2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3

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2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3

第 1 课时 函数的单调性 必备知识 · 自主学习 1. 函数的单调性 (1) 定义 导思 1. 怎样描述函数的图象上升、下降的性质? 2. 什么是函数的单调区间? 函数 增函数 减函数 图示 条件 设函数 f(x) 的定义域为 I ,区间 D⊆I :如果∀ x 1 , x 2 ∈D ,当 x 1 f(x 2 ) 递增 递减 (2) 本质:函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律,定量地刻画了函数在区间上图象的变化趋势,是函数诸多性质中最核心、最本质的性质 . (3) 应用:证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数范围等 . 【 思考 】 函数单调性的定义中,能否将“∀”改为“∃”? 提示: 不能,一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性 . 2. 单调函数与函数的单调性 (1) 单调函数:当函数在它的定义域上单调递增 ( 减 ) 时,就称它是增 ( 减 ) 函 数; (2) 单调性与单调区间:如果函数 y=f(x) 在区间 D 上单调递增或单调递减,那么 就说函数 y=f(x) 在这一区间具有 ( 严格的 )_______ ,区间 D 叫做 y=f(x) 的 _____ _____. 单调性 单调 区间 【 思考 】 函数 y=f(x) 在定义域内的每一个区间 D 1 , D 2 , … 上都单调递减,那么函数在定 义域上是减函数吗?你能举例说明吗? 提示: 不是 . 如函数 y= 在 (-∞ , 0) , (0 , +∞) 上都单调递减,但在定义域上 不具有单调性 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”,错的打“ ×”) (1) 函数 f(x)=x 2 ,因为 -1<2 ,且 f(-1)f(x 2 )⇨ 函数在 (2 , +∞) 上单调递减 四步 内容 书写 表达 因为 20 , 所以 f(x 1 )-f(x 2 )>0 ,即 f(x 1 )>f(x 2 ). 所以函数 f(x)= 在 (2 , +∞) 上单调递减 . 注意书写的规范性: ① x 1 , x 2 取值任意且分大小;②变形是解题关键 . 题后 反思 利用定义法证明函数单调性的关键是作差之后的变形,且变形的结果是几个因式乘积的形式 . 【 解题策略 】 利用定义证明函数单调性的步骤 【 题组训练 】 (2020· 哈尔滨高一检测 ) 求证:函数 f(x)=- -1 在区间 (-∞ , 0) 上单调递增 . 【 证明 】 ∀x 1 , x 2 ∈(-∞ , 0) ,且 x 1 0 , 所以 f(x 1 )-f(x 2 )<0 ,即 f(x 1 )0 时,函数 y= 与 y=f(x) 的单调性相反,对于 f(x)<0 也成立 . (2) 在公共定义域内,两增函数的和仍为增函数,增函数减去一个减函数所得的函数为增函数 . (3) 函数 f(x) 与 f(x)+c(c 为常数 ) 具有相同的单调性 . (4) 当 c>0 时,函数 f(x) 与 cf(x) 具有相同的单调性; 当 c<0 时,函数 f(x) 与 cf(x) 具有相反的单调性 . 2. 函数 y=x+ (a≠0) 的单调性 (1) 若 a>0 ,函数 y=x+ 的图象如图 1 所示, 则函数 y=x+ 的单调增区间是 (-∞ , - ] 和 [ , +∞) ,单调减区间是 (- , 0) 和 (0 , ). (2) 若 a<0 ,其图象如图 2 所示, 函数 y=x+ 在 (-∞ , 0) 和 (0 , +∞) 上均单调递增,即 y=x+ 的单调增区间 为 (-∞ , 0) 和 (0 , +∞). 【 拓展训练 】 (2020· 杭州高一检测 ) 函数 y=2x+ 的单调递增区间为 _______.  【 解析 】 y=2 ,由对勾函数的图象可知, 单调递增区间为 (-∞ , - ) 和 ( , +∞). 答案: (-∞ , - ) 和 ( , +∞) 类型三 函数单调性的简单应用 ( 数学抽象、逻辑推理 )  角度 1  利用单调性解不等式  【 典例 】 (2020· 佛山高一检测 ) 函数 f(x) 在 [0 , +∞) 上单调递减,且 f(2)= -1 ,则满足 f(2x-4)>-1 的实数 x 的取值范围是 (    )                    A.(3 , +∞) B.(-∞ , 3) C.[2 , 3) D.[0 , 3) 【 思路导引 】 从定义域,单调性两个方面列不等式求范围 . 【 解析 】 选 C. 因为 f(2)=-1 , 所以由 f(2x-4)>-1 得, f(2x-4)>f(2) , 且 f(x) 在 [0 , +∞) 上单调递减, 所以 0≤2x-4<2 ,解得 2≤x<3 , 所以满足 f(2x-4)>-1 的实数 x 的取值范围是 [2 , 3). 【 变式探究 】 本例的条件若改为“单调递增”,试求 x 的取值范围 . 【 解析 】 因为 f(2)=-1 , 所以由 f(2x-4)>-1 ,得 f(2x-4)>f(2) , 又 f(x) 在 [0 , +∞) 上单调递增, 所以 2x-4>2 ,解得 x>3.  角度 2  分段函数的单调性  【 典例 】 (2020· 宜春高一检测 ) 已知函数 f(x)= 是增函数,则实数 a 的取值范围是 _______.  【 思路导引 】 分别考查 x≥1 , x<1 ,分界点三个方面的因素求范围 . 【 解析 】 因为函数 f(x)= 在 (-∞ , +∞) 上单调递增, 又函数 y= ax 2 -ax-1 的对称轴为 x=1 , 所以 解得 - ≤a<0. 答案: 【 解题策略 】 1. 解抽象函数不等式问题的方法 利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“ f ” 脱掉,列出关于未知量的不等式 ( 组 ) ,然后求解,要注意函数的定义域 . 2. 分段函数的单调性 首先分析每段上的单调性,其次是分界点处函数值的大小,如果是增函数,则分界点左侧值小于等于右侧值,如果是减函数,则分界点左侧值大于等于右侧值 . 【 题组训练 】 1.(2020· 沈阳高一检测 )f(x)=x|x| ,若 f(2m+1)+f(1-m)>0 ,则 m 的取值范围是 (    ) A.(-∞ , -1) B.(-∞ , -2) C.(-1 , +∞) D.(-2 , +∞) 【 解析 】 选 D. 因为 f(x)=x|x|= 所以 f(x) 在 R 上是增函数,且 f(-x)=-f(x) , 所以由 f(2m+1)+f(1-m)>0 得, f(2m+1)>f(m-1) ,所以 2m+1>m-1 ,解得 m>-2 , 所以 m 的取值范围为 (-2 , +∞). 2. 定义域在 R 上的函数 f(x) 满足对任意的 x 1 , x 2 ∈R ,且 x 1 ≠x 2 ,都有 (x 1 -x 2 )[f(x 1 )-f(x 2 )]>0 ,则有 (    ) A.f(-2)0 , 当 x 1 x 2 时, x 1 -x 2 >0 ,则 f(x 1 )-f(x 2 )>0 ,即 f(x 1 )>f(x 2 ). 可得函数 f(x) 是在 R 上的增函数, 所以 f(-2)0 时,恒有 f(x)>1. (1) 求证: f(x) 是增函数 . (2) 若 f(3)=4 ,解不等式 f(a 2 +a-5)<2. 【 思路导引 】 (1) 按照单调性的定义,构造 f(x 2 )-f(x 1 ) ,再判断符号 . (2) 将 2 化为 f(x 0 ) 的形式,再利用单调性解不等式 . 【 解析 】 (1) 设 x 1 , x 2 ∈R ,且 x 1 0 , 所以 f(x 2 -x 1 )>1 , f(x 2 )-f(x 1 )=f((x 2 -x 1 )+x 1 )-f(x 1 ) =f(x 2 -x 1 )+f(x 1 )-1-f(x 1 )>0 , 即 f(x 2 )>f(x 1 ) ,所以 f(x) 是 R 上的增函数 . (2) 因为 m , n∈R ,不妨设 m=n=1 , 所以 f(1+1)=f(1)+f(1)-1 ,即 f(2)=2f(1)-1 , f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4 ,所以 f(1)=2. 所以 f(a 2 +a-5)0 ,满足 f( )=f(x)-f(y). (1) 证明函数 f(x) 是增函数 . (2) 若 f(6)=1 ,解不等式 f(x+3)-f( )<2. 【 解析 】 (1) 因为当 01 D.k<1 【 解析 】 选 D.k-1>0 时, 由 y= 可知,在区间 (-∞ , 0) , (0 , +∞) 上单调递减,不合题意; 当 k-1<0 时,由 y= 可知,在区间 (-∞ , 0) , (0 , +∞) 上单调递增,故 k<1. 4. 若 f(x) 是减函数,且 f(3x-2)3 , 解得 x> . 答案: 5. 函数 f(x)=2x 2 -3|x| 的单调递增区间是 _______.  【 解析 】 函数 f(x)=2x 2 -3|x|= 的图象如图所示, 故它的单调递增区间为 答案:
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