北京市西城区2020届高三上学期期末考试 数学（PDF版）
北京市西城区
2019-2020
学年度第一学期期末试卷
高三数学
第
1
页 (共
5
页)
北京市西城区
2019
—
2020
学年度第一学期期末试卷
高三数学
2020.1
本试卷共
5
页,共
150
分。考试时长
120
分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试
卷上作答无效。
第
Ⅰ
卷 (选择题
共
40
分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分
.
在每小题列出的四个选项中,选出
符合题目要求的一项
.
1.设集合A={x|x
y,且xy≠0,则下列不等式中一定成立的是
(A)1x >1y (B)ln|x|>ln|y|
(C)2
-x
<2
-y
(D)x2
>y2
5.已知直线x+y+2=0
与圆x2
+y2
+2x-2y+a=0
有公共点,则实数a 的取值范围为
(A)(-
¥,0] (B)[0,+
¥) (C)[0,2) (D)(-
¥,2)
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6.设三个向量a,b,c 互不共线,则 “a+b+c=0”是 “以
|a|,|b|,|c|
为边长的三角
形存在”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众
多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一
个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的
相关数据 (单位:cm),那么该壶的容量约为
(A)100cm
3
(B)200cm
3
(C)300cm
3
(D)400cm
3
8.已知函数f(x)= x+1+k,若存在区间 [a,b],使得函数f(x)在区间 [a,b]上的
值域为 [a+1,b+1],则实数k 的取值范围为
(A)(-1,+
¥) (B)(-1,0] (C)(-1
4,+
¥) (D)(-1
4,0]
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第Ⅱ卷(非选择题
共
110
分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在 (1-x)5 的展开式中,x2 的系数为 .
10.已知向量a=(-4,6),b=(2,x)满足a∥b,其中x∈R,那么
|b|= .
11.在公差为d (d≠0)的等差数列 {an }中,a1=-1,且a2,a4,a12
成等比数列,
则d= .
12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有 个.
13.对于双曲线,给出下列三个条件:
①
离心率为
2;
②
一条渐近线的倾斜角为
30°;
③
实轴长为
8,且焦点在x 轴上.
写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 .
14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来
20
天内,这种水果每箱的销售利
润r(单位:元)与时间t(1≤t≤20,t∈N,单位:天)之间的函数关系式为r=1
4
t+10,
且日销售量y (单位:箱)与时间t之间的函数关系式为y=120-2t.
①
第
4
天的销售利润为 元;
②
在未来的这
20
天中,公司决定每销售
1
箱该水果就捐赠 m(m∈N* )元给 “精准扶
贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大,则m
的最小值是 .
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三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分
13
分)
已知函数f(x)=2cosx ·sin(x-π
6).
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间 [-π
2,0]上的最小值和最大值.
16.(本小题满分
13
分)
高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统
计,在
2018
年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为
50
万人次.为了
解乘客出行的满意度,现从中随机抽取
100
人次作为样本,得到下表(单位:人次):
满意度
老年人 中年人 青年人
乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机
10
分(满意) 12 1 20 2 20 1
5
分(一般) 2 3 6 2 4 9
0
分(不满意) 1 0 6 3 4 4
(Ⅰ)在样本中任取
1
个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
(Ⅱ)在
2018
年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取
2
人次,记其中老年人
出行的人次为 X.以频率作为概率,求 X 的分布列和数学期望;
(Ⅲ)如果甲将要从 A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是
飞机? 并说明理由.
17.(本小题满分
14
分)
如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1
中,BB1 ⊥
平面 ABC, △ABC 为正三角形, 侧面
ABB1A1
是边长为
2
的正方形,D 为BC 的中点.
(Ⅰ)求证:A1B∥
平面 AC1D;
(Ⅱ)求二面角C-AC1-D 的余弦值;
(Ⅲ)试判断直线 A1B1
与平面 AC1D 的位置关系,并加以证明.
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18.(本小题满分
13
分)
已知椭圆W:
x2
4+y2
=1
的右焦点为F,过点F 且斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆W
交于A,B 两点,线段 AB 的中点为M .O 为坐标原点.
(Ⅰ)证明:点 M 在y 轴的右侧;
(Ⅱ)设线段 AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别相交于点C,D.若
△ODC 与
△CMF 的
面积相等,求直线l的斜率k.
19.(本小题满分
14
分)
已知函数f(x)=e
x
-ax+1
2
x2,其中a>-1.
(Ⅰ)当a=0
时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)当a=1
时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若f(x)≥1
2
x2
+x+b 对于x∈R恒成立,求b-a 的最大值.
20.(本小题满分
13
分)
设整数集合 A={a1,a2,…,a100},其中
1≤a1 ，
所以建议甲乘坐高铁从 A 市到 B 市. …………… 13 分
3
17．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）由题意，三棱柱 1 1 1ABC A B C- 为正三棱柱.
连接 1A C . 设 1 1AC AC E= ，则 E 是 1A C 的中点.
连接 DE . 由 D ， E 分别为 BC 和 1A C 的中点，
得 1//DE A B . ……………… 2 分
又因为 DE Ì 平面 1AC D ， 1A B Ë 平面 1AC D ，
所以 1 //A B 平面 1AC D . ……………… 4 分
（Ⅱ）取 1 1B C 的中点 F ，连接 DF .
因为△ ABC 为正三角形，且 D 为 BC 中点，
所以 AD BC^ .
由 D ， F 分别为 BC 和 1 1B C 的中点，得 1//DF BB ，
又因为 1BB ^ 平面 ABC ，
所以 DF ^ 平面 ABC ，
所以 DF AD^ ， DF BC^ .
分别以 DC ， DF ， DA 为轴， y 轴， z 轴，如图建立空间直角坐标系，… 5 分
则 (0,0, 3)A ， 1(1,2,0)C ， (1,0,0)C ， (0,0,0)D ， ( 1,0,0)B - ，
所以 1 (1,2,0)DC = ， (0,0, 3)DA = ， ( 1,0, 3)CA = - ， 1 (0,2,0)CC = ， …… 6 分
设平面 1AC D 的法向量 1 1 1 1( , , )x y z=n ，
由 1 0DA× =n ， 1 1 0DC × =n ，得 1
1 1
3 0,
2 0,
z
x y
ì =ïí + =ïî
令 1 1y = ，得 1 ( 2,1,0)= -n . ……………… 8 分
设平面 1AC C 的法向量 2 2 2 2( , , )x y z=n ，
B1
C
D
B
A A1
C1
z
y
x
F
B1
C
D
B
A A1
C1
E
4
由 2 0CA× =n ， 1 2 0CC × =n ，得 2 2
2
3 0,
2 0,
x z
y
ì- + =ïí =ïî
令 2 1z = ，得 2 ( 3,0,1)=n . ……………… 9 分
设二面角 1C AC D- - 的平面角为q ，则 1 2
1 2
15| cos | | || | | | 5q ×= =×
n n
n n
，
由图可得二面角 1C AC D- - 为锐二面角，
所以二面角 1C AC D- - 的余弦值为 15
5 . ……………… 10 分
（Ⅲ）结论：直线 1 1A B 与平面 1AC D 相交. ……………… 11 分
证明：因为 ( 1,0, 3)AB = - - ， 1 1//A B AB ，且 1 1=A B AB ，
所以 1 1 ( 1,0, 3)A B = - - . ……………… 12 分
又因为平面 1AC D 的法向量 1 ( 2,1,0)= -n ，且 1 1 1 2 0A B × = ¹n ，
所以 1 1A B 与 1n 不垂直，
所以 1 1A B Ë 平面 1AC D ，且 1 1A B 与平面 1AC D 不平行，
故直线 1 1A B 与平面 1AC D 相交. ……………… 14 分
18．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）由题意，得 ( 3,0)F ，直线 ( 3)l y k x= -： （ 0k ¹ ）， ……………… 2 分
设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，
联立 2
2
( 3),
1,4
y k x
x y
ì = -ïí
+ =ïî
消去 y ，得 2 2 2 2(4 1) 8 3 (12 4) 0k x k x k+ - + - = ，…… 3 分
显然 0D > ，
2
1 2 2
8 3
4 1
kx x k+ = +
， ……………… 4 分
则点 M 的横坐标
2
1 2
2
4 3
2 4 1M
x x kx k
+= = +
， ……………… 5 分
5
因为
2
2
4 3 04 1M
kx k= >+
，
所以点 M 在 y 轴的右侧. ……………… 6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得点 M 的纵坐标 2
3( 3) 4 1M M
ky k x k
-= - = +
. ……………… 7 分
即
2
2 2
4 3 3( , )4 1 4 1
k kM k k-+ +
.
所以线段 AB 的垂直平分线方程为：
2
2 2
3 1 4 3( )4 1 4 1
k ky xk k k+ = - -+ +
. ……… 8 分
令 0x = ，得 2
3 3(0, )4 1
kD k +
；令 0y = ，得
2
2
3 3( ,0)4 1
kC k + . ……………… 9 分
所以△ODC 的面积
2 2
2 2 2 2
1 3 3 3 3 27 | || | | |=2 4 1 4 1 2(4 1)ODC
k k k kS k k kD
×= × ×+ + +
， ……… 10 分
△CMF 的面积
2 2
2 2 2 2
1 3 3 3 3( 1) | || 3 | | |2 4 1 4 1 2(4 1)CMF
k k k kS k k kD
+ ×= × - × - =+ + + . …… 11 分
因为△ODC 与△CMF 的面积相等，
所以
2 2
2 2 2 2
27 | | 3( 1) | |
2(4 1) 2(4 1)
k k k k
k k
× + ×=+ +
，解得 2
4k = ± .
所以当△ODC 与△CMF 的面积相等时，直线l 的斜率 2
4k = ± . ……… 13 分
19．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）由 21( ) e 2
xf x x= + ，得 ( ) exf x x¢ = + , ……………… 2 分
所以 (0) 1f = ， (0) 1f ¢ = .
所以曲线 ( )y f x= 在点(0, (0))f 处的切线方程为 1 0x y- + = . …………… 4 分
（Ⅱ）由 21( ) e 2
xf x x x= - + ，得 ( ) e 1xf x x¢ = - + ，
6
则 (0) 0f ¢ = . ……………… 5 分
当 0x > 时，由e 1 0, 0x x- > > ，得 ( ) e 1 0xf x x¢ = - + > ，
所以函数 ( )f x 在 (0, )+¥ 上单调递增； ……………… 7 分
当 0x < 时，由e 1 0, 0x x- < < ，得 ( ) e 1 0xf x x¢ = - + < ，
所以函数 ( )f x 在 ( ,0)-¥ 上单调递减.
综上，函数 ( )f x 的单调递增区间为(0, )+¥ ，单调递减区间为( ,0)-¥ . … 8 分
（Ⅲ）由 21( ) 2f x x x b+ +≥ ，得e ( 1) 0x a x b- + - ≥ 在 xÎR 上恒成立.
设 ( ) e ( 1)xg x a x b= - + - ， ……………… 9 分
则 ( ) e ( 1)xg x a¢ = - + .
由 ( ) e ( 1) 0xg x a¢ = - + = ，得 ln( 1)x a= + ，（ 1a > - ）. ……………… 10 分
随着 x 变化， ( )g x¢ 与 ( )g x 的变化情况如下表所示：
x ( ,ln( 1))a-¥ + ln( 1)a + (ln( 1), )a + +¥
( )g x¢ 0 +
( )g x ↘ 极小值 ↗
所以 ( )g x 在 ( ,ln( 1))a-¥ + 上单调递减，在(ln( 1), )a + +¥ 上单调递增.
所以函数 ( )g x 的最小值为 (ln( 1)) ( 1) ( 1)ln( 1)g a a a a b+ = + - + + - .
由题意，得 (ln( 1)) 0g a + ≥ ，即 1 ( 1)ln( 1)b a a a- - + +≤ . …………… 12 分
设 ( ) 1 ln ( 0)h x x x x= - > ，则 ( ) ln 1h x x¢ = - - .
因为当 10 ex< < 时， ln 1 0x- - > ； 当 1
ex > 时， ln 1 0x- - < ，
所以 ( )h x 在 1(0, )e 上单调递增，在 1( , )e +¥ 上单调递减.
7
所以当 1
ex = 时， max
1 1( ) ( ) 1e eh x h= = + .
所以当 11 ea + = ， 1 ( 1)ln( 1)b a a a= + - + + ，即 1 1ea = - ， 2
eb = 时，b a- 有最大值为
11 e+ . …………… 14 分
20．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）答案不唯一. 如 {1,2,3, ,100}A = ； ……………… 3 分
（Ⅱ）假设存在一个 0 {101,102, , 200}x Î 使得 0x AÎ , ……………… 4 分
令 0 100x s= + ，其中 sÎN 且1 00s≤ ≤1 ，
由题意，得 100 sa a A+ Î ， ……………… 6 分
由 sa 为正整数，得 100 100sa a a+ > ，这与 100a 为集合 A中的最大元素矛盾，
所以任意 {101,102, , 200}xÎ ， x AÏ . ……………… 8 分
（Ⅲ）设集合 {201, 202, , 205}A 中有 (1 5)m m≤ ≤ 个元素， 100 ma b- = ，
由题意，得 1 2 100 200ma a a -< < < ≤ ， 100 1 100 2 100200 m ma a a- + - +< < < < ，
由（Ⅱ），得 100 100ma b- = ≤ .
假设 100b m> - ，则 100 0b m- + > .
因为 100 100 100 5 5 100b m m- + - + = < -≤ ，
由题设条件，得 100 100m b ma a A- - ++ Î ，
因为 100 100 100 100 200m b ma a- - ++ + =≤ ，
所以由（Ⅱ）可得 100 100 100m b ma a- - ++ ≤ ，
这与 100 ma - 为 A中不超过100的最大元素矛盾，
所以 100 100ma m- -≤ ，
又因为 1 2 1001 ma a a -< < <≤ ， ia ÎN ，
所以 (1 100 )ia i i m= -≤ ≤ . ……………… 10 分
8
任给集合{201,202,203,204}的 1m- 元子集 B ，令 0 {1,2, ,100 } {205}A m B= - ， 以下
证明集合 0A 符合题意：
对于任意 ,i j 00)(1 i j≤ ≤ ≤1 ，则 200i j+ ≤ .
若 0i j A+ Î ，则有 mi j+ ≤100- ，
所以 ia i= ， ja j= ，从而 0i ja a i j A+ = + Î .
故集合 0A 符合题意， ……………… 12 分
所以满足条件的集合 A的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，
故满足条件的集合 A有 42 16= 个. ……………… 13 分
