【数学】2018届一轮复习人教B版第七章 不 等 式学案
第七章 不 等 式
1.不等关系
了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2．一元二次不等式
(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．
(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
3．二元一次不等式组与简单线性规划问题
(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
4．基本不等式：≤(a≥0，b≥0)
(1)了解基本不等式的证明过程．
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
7．1 不等关系与不等式
1．两个实数大小的比较
(1)a＞b⇔a－b________；
(2)a＝b⇔a－b________；
(3)a＜b⇔a－b________.
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔__________；
(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；
(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；
(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，
不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；
(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；
※(6)异向不等式相减：a>b，c
b>0，c>d>0⇒__________；
※(8)异向不等式相除：a>b>0，0b，ab>0⇒＜；
(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；
(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．
※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；
2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．
自查自纠：
1．＞0 ＝0 ＜0
2．(1)bc (3)>
(4)ac>bc acb＋d (7)ac>bd
(10)an>bn(n∈N且n≥2)
(11)>(n∈N且n≥2)
()已知实数x，y满足ax＜ay (0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A.＞ B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C．sinx＞siny D．x3＞y3
解：根据指数函数的性质得x＞y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．故选D.
()若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：由－>0得a>b≥0，由a2－b2>0得a2>b2，即|a|＞|b|，所以“－>0”是 “a2－b2>0”的充分不必要条件．故选A.
()若a>b>1，01，0ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？
解：(1)对②变形＞⇔＞0，由ab＞0，bc＞ad得②成立，所以①③⇒②.
(2)若ab＞0，＞0，则bc＞ad，所以①②⇒③.
(3)若bc＞ad，＞0，则ab＞0，所以②③⇒①.
综上所述可组成3个正确命题．
点拨：
运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac与bc的大小关系应注意从c＞0，c＝0，c＜0三个方面讨论．
()若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
解：由c＜d＜0⇒－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式性质，得－＞－＞0，所以＜.故选D.
类型三 不等式性质的应用
(1)若1<α<3，－4<β<2，则－β的取值范围是________．
解：由1＜α＜3得＜＜，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以－β的取值范围是.故填.
点拨：
①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由＜＜和－4＜β＜2两式相减来得到－β的范围．②此类题目用线性规划也可解．
(2)已知－1＜a＋b＜3且2＜a－b＜4，则2a＋3b的取值范围是________．
解：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
所以解得
所以－＜(a＋b)＜，－2＜－(a－b)＜－1.
所以－＜(a＋b)－(a－b)＜，
即－＜2a＋3b＜.故填.
点拨：
由于a＋b，a－b的范围已知，所以要求2a＋3b的取值范围，只需将2a＋3b用已知量a＋b，a－b表示出来，可设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，用待定系数法求出x，y，再利用同向不等式的可加性求解．
(1)若角α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是________．
解：因为－＜α＜β＜，所以－＜α＜，－＜β＜，－＜－β＜，而α＜β，所以－π＜α－β＜0，所以2α－β＝(α－β)＋α∈.故填.
(2)()若－1≤lg≤2，1≤lgxy≤4，则lg的取值范围是________．
解：由1≤lgxy≤4，－1≤lg≤2，
得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，
则lg＝2lgx－lgy＝(lgx＋lgy)＋(lgx－lgy)，所以－1≤lg≤5.故填[－1，5]．
类型四 比较大小
实数b＞a＞0，实数m＞0，比较与的大小，则________.
解法一：(作差比较)：
－＝＝，
因为b＞a＞0，m＞0，所以＞0，所以＞.
解法二(作商比较)：因为b＞a＞0，m＞0，
所以bm＞am⇒ab＋bm＞ab＋am＞0，
所以＞1，即·＞1⇒＞.故填＞.
点拨：
本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．
()已知a，b，c∈ R＋，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，比较cn与an＋bn的大小，则an＋bn________cn.
解：因为a，b，c∈R＋，所以an，bn，cn>0，而＝＋.因为a2＋b2＝c2，所以 ＋＝1，所以0<<1，0<<1.当n∈N，n>2时，<，<，所以＝＋<＝1，所以an＋bnb，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0
C．ac>bc D.>0
解：A项：当c<0时，不等式a＋cb⇒a－b>0，c2≥0，故 (a－b)c2≥0；C项：当c＝0时，ac＝bc；D项：当c＝0时，＝0.故选B.
4．()已知命题p：若x＞y，则 －x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解：当x＞y时，两边乘以－1可得－x＜－y，所以命题p为真命题；当x＝1，y＝－2时，显然x2＜y2，所以命题q为假命题，所以②③为真命题．故选C.
5．()已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )
A．c≤3 B．3＜c≤6
C．6＜c≤9 D．c＞9
解：由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得，－1＋ a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c，消去c得 解得于是0＜ c－6≤3，即6＜c≤9.故选C.
6．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xb>c，求的取值范围．
解：因为a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)．又a>b>c，
所以a>－(a＋c)>c，且3a＞a＋b＋c＝0＞3c，
则a>0，c<0，所以1>－＞，
即1＞－1－＞，所以
解得－2＜＜－.
故的取值范围是.
()(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 ．
3．一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．
(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 ，小于号取 ”求解集．
(4)一元二次不等式的解：
函数、方程与不等式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1,x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝
－
无实根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
①
②
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
③
4.分式不等式解法
(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式．
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
⇔ f(x)g(x)＞0；
＜0 ⇔ f(x)g(x)＜0；
≥0 ⇔
≤0 ⇔
自查自纠：
1．(1)同解不等式 (2)同解变形
2. a＝0，b＜0
3．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间
(4)①
② ③∅
()设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B等于( )
A．(1，2) B．[1，2]
C．[1，2) D．(1，2]
解：A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩ B＝{x|10，所以x<－1或x>1.故选A.
()不等式(a－2)x2＋ 2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－2，2]
C．(－2，2) D．(－∞，2)
解：当a≠2时，有 所以－21时，得10的解集为{x|－11}
解：由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋ bx＋2＝0的两根，且a＜0.
由韦达定理得⇒
所以不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0.
解得－1＜x＜.故选B.
点拨：
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．
()已知f(x)＝ －3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值．
解：(1)因为f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，所以f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
所以原不等式可化为a2－6a－3<0，解得 3－2b的解集为(－1，3)等价于方程 －3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
等价于
解得
类型四 含有参数的一元二次不等式
解关于x的不等式：mx2－(m＋ 1)x＋1＜0.
解：(1)当m＝0时，不等式为－(x－1)＜0，得x－1＞0，不等式的解集为{x|x＞1}；
(2)当m≠0时，不等式为m(x－1)＜0.
①当m＜0，不等式为(x－1)＞0，
因为＜1，
所以不等式的解集为.
②当m＞0，不等式为(x－1)＜0.
(i)若＜1，即m＞1时，
不等式的解集为；
(ii)若＞1，即0＜m＜1时，
不等式的解集为；
(iii)若＝1，即m＝1时，不等式的解集为∅.
点拨：
当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m≠0与m＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m＜0与m＞0进行讨论；第三层次：与1大小的不确定性，对m＜1、m＞1与m＝1进行讨论．
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解：不等式整理为ax2＋(a－2)x－2≥0，
当a＝0时，解集为(－∞，－1]．
当a≠0时，ax2＋(a－2)x－2＝0的两根为 －1，，所以当a＞0时，
解集为(－∞，－1]∪；
当－2＜a＜0时，解集为；
当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
当a＜－2时，解集为.
类型五 分式不等式的解法
(1)不等式≤1的解集为________．
解：≤1 ⇔ －1≤0 ⇔ ≤0 ⇔ ≥0.
解法一：≥0 ⇔
得{x|x＞－或x≤－2}．
解法二：≥0 ⇔ 或 得{x|x＞－或x≤－2}．
故填{x|x＞－或x≤－2}．
(2)()已知两个集合A＝{x|y＝ln(－x2＋x＋2)}，B＝，则A∩B＝( )
A. B.
C．(－1，e) D．(2，e)
解：由题意得A＝{x|－x2＋x＋2>0}＝ {x|－10)的最小值；
(Ⅱ)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a恒成立，试求a的取值范围．
解：(Ⅰ)依题意得y＝＝＝ x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2.所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(Ⅱ)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得∀x∈[0，2]，不等式f(x)≤a恒成立，只要x2－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立即可．不妨设 g(x)＝x2－2ax－1，则 即 解得a≥.则a的取值范围为.
(2)对于满足|a|≤2的所有实数a，使不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取值范围为________．
解：原不等式转化为(x－1)a＋x2－2x＋1＞0，设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)在[－2，2]上恒大于0，故有： 即 解得
所以x＜－1或x＞3.故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
类型七 二次方程根的讨论
若方程2ax2－x－1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1) D．[0，1)
解法一：令f(x)＝2ax2－x－1，则f(0)·f(1)＜0，即－1×(2a－2)＜0，解得a＞1.
解法二：当a＝0时，x＝－1，不合题意，故排除C，D；当a＝－2时，方程可化为4x2＋x＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a＝－2不适合，排除A.故选B.
点拨：
本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x＝－与区间端点的关系．本书2.4节有较详细的讨论，可参看．
()已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为________．
解：根据题意有f(－2)f(－1)<0，
所以(6a＋5)(2a＋3)<0.所以－1即为－x2－x＋1>1，解得 －10的解集为{x|－2}，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>lg2}
B．{x|－1－lg2}
D．{x|x<－lg2}
解：可设f(x)＝a(x＋1)(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)<0，从而10x<，解得x<－lg2，故选D.
4．()若函数f(x)＝(a2＋ 4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是( )
A．[1，19] B．(1，19)
C．[1，19) D．(1，19]
解：函数图象恒在x轴上方，即不等式 (a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立．
当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若 a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意．
当a2＋4a－5≠0时，
应有 解得10在(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－12) B．(－4，＋∞)
C．(－12，＋∞) D．(－∞，－4)
解：关于x的不等式2x2－8x－4－a＞0在(1，4)内有解，即a＜2x2－8x－4在(1，4)内有解，令f(x)＝2x2－8x－4＝2(x－2)2－12，当x＝2时，f(x)取最小值f(2)＝－12；当x＝4时，f(4)＝ 2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤ f(x)＜－4.要使a＜f(x)有解，则a＜－4.故选D.
6．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－12，＋∞)
C．(－22，0) D．(－12，0)
解：设f(x)＝3x2－5x＋a，则由题意有
即
解得－12＜a＜0.故选D.
7．()不等式log2≤3的解集为________．
解：log2≤3⇔log2≤ log28⇔0＜x＋＋6≤8⇔－6＜x＋≤2.当x＞0时，x＋≥2，此时x＝1；当x＜0时，x＋≤ －2，此时x＋＞－6，解得－3－2＜x＜－3＋2.故填(－3－2，－3＋2)∪{1}．
8．()若关于x的不等式 4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解：因为不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，所以4x－2x＋1≥a在[1，2]上恒成立．令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y取得最小值0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]．故填(－∞，0]．
9．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，求实数a的取值范围．
解法一：设f(x)＝x2－ax－a.则关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集⇔f(x)min≤－3，即f＝－≤－3，解得a≤－6或a≥2.
解法二：x2－ax－a≤－3的解集不是空集⇔ x2－ax－a＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a≤－6或a≥2.
10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：
s甲＝0.1x＋0.01x2， s乙＝0.05x＋0.005x2.
问甲、乙两车有无超速现象？
解：由题意知，对于甲车，
有0.1x＋0.01x2＞12，
即x2＋10x－1200＞0，
解得x＞30或x＜－40(舍去)．
这表明甲车的车速超过30 km/h，又由甲车刹车距离略超12 m，可判断甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车有0.05x＋0.005x2＞10，
即x2＋10x－2000＞0，
解得x＞40或x＜－50(舍去)．
这表明乙车超过40 km/h，超过规定限速．
解关于x的不等式：＞1 (a＜1)．
解：(x－2)[(a－1)x＋2－a]＞0，
当a＜1时有(x－2)＜0，
若＞2，即0＜a＜1时，
解集为{x|2＜x＜}；
若＝2，即a＝0时，解集为∅；
若＜2，即a＜0时，
解集为{x|＜x＜2}．
1．已知－<<2，则x的取值范围是( )
A．(－2，0)∪
B.
C.∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪
解：当x>0时，x>；当x<0时，x<－2.
所以x的取值范围是x<－2或x>，故选D.
2．()对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－4) B．(－∞，－4]
C．(－4，0) D．(－4，0]
解：当m＝0时，不等式显然成立；
当m≠0时，由 得－41时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10的解集为{x|x≠c}，则(其中a＋c≠0)的取值范围为________．
解：由题设得a>0且4－4ab＝0，即ab＝1，此时不等式变为a2x2＋2ax＋1>0，即(ax＋1)2>0，所以ax＋1≠0，即x≠－，所以c＝－.
令t＝a－，则＝＝＝t＋.
当t>0时，t＋≥2＝6，
当且仅当t＝3时取“＝”．
当t<0时，t＋≤－2＝－6，当且仅当t＝－3时取“＝”．
故填(－∞，－6]∪[6，＋∞)．
9．()某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销量就要减少10件．那么要保证该商品每天的利润在320元以上，求其每件售价的取值范围．
解：设售价定为每件x元，利润为y元，则：
y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意，有(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，
所以每件售价的取值范围为(12，16)(单位：元)．
10．()已知不等式ax2＋ bx＋c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋ (a－b)x－c.
(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；
(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围．
解：(1)证明：由题意知a＜0，a＋b＋c＝0，且－>1，所以c＜a＜0，所以ac>0，所以对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，所以函数y＝f(x)必有两个不同零点．
(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝＋8·＋4，
由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t>1)，由根与系数的关系知＝t，所以|m－n|2＝t2＋ 8t＋4，t∈(1，＋∞)．
所以|m－n|>，
所以|m－n|的取值范围为(，＋∞)．
()设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m0的解集；
(2)若a>0，且00，
即a(x＋1)(x－2)>0.
那么当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且00.
所以f(x)－m<0，即f(x)0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有 ，即a＋b≥ ，a2＋b2≥ .简记为：积定和最小．
6．求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即 ，亦即 ；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即 .简记为：和定积最大．
7．拓展：若a＞0，b＞0时，≤ ≤≤ ，当且仅当a＝b时等号成立．
自查自纠：
1. 2. 3.2ab 4.≥
5．最小值 2 2ab
6．ab≤2 ab≤(a＋b)2 ab≤
7.
已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab的最大值为( )
A．1 B. C. D.
解： 因为a，b∈R＋，所以1＝a＋b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立．故选B.
()若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
解：因为x＞2，所以x－2＞0，则f(x)＝ x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.故选C.
设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f()， q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜p B．q＝r＞p
C．p＝r＜q D．p＝r＞q
解：p＝f()＝ln，q＝f＝ln，r＝(f(a)＋f(b))＝lnab＝ln，函数f(x)＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，因为＞，所以f＞f()．所以q＞p＝r.故选C.
()若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋≥2，当且仅当x＝±时等号成立．故填2.
()已知x>0，则的最大值为________．
解：因为＝，又x＞0，所以x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以0<≤，即的最大值为.故填.
类型一 利用基本不等式求最值
(1)函数y＝(x＞－1)的值域为________．
解：因为x＞－1，所以x＋1＞0，令m＝ x＋1，则m＞0，且y＝＝m＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号．故填[9，＋∞)．
(2)()如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为( )
A．16 B．18 C．25 D.
解：当m＝2时，易得n－8＜0，n＜8，此时mn＜16.
当m≠2时，抛物线的对称轴为x＝－.据题意：
①当m＞2时，－≥2，即2m＋n≤12.因为≤≤6，所以mn≤18.由2m＝n且2m＋n＝12得m＝3，n＝6.
②当m＜2时，抛物线开口向下，据题意：
－≤，m＋2n≤18.因为≤≤9，所以mn≤.由2n＝m且m＋2n＝18，得m＝9＞2，故应舍去．要使mn取得最大值，应有m＋2n＝18(8＜n＜9)．
此时mn＝(18－2n)n＜(18－2×8)×8＝16.
综合①②可得最大值为18.故选B.
点拨：
(1)基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”，使之为定值．(2)本题要讨论抛物线的开口方向和对称轴，根据所给单调区间找到m、n满足的条件，再利用基本不等式求解．
(1)()若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2 C．2 D．4
解：由＋＝，知a＞0，b＞0，所以 ＝＋≥2 ，即ab≥2，当且仅当 即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.故选C.
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(Ⅰ)xy的最小值；
(Ⅱ)x＋y的最小值．
解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．
(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，
因为x＞0，所以y＞2，
则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，
当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．
解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥ 10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．
类型二 利用基本不等式求参数范围
()已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为( )
A．4 B．16 C．9 D．3
解：因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，故10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.故选B.
点拨：
一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max； (2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.
已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．若关于x的不等式mf(x)≤ e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m的取值范围为________．
解：由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．
令t＝ex(x＞0)，则t＞1，
且m≤－＝－对任意 t＞1成立．
因为t－1＋＋1≥2＋1＝3，
所以－≥－，
当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立．
故实数m的取值范围是.
故填.
类型三 利用基本不等式解决实际问题
()某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60 m，AB＝40 m，且△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10 m，EF＝20 m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线分别交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN＝x(m)．
(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；
(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．
解：(1)作GH⊥EF，垂足为H.
因为DN＝x，所以NH＝40－x，NA＝60－x，
因为＝，所以＝，
所以AM＝.
S五边形MBCDN＝S矩形ABCD－S△AMN＝40×60－·AM·AN＝2 400－.
因为N与F重合时，AM＝AF＝30适合条件，所以x∈(0，30]．
(2)y＝2 400－＝2 400－ 5[(40－x)＋＋40]，当且仅当40－x＝，即x＝20∈(0，30]时，y取得最大值2 000, 所以当DN＝20 m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2 000 m2.答略．
点拨：
建立关于x的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．
()某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设总造价为S元，AD的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；
(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？
解：(1)设DQ的长为y m，则x2＋4xy＝200，
所以y＝.
S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×y2
＝38 000＋4 000x2＋(0＜x
＜10)．
(2)S＝38 000＋4 000x2＋
≥38 000＋2
＝38 000＋2＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，即x＝时取“＝”，所以Smin＝118 000(元)．故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．
1．要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：
①a2＋b2≥；②ab≤；③ab≤ (a＋b)2；④≤；⑤(a＋b)2≥4ab；⑥≥；⑦≥；⑧abc≤等．
对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．
2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．
3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．
4．求＋型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．
5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a C．3 D.
解：因为a＞1，所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当且仅当a＝2时等号成立．故选C.
2．()若正数x，y满足 4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
A. B. C．2 D.
解：因为x＞0，y＞0，所以4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，所以12xy＋3xy≤30，所以xy≤2，所以xy的最大值为2.故选C.
3．()下列函数中，最小值为4的是( )
A．y＝x＋
B．y＝sinx＋(00，所以y＝ex＋4e－x≥2＝4，当且仅当ex＝2时取等号，所以其最小值为4，故C选项正确；因为≥1，所以y＝＋≥2，当且仅当 x＝±1时取等号，所以其最小值为2，故D选项错．故选C.
4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
A．a＜v＜ B．v＝
C.＜v＜ D．v＝
解：设甲、乙两地之间的距离为s.
因为a＜b，
所以v＝＝＜＝.
又v－a＝－a＝＞＝0，所以v＞a.故选A.
5．()若正数a，b满足a＋ b＝2，则＋的最小值是( )
A．1 B. C．9 D．16
解：＋＝·
＝≥(5＋4)＝，当且仅当＝且a＋b＝2，即 a＝，b＝时取等号．故选B.
6．()若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且 即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥ 7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号．故选D.
7．()点(m，n)在直线x＋ y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________．
解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1，所以mn≤＝，当且仅当m＝n＝时取等号，所以log2m＋log2n＝log2mn≤log2＝－2.故填－2.
8．()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
解：易知定点A(0，0)，B(1，3)．
且无论m取何值，两直线垂直．
所以无论P与A，B重合与否，均有
|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上)．
所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5.
当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立．故填5.
9．已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值．
解：已知0＜x＜，所以0＜3x＜4.
所以x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤ ＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立．
所以当x＝时，x(4－3x)取最大值为.
10．已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求 S＝2－4a2－b2的最大值．
解：因为a＞0，b＞0，2a＋b＝1，所以4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，所以S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．
解：问题转化为求△ABC中∠BCA的取值范围．过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.设该人距离此树的距离CD＝x米，看A，B的视角最大，即∠BCA最大．不妨设∠BCD＝α， ∠ACD＝β，则∠BCA＝β－α，且tanα＝，tanβ＝，所以tan(β－α)＝＝＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝6时取等号，此时∠BCA最大．故填6.
1．()如果log3m＋log3n＝4，那么m＋n的最小值是( )
A．4 B．4 C．9 D．18
解：log3m＋log3n＝log3mn＝4，所以mn＝34，而m＋n≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时等号成立．故选D.
2．()若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lga·lgb的最大值是( )
A．0 B．1 C．2 D.
解：因为a＞1，b＞1，所以lga＞0，lgb＞0.lga·lgb≤＝＝1.当且仅当a＝b＝10时取等号．故选B.
3．()若x>1，则函数y＝x＋＋
eq f(16x,x2＋1)的最小值为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
解：y＝x＋＋＝＋
≥2＝8，
当且仅当＝时等号成立．故选B.
4．()某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
解：由题意知平均每件产品的生产准备费用是元，则＋≥2 ＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，所以每批应生产产品80件．故选B.
5．()已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解：因为(x＋y)＝1＋＋＋a≥a＋1＋2，当且仅当＝时等号成立．
要使原不等式恒成立，则只需a＋1＋2≥9恒成立，
所以(－2)(＋4)≥0，解得a≥4，
所以正实数a的最小值是4.故选B.
6．()若不等式≤a≤在t∈(0，2]上恒成立，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：＝，而y＝t＋在(0，2]上单调递减，故t＋≥2＋＝，＝≤(当且仅当t＝2时等号成立)．因为≥，所以＝＋＝2－≥1(当且仅当t＝2时等号成立)，故a的取值范围为.故选D.
7．()已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．
解：因为x2＋y2－xy＝1，所以x2＋y2＝1＋xy.所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×，
即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2.当且仅当x＝y＝1时x＋y取得最大值2.故填2.
8．()若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过曲线y＝1＋sinπx(00，所以(a＋b)＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
所以＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立．
(2)因为00，由(1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1.
当且仅当1－x＝x，即x＝时等号成立．
所以函数y＝＋ (00，所以b0的解集是(－1，3)，则不等式f(－x)<0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－3，1)
C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－1，3)
解：由题意得f(x)<0的解集为(－∞， －1)∪(3，＋∞)，所以f(－x)<0满足－x<－1或－x>3，所以x>1或x<－3.故选C.
4．()已知x>0，y>0，x＋y＋＝2，则x＋y的最小值是( )
A. B．1 C. D.
解：由x＋y＋≥x＋y＋＝2得x＋y≥，当且仅当x＝y＝时等号成立．故选C.
5．()下列命题中正确的是( )
A．函数y＝x＋的最小值为2
B．函数y＝的最小值为2
C．函数y＝2－3x－(x＞0)的最小值为2－4
D．函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为2－4
解：y＝x＋的定义域为{x|x≠0}，当x＞0时，有最小值2，当x＜0时，有最大值－2，故A选项不正确；y＝＝＋＞2，因为≥，所以取不到“＝”，故B选项不正确；因为当x＞0时，3x＋≥2＝4，当且仅当3x＝，即x＝时取“＝”，所以y＝2－有最大值2－4，故C选项不正确，D选项正确．故选D.
6．()若不等式＜0和不等式ax2＋bx－2＞0的解集相同，则a，b的值为( )
A．a＝－8，b＝－10
B．a＝－4，b＝－9
C．a＝－1，b＝9
D．a＝－1，b＝2
解：不等式＜0的解集为，所以不等式ax2＋bx－2＞0的解集为，二次方程ax2＋bx－2＝0的两个根为－2，－，所以 所以a＝－4，b＝－9.故选B.
7．()若不等式(m－1)x2＋(m－1)x＋2>0的解集是R，则m的取值范围是( )
A．(1，9) B．(－∞，1]∪(9，＋∞)
C．[1，9) D．(－∞，1)∪(9，＋∞)
解：①当m－1＝0，即m＝1时，2>0成立；
②当m>1时，(m－1)2－8(m－1)<0，1b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，
则下列不等式成立的是( )
A．Rb>1，故lga>0，lgb>0，所以 >⇒lg>(lga＋lgb)>，即R>Q>P.故选B.
10．() 设函数f(x)＝ sin，若存在f(x)的极值点x0满足x＋ [f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)
B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解：函数f(x)的极值点满足＝＋kπ，即 x＝m，k∈Z，且极值为±，问题等价于存在k0使之满足不等式m2＋34，解得m>2或m<－2，故m的取值范围是(－∞，－2)∪(2， ＋∞)．故选C.
11．()变量x，y满足约束条件 若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数个，则实数a的取值集合是( )
A．{－3，0} B．{－1，3}
C．{0，1} D．{－3，0，1}
解：作出可行域如图所示，
由z＝ax＋y得y＝－ax＋z.当a＝0时，直线y＝z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．当－a>0，即a＜0时，y＝－ax＋z与直线y＝x－2平行，此时－a＝1，解得a＝－1，满足条件．当－a<0，即a＞0时，直线y＝－ax＋z与直线y＝－3x＋14平行，此时－a＝－3，解得a＝3，满足条件．综上满足条件的a＝－1或a＝3.故选B.
12．()设M是△ABC内一点，且·＝2，∠BAC＝30°.定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是△MBC， △MCA，△MAB的面积．若f(Q)＝，则log2x＋log2y的最大值是( )
A．－5 B．－4 C．－3 D．－2
解：因为·＝||||cos∠BAC
＝||||＝2，
所以||||＝4，
所以S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×4×＝1，
因为f(Q)＝，所以＋x＋y＝1，所以x＋y＝，
因为x>0，y>0，所以log2x＋log2y＝log2(xy)≤log2＝log2＝－4.故选B.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．()不等式＜0的解集是________．
解：可转化为整式不等式，得x(x－1)＜0，解得00，y>0，即＝1，即＋＝1，则＝1－，＝1－，则＋＝＋＝＋＝9x＋4y，因为9x＋4y＝＝9＋4＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝，y＝时取等号，所以＋的最小值是25.故填25.
15．()x，y满足约束条件 若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．
解：作出可行域如图中阴影部分，因为z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，所以直线y＝ax＋z应与直线x＋y－2＝0或直线2x－y＋2＝0的斜率相同，所以a＝－1或2.故填－1或2.
16．()设x，y满足约束条件 若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为________．
解：作出可行域如图所示．由z＝ax＋by得y＝－x＋，当直线经过点A(4，6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝·＝(6＋6＋＋)≥＝4，当且仅当a＝，b＝1时等号成立．故填4.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)()设f(x)＝ax2－(a＋1)x＋1.
(1)解关于x的不等式f(x)>0；
(2)若对任意的a∈[－1，1]，不等式f(x)>0恒成立，求x的取值范围．
解：(1)由题意得f(x)＝(x－1)(ax－1)＞0.
当a＝0时，不等式f(x)＞0的解集为{x|x<1}；
当a<0时，不等式f(x)＞0的解集为；
当0或x<1}；
当a＝1时，不等式f(x)＞0的解集为{x|x≠1}；
当a>1时，不等式f(x)＞0的解集为{x|x>1或x<}．
(2)令g(a)＝(x2－x)a－x＋1.
对任意的a∈[－1，1]，不等式f(x)＞0恒成立，等价于 即 解得－1＜x＜1.
所以x的取值范围是(－1，1)．
18．(12分)()某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%.若p>q>0，则提价多的方案是哪一种？
解：设原价为a，则提价后的价格为
方案甲：(1＋p%)(1＋q%)a，
方案乙：a，
因为·≤＋＝1＋%(当且仅当p＝q时取等号)，
因为p＞q＞0，所以·＜1＋%，
即(1＋p%)(1＋q%)a＜a，
所以提价多的方案是方案乙．
答：提价多的方案是方案乙．
19．(12分)()已知正实数x，y满足等式＋＝2.
(1)求xy的最小值；
(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)2＝＋≥2，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为3.
(2)3x＋y＝(3x＋y)＝≥＝6，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3.
20．(12分)()已知x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝2x－y的最大值和最小值；
(2)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值；
(3)求z＝x2＋y2的取值范围．
解：(1)作出可行域如图所示，
当直线z＝2x－y过点B(5，3)时，z有最大值；过点C时，z有最小值，
所以zmax＝2×5－3＝7，zmin＝2×1－＝－.
(2)当直线z＝ax＋y平行于直线3x＋5y＝30时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条件的点即最优解，有无数个．
又kBC＝－，所以－a＝－，所以a＝.
(3)z＝x2＋y2，则为(x，y)与原点(0，0)的距离，结合可行域，易知点A到原点距离最小值为，最大值为|OB|，|OC|，原点O到直线3x＋5y＝30的距离三者之一，计算得，最大值为|OB|＝.故z＝x2＋y2的取值范围是.
21．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石10 t，B种矿石5 t，煤4 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t，B种矿石4 t，煤9 t．每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t，B种矿石不超过200 t，煤不超过360 t．甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1 t)，能使利润总额达到最大？
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t，y t，利润总额为z元，那么
z＝600x＋1 000y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域．
作直线l：600x＋1 000y＝0，即直线l：3x＋5y＝0，
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大．此时z＝600x＋1 000y取最大值．
解方程组
得M的坐标为x＝≈12.4，y＝≈34.4.
故应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大．
22．(12分)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1的两个极值点为x1和x2，x1∈[－2，－1]，x2∈[1，2]，求f(－1)的取值范围．
解：f′(x)＝3x2＋4bx＋c，
由题可得
在平面直角坐标系bOc中作图，图中阴影部分所示为可行域，易知f(－1)＝2b－c在点(0，－3)取得最小值3，在点(0，－12)取得最大值12. 所以3≤f(－1)≤12.
故f(－1)的取值范围为[3，12]
