2020版高中数学 第一章排列的综合应用

2020版高中数学 第一章排列的综合应用

第2课时　排列的综合应用 学习目标　1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．‎ 知识点　排列及其应用 ‎1．排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝.‎ A＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.‎ ‎2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤 类型一　无限制条件的排列问题 例1　(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？‎ ‎(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？‎ 考点　排列的应用 12‎ 题点　无限制条件的排列问题 解　(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法．‎ ‎(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．‎ 反思与感悟　典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．‎ 跟踪训练1　(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？‎ ‎(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？‎ 考点　排列的应用 题点　无限制条件的排列问题 解　(1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有A＝5×4×3＝60(种)．‎ ‎(2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．‎ 由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步乘法计数原理得共有5×5×5＝125(种)报名方法．‎ 类型二　排队问题 例2　3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．‎ ‎(1)全体站成一排，男、女各站在一起；‎ ‎(2)全体站成一排，男生必须站在一起；‎ ‎(3)全体站成一排，男生不能站在一起；‎ ‎(4)全体站成一排，男、女各不相邻．‎ 考点　排列的应用 题点　元素“相邻”与“不相邻”问题 解　(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；‎ 女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；‎ 全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．‎ 由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排队方法．‎ ‎(2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720(种)排队方法．‎ 12‎ ‎(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，故共有A·A＝1 440(种)排法．‎ ‎(4)排好男生后让女生插空，共有A·A＝144(种)排法．‎ 反思与感悟　处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．‎ 跟踪训练2　某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？‎ ‎(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；‎ ‎(2)2个唱歌节目互不相邻；‎ ‎(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．‎ 考点　排列的应用 题点　元素“相邻”与“不相邻”问题 解　(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1 440(种)排法．‎ ‎(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有A·A＝30 240(种)排法．‎ ‎(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所求排法共有A·A·A＝2 880(种)排法．‎ 例3　六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？‎ ‎(1)甲不能在两端；‎ ‎(2)甲、乙必须在两端；‎ ‎(3)甲不在最左端，乙不在最右端．‎ 考点　排列的应用 题点　元素“在”与“不在”问题 解　(1)先考虑甲有A种方案，再考虑其余5人全排列，故N＝A·A＝480(种)；‎ ‎(2)先安排甲、乙有A种方案，再安排其余4人全排列，故N＝A·A＝48(种)；‎ ‎(3)方法一　甲在最左端的站法有A种，乙在最右端的站法有A种，且甲在最左端而乙在最右端的站法有A种，共有A－‎2A＋A＝504(种)站法．‎ 方法二　以元素甲分类可分为两类：a.甲站最右端有A种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在最右端有A·A·A种，故共有A＋A·A·A＝504(种)站法．‎ 12‎ 反思与感悟　“在”与“不在”排列问题解题原则及方法 ‎(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．‎ ‎(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．‎ 提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．‎ 跟踪训练3　某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？‎ 考点　排列的应用 题点　元素“在”与“不在”问题 解　6门课总的排法是A，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有A种排法；数学排在最后一节，有A种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有A种排法．因此符合条件的排法有A－‎2A＋A＝504(种)．‎ 例4　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．则有多少种不同的排列方法？‎ 考点　排列的应用 题点　排列中的定序问题 解　5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法．‎ 方法一　(整体法)5个元素无约束条件的全排列有A种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2＝40(种)．‎ 方法二　(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类：‎ 第一类，若字母D，E相邻，则有A·A种排法；‎ 第二类，若字母D，E不相邻，则有A种排法．‎ 所以有A·A＋A＝20(种)不同的排列方法．‎ 同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法．‎ 因此，满足条件的排列有20＋20＝40(种)．‎ 反思与感悟　在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：‎ ‎(1)整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m 12‎ ‎＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法．‎ ‎(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．‎ 跟踪训练4　用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．‎ 考点　排列的应用 题点　排列中的定序问题 答案　210‎ 解析　若1,3,5,7的顺序不定，有A＝24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的.‎ 故有A＝210(个)七位数符合条件．‎ 类型三　数字排列问题 例5　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？‎ ‎(1)六位奇数；‎ ‎(2)个位数字不是5的六位数；‎ ‎(3)不大于4 310的四位偶数．‎ 考点　排列的应用 题点　数字的排列问题 解　(1)第一步，排个位，有A种排法；‎ 第二步，排十万位，有A种排法；‎ 第三步，排其他位，有A种排法．‎ 故共有AAA＝288(个)六位奇数．‎ ‎(2)方法一　(直接法)：‎ 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．‎ 第一类，当个位排0时，有A个；‎ 第二类，当个位不排0时，有AAA个．‎ 故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504(个)．‎ 方法二　(排除法)：‎ ‎0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．‎ 12‎ 故符合题意的六位数共有A－‎2A＋A＝504(个)．‎ ‎(3)分三种情况，具体如下：‎ ‎①当千位上排1,3时，有AAA个．‎ ‎②当千位上排2时，有AA个．‎ ‎③当千位上排4时，形如4 0×2,4 2×0的各有A个；‎ 形如4 1××的有AA个；‎ 形如4 3××的只有4 310和4 302这两个数．‎ 故共有AAA＋AA＋‎2A＋AA＋2＝110(个)．‎ 反思与感悟　数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数．‎ 跟踪训练5　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的 ‎(1)能被5整除的五位数；‎ ‎(2)能被3整除的五位数；‎ ‎(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项．‎ 考点　排列的应用 题点　数字的排列问题 解　(1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A个；个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216(个)能被5整除的五位数．‎ ‎(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有A个和AA个．‎ 故能被3整除的五位数有A＋AA＝216(个)．‎ ‎(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个，有‎3A个数，‎ ‎∴240 135的项数是A＋‎3A＋1＝193，‎ 即240 135是数列的第193项．‎ ‎1．6位学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　)‎ A．36 B．‎120 C．240 D．720‎ 考点　排列的应用 题点　无限制条件的排列问题 12‎ 答案　D 解析　不同的排法有A＝6×5×4×3×2×1＝720(种)．‎ ‎2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有(　　)‎ A．240种 B．360种 C．480种 D．720种 考点　排列的应用 题点　元素“在”与“不在”问题 答案　C 解析　第一步：排甲，共有A种不同的排法；第二步：排其他人，共有A种不同的排法，因此不同的演讲次序共有AA＝480(种)．‎ ‎3．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)‎ A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 考点　排列的应用 题点　数字的排列问题 答案　B 解析　当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有‎2A＝48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有‎3A＝72(个)，所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．‎ ‎4．5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种．‎ 考点　排列的应用 题点　元素“相邻”与“不相邻”问题 答案　86 400‎ 解析　第1步，先排5位母亲的位置，有A种排法；‎ 第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：‎ 母亲____母亲____母亲____母亲____母亲____，共有A种排法．‎ 由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有A·A＝86 400(种)．‎ ‎5．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．‎ 考点　排列的应用 题点　元素“相邻”与“不相邻”问题 答案　24‎ 解析　分3步进行分析，‎ ‎①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2(种)排法，‎ ‎②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2(种)排法，‎ 12‎ ‎③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6(种)排法．则共有2×2×6＝24(种)排法．‎ 求解排列问题的主要方法：‎ 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法 一、选择题 ‎1．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是(　　)‎ A．1 260 B．‎120 C．240 D．720‎ 考点　排列的应用 题点　排列的简单应用 答案　D 解析　相当于3个元素排10个位置，有A＝720(种)不同的分法．‎ ‎2．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是(　　)‎ A．20 B．‎16 C．10 D．6‎ 考点　排列的应用 题点　排列的简单应用 答案　B 解析　不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A－A＝16(种)选法．‎ ‎3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)‎ A．3×3! B．3×(3！)‎3 C．(3！)4 D．9!‎ 12‎ 考点　排列的应用 题点　元素“相邻”与“不相邻”问题 答案　C 解析　利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A·(A)3＝(3！)4.故选C.‎ ‎4．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有(　　)‎ A．8种 B．16种 C．18种 D．24种 考点　排列的应用 题点　元素“相邻”与“不相邻”问题 答案　A 解析　可分三步：第一步，排最后一个商业广告，有A种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告，有A种；第三步，余下的两个位置排公益宣传广告，有A种．根据分步乘法计数原理，不同的播放方式共有A·A·A＝8(种)，故选A.‎ ‎5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于(　　)‎ A．1 543 B．2 ‎543 C．3 542 D．4 532‎ 考点　排列的应用 题点　数字的排列问题 答案　C 解析　首位是1的四位数有A＝24(个)，‎ 首位是2的四位数有A＝24(个)，‎ 首位是3的四位数有A＝24(个)，‎ 由分类加法计数原理得，‎ 首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个)．‎ 由此得a72＝3 542.‎ ‎6．在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有(　　)‎ A．34种 B．48种 C．96种 D．144种 考点　排列的应用 题点　元素“相邻”与“不相邻”问题 答案　C 解析　由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有‎2A种编排方法．故实施顺序的编排方法共有2×‎2A 12‎ ‎＝96(种)．故选C.‎ ‎7．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有(　　)‎ A．210个 B．300个 C．464个 D．600个 考点　排列的应用 题点　数字的排列问题 答案　B 解析　由于组成没有重复数字的六位数，个位小于十位的与个位大于十位的一样多，故有＝300(个)．‎ ‎8．某单位安排7位员工在‎10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在‎10月1日值班，丁不在‎10月7日值班，则不同的安排方案共有(　　)‎ A．504种 B．960种 C．1 108种 D．1 008种 考点　排列的应用 题点　元素“在”与“不在”问题 答案　D 解析　由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有AA＝1 440(种)，其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在‎10月1日值班的方案共有AA＝240(种)，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在‎10月7日值班的方案共有AA＝240(种)，满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在‎10月1日值班、丁在‎10月7日值班的方案共有AA＝48(种)．因此满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种)．‎ 二、填空题 ‎9．5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种．‎ 考点　排列的应用 题点　元素“相邻”与“不相邻”问题 答案　72‎ 解析　甲、乙两人相邻共有AA种排法，则甲、乙两人之间至少有一人共有A－AA＝72(种)排法．‎ ‎10．从6名短跑运动员中选出4人参加4×‎100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案．‎ 考点　排列的应用 题点　元素“在”与“不在”问题 答案　240‎ 12‎ 解析　方法一　从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：‎ 第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；‎ 第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A种方法，此时有‎2A种参赛方案．‎ 由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A＋‎2A＝240(种)．‎ 方法二　从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法．‎ 由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA＝240(种)．‎ 方法三　(排除法)：不考虑甲的约束，6个人占4个位置，有A种安排方法，剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有‎2A种，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A－‎2A＝240(种)．‎ ‎11．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．‎ 考点　排列的应用 题点　元素“相邻”与“不相邻”问题 答案　24‎ 解析　把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A＝4×3×2×1＝24(种)．‎ 三、解答题 ‎12．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．‎ ‎(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；‎ ‎(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；‎ ‎(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．‎ 考点　排列的应用 题点　排列的简单应用 解　(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A＝720.‎ ‎(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A种选法，然后其他5人排，有A种排法，故排法种数为AA＝480.‎ ‎(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有AA＝480(种)排法．‎ 四、探究与拓展 ‎13．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．(用数字作答)‎ 考点　排列的应用 12‎ 题点　数字的排列问题 答案　40‎ 解析　第一步，让1,2必相邻有A种排法；第二步，在5个位置上任取1个位置排有5种方法；第三步，在与1,2相邻的一个位置上排有2种方法；第四步，在下一个位置上仍有2种方法；第五步，其余2个位置只有1种排法．故共有A×5×2×2×1＝40(种)．‎ ‎14．高一年级某班的数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课安排在某一天，每门课一节，上午四节，下午两节，数学课必须在上午，体育课必须在下午，数、理、化三门课中任意两门不相邻，但上午第四节和下午第一节不叫相邻，则不同的排法种数为多少？‎ 考点　排列的应用 题点　元素“相邻”与“不相邻”问题 解　分两类：‎ 第1类，数学课在上午第一节或第四节共A种排法，体育课在下午共A种排法，理、化课安排在上午一节，下午一节有‎2A种排法，其余两门在剩下的位置安排共A种．‎ 由分步乘法计数原理知，共有A×A×‎2A×A＝32(种)排法．‎ 第2类，数学课安排在上午第二节或第三节，共A种排法，体育课安排在下午有A种排法，理、化课安排在上午一节和下午一节，共A种排法，其余两门在余下的位置安排共A种排法．‎ 由分步乘法计数原理知，共有A×A×A×A＝16(种)排法．‎ 综上，由分类加法计数原理知，排法种数为N＝32＋16＝48.‎ 12‎