 平面平面DFM，平面EAC的法向量，‎ ‎，解得，‎ 线段BE上不存在点M，使平面平面DFM．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎22．已知椭圆C：的离心率为，长半轴长为短轴长的b倍，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点．‎ 求椭圆C的方程；‎ 若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】由题意知，解出a、b即可．‎ 点易知，，则直线MA的方程为，直线MB的方程为分别与椭圆联立方程组，解得，，可得，，Q坐标结合对称性可知定点在y轴上，设为N，令直线PN，QN的斜率相等，即可得到定点．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，解得，‎ 所以椭圆C的方程为．‎ 易知，，‎ 则直线MA的方程为，直线MB的方程为．‎ 联立，得，‎ 于是，，‎ 同理可得，，又由点及椭圆的对称性可知定点在y轴上，设为N（0，n）‎ 则直线PN的斜率，直线QN的斜率，‎ 令，则，化简得，解得n=，‎ 所以直线PQ过定点 ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎