数学卷·2018届河南省许昌市三校联考高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届河南省许昌市三校联考高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年河南省许昌市三校联考高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）‎ A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0‎ C．存在x0∈R，都有 D．不存在x∈R，使得x2＜0‎ ‎2．椭圆=1的离心率为，则k的值为（　　）‎ A．﹣21 B．21 C．﹣或21 D．或21‎ ‎3．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知命题p：f（x）=ax（a＞0且a≠1）是单调增函数：命题q：∀x∈（，），sinx＞cosx，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∨￢q C．￢p∧￢q D．￢p∧q ‎5．“（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“logam＞0”的一个（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（　　）‎ A．3 B．2 C．2 D．‎ ‎7．已知数列{an}满足•••…•=（n∈N*），则 a10=（　　）‎ A．e30 B．e C．e D．e40‎ ‎8．若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（　　）‎ A．9 B．11 C．12 D．16‎ ‎9．在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 ‎10．已知斜率为3的直线l与双曲线C： =1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎11．已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．不存在 ‎12．如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．2+ B．2+ C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角等于　　．‎ ‎14．若关于x的不等式ax2﹣6x+a2＜0的解集为（1，m），则实数m=　　．‎ ‎15．在等比数列{an}中，a1+an=82，a3•an﹣2=81，且数列{an}的前n项和Sn=121，则此数列的项数n等于　　．‎ ‎16．椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=．‎ ‎（Ⅰ）求•；‎ ‎（Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值．‎ ‎18．已知p：∃x∈R，cos2x﹣sinx+2≤m；q：函数y=（）在[2，+∞）上单调递减，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎19．在公比为正数的等比数列{an}中，a3﹣a1=，a2=﹣，数列{bn}的前n项和Sn=n2．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．‎ ‎20．如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．‎ ‎21．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°．AD=，EF=2‎ ‎（1）求证：AE∥平面DCF；‎ ‎（2）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为 ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省许昌市三校联考高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）‎ A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0‎ C．存在x0∈R，都有 D．不存在x∈R，使得x2＜0‎ ‎【考点】命题的否定；全称命题．‎ ‎【分析】根据全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题：“∃x0∈M，￢p（x）”即可得出．‎ ‎【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得：‎ 命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得”．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．椭圆=1的离心率为，则k的值为（　　）‎ A．﹣21 B．21 C．﹣或21 D．或21‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】依题意，需对椭圆的焦点在x轴与在y轴分类讨论，从而可求得k的值．‎ ‎【解答】解：若a2=9，b2=4+k，则c=，‎ 由=，即=得k=﹣；‎ 若a2=4+k，b2=9，则c=，‎ 由=，即=，解得k=21．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算．‎ ‎【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ ‎∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．‎ 在△AC1A1中，sin∠AC1A1===．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．已知命题p：f（x）=ax（a＞0且a≠1）是单调增函数：命题q：∀x∈（，），sinx＞cosx，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∨￢q C．￢p∧￢q D．￢p∧q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】命题p：f（x）=ax（a＞0且a≠1）的单调性与a的取值有关，即可判断出真假；命题q：利用三角函数的单调性即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．‎ ‎【解答】解：命题p：f（x）=ax（a＞0且a≠1）的单调性与a的取值有关，0＜a＜1时，函数f（x）单调递减，可知是假命题；‎ 命题q：∀x∈（，），sinx＞cosx，是真命题．‎ 则下列命题为真命题的是：（￢p）∧q．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．“（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“logam＞0”的一个（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据对数函数的图象和性质，解对数不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：当“（m﹣1）（a﹣1）＞0”时，则或，此时logam可能无意义，故“logam＞0”不一定成立，‎ 而当“logam＞0”时，则或，“（m﹣1）（a﹣1）＞0”成立，‎ 故“（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“logam＞0”的一个必要不充分条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（　　）‎ A．3 B．2 C．2 D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．‎ ‎【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，‎ 由余弦定理可得，‎ a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 即有4=b2+12﹣4×b，‎ 解得b=2或4，‎ 由b＜c，可得b=2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知数列{an}满足•••…•=（n∈N*），则 a10=（　　）‎ A．e30 B．e C．e D．e40‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】利用作差法求出lnan=，n≥2，进行求解即可 ‎【解答】解：∵•••…•=（n∈N*），‎ ‎∴•••…•=（n∈N*），‎ ‎∴lnan=，n≥2，‎ ‎∴an=e，‎ ‎∴a10=e，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（　　）‎ A．9 B．11 C．12 D．16‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=x+3y，得，‎ 平移直线，由图象可知当 ‎，经过点C时，直线截距最大，此时z最大．‎ 由得，即C（2，3），‎ 此时z=x+3y=2+3×3=11，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式、和差公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），‎ ‎∴sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB，‎ ‎∴sinAcosB+cosAsinB=1，‎ ‎∴sin（A+B）=1，‎ ‎∴sinC=1．‎ ‎∵C∈（0，π），‎ ‎∴．‎ ‎∴△ABC的形状一定是直角三角形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知斜率为3的直线l与双曲线C： =1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则代入双曲线方程，相减可得﹣，‎ ‎∵点P（6，2）是AB的中点，‎ ‎∴x1+x2=12，y1+y2=4，‎ ‎∵直线l的斜率为3，∴=3，‎ ‎∴a2=b2，c2=2a2，‎ ‎∴e=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．不存在 ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】{an}为等比数列，可设首项为a1，公比为q，从而由a7=a6+2a5可以得出公比q=2，而由可以得出m+n=6，从而得到，从而便得到 ‎，这样可以看出，根据基本不等式即可得出的最小值．‎ ‎【解答】解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，则由a7=a6+2a5得：‎ ‎；‎ ‎∴q2﹣q﹣2=0；‎ ‎∵an＞0；‎ ‎∴解得q=2；‎ ‎∴由得：；‎ ‎∴2m+n﹣2=24；‎ ‎∴m+n﹣2=4，m+n=6；‎ ‎∴；‎ ‎∴=，，即n=2m时取“=”；‎ ‎∴的最小值为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．2+ B．2+ C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，‎ y=x代入﹣=1，可得x=±，‎ ‎∴•=c，‎ ‎∴2a2b2=（b2﹣a2）c2，‎ ‎∴2a2（c2﹣a2）=（c2﹣2a2）c2，‎ ‎∴2（e2﹣1）=e4﹣2e2，‎ ‎∴e4﹣4e2+2=0，‎ ‎∵e＞1，∴e2=2+，‎ ‎∴e=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角等于　　．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】利用两个向量数量积公式求出 =3，再由两个向量的数量积的定义求出=6cosθ，故有3=‎ ‎6cosθ，解出cosθ 的值，再由0≤θ≤π，可得 θ 的值．‎ ‎【解答】解： =（2，﹣2，4）﹣（2，﹣5，1）=（0，3，3），‎ ‎=（1，﹣4，1）﹣（2，﹣5，1）=（﹣1，1，0），‎ ‎∴=（0，3，3）•（﹣1，1，0）=0+3+0=3．‎ 再由||=3，||=，设向量与的夹角θ，‎ 则有 =||•||cosθ=3• cosθ=6cosθ．‎ 故有3=6cosθ，∴cosθ=．‎ 再由 0≤θ≤π，可得 θ=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎14．若关于x的不等式ax2﹣6x+a2＜0的解集为（1，m），则实数m=　2　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据一元二次不等式与对应一元二次方程的关系，结合根与系数的关系，求出m的值．‎ ‎【解答】解：∵关于x的不等式ax2﹣6x+a2＜0的解集为（1，m），‎ ‎∴方程ax2﹣6x+a2=0的两个实数根1和m，且m＞1；‎ 由根与系数的关系得，‎ ‎，‎ 解得m=2或m=﹣3；‎ ‎∴m=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．在等比数列{an}中，a1+an=82，a3•an﹣2=81，且数列{an}的前n项和Sn=121，则此数列的项数n等于　5　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意易得a1和an是方程x2﹣82x+81=0的两根，求解方程得到两根，分数列递增和递减可得a1，an，再由Sn=121得q，进一步可得n值．‎ ‎【解答】解：由等比数列的性质可得a1an=a3•an﹣2=81，‎ 又a1+an=82，‎ ‎∴a1和an是方程x2﹣82x+81=0的两根，‎ 解方程可得x=1或x=81，‎ 若等比数列{an}递增，则a1=1，an=81，‎ ‎∵Sn=121，∴==121，‎ 解得q=3，∴81=1×3n﹣1，解得n=5；‎ 若等比数列{an}递减，则a1=81，an=1，‎ ‎∵Sn=121，∴==121，‎ 解得q=，∴1=81×（）n﹣1，解得n=5．‎ 综上，数列的项数n等于5．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎16．椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是　3　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．‎ ‎【解答】解：设椭圆的右焦点为E．如图：‎ 由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；‎ ‎∵AE+BE≥AB；‎ ‎∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；‎ ‎∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；‎ 即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；‎ 此时△FAB的高为：EF=2．‎ 此时直线x=m=c=1；‎ 把x=1代入椭圆的方程得：y=±．‎ ‎∴AB=3．‎ 所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=．‎ ‎（Ⅰ）求•；‎ ‎（Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系．‎ ‎【分析】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知△ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值．第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可．根据同角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据△ABC面积公式得bc=156；直接求数量积•．由余弦定理a2=b2+c2‎ ‎﹣2bccosA，代入已知条件c﹣b=1，及bc=156求a的值．‎ ‎【解答】解：由cosA=，得sinA==．‎ 又sinA=30，∴bc=156．‎ ‎（Ⅰ）•=bccosA=156×=144．‎ ‎（Ⅱ）a2=b2+c2﹣2bccosA=（c﹣b）2+2bc（1﹣cosA）=1+2•156•（1﹣）=25，‎ ‎∴a=5．‎ ‎　‎ ‎18．已知p：∃x∈R，cos2x﹣sinx+2≤m；q：函数y=（）在[2，+∞）上单调递减，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，确定m的范围即可．‎ ‎【解答】解：由cos2x﹣sinx+2=﹣2+，‎ 当sinx=1时，cos2x﹣sinx+2取最小值0，‎ 若P为真命题，则m≥0，‎ 若q为真命题，则≤2，m≤8，‎ 由题意知，p，q中有且只有一个为真命题，‎ 若p真q假，则m＞8；‎ 若 p假q真，则m＜0‎ 综上，实数m的取值范围为（﹣∞，0）∪（8，+∞）．‎ ‎　‎ ‎19．在公比为正数的等比数列{an}中，a3﹣a1=，a2=﹣，数列{bn}的前n项和Sn=n2．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得an，利用数列递推关系可得bn．‎ ‎（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q＞0，∵a3﹣a1=，a2=﹣，∴=，a1q=﹣．‎ 可得q=或q=﹣3（舍去），则a1=﹣．‎ ‎∴an=﹣×，‎ ‎∵Sn=n2，∴b1=S1=1．‎ n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．‎ ‎ 当n=1时，b1=1也符合上式．‎ ‎∴bn=2n﹣1．‎ 综上，an=﹣×，bn=2n﹣1．‎ ‎（2）由（1）知：anbn=﹣2（2n﹣1）．‎ ‎∴Tn=﹣2+…+（2n﹣1）×…①‎ ‎=﹣2+…+（2n﹣3）+（2n﹣1）…②‎ ‎①﹣②得： =﹣2+…+2×﹣（2n﹣1）×=﹣2，‎ ‎∴Tn=﹣2+（2n+2）．‎ ‎　‎ ‎20．如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；余弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用∠F1AF2=60°，求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，利用余弦定理以及已知△AF1B的面积为40，直接求a，b 的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==．‎ ‎（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，‎ 在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°‎ ‎⇔（2a﹣m）2=m2+a2+am．⇔m=．‎ ‎△AF1B面积S=|BA||F1A|sin60°‎ ‎⇔=40‎ ‎⇔a=10，‎ ‎∴c=5，b=5．‎ ‎　‎ ‎21．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°．AD=，EF=2‎ ‎（1）求证：AE∥平面DCF；‎ ‎（2）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）过E作EG⊥CF于G，连接DG，推导出四边形ADGE为平行四边形，从而AE∥DG，由此能证明AE∥平面DCF．‎ ‎（2）分别以直线BE、BC、BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当AB=时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．‎ ‎【解答】证明：（1）过E作EG⊥CF于G，连接DG，则四边形BCGE为矩形．‎ 又ABCD为矩形，∴AD平行且等于EG，‎ ‎∴四边形ADGE为平行四边形，∴AE∥DG，‎ ‎∵AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，∴AE∥平面DCF．‎ 解：（2）分别以直线BE、BC、BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 依题意可得：B（0，0，0），C（0，，0），E（3，0，0），F（4，，0），‎ 设AB=m，则A（0，0，m）．‎ ‎=（3，0，﹣m），=（1，，0），‎ 平面CEF的法向量=（0，0，1）．‎ 设平面AEF的法向量=（x，y，z），‎ 则，取z=9，得=（3m，﹣m，9）‎ ‎∵二面角A﹣EF﹣C的大小为60°，‎ ‎∴cos60°==，解得m=．‎ ‎∴当AB=时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为 ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得a、b即可．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m≠0时，直线AB的方程与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，‎ 由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，‎ 又∵，解得b2=1，a2=4，‎ 椭圆C的标准方程为：x2+．‎ ‎（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，‎ ‎∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，‎ 当m≠0时，由+λ=4，得，‎ ‎∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，‎ 由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0‎ 且x1+x2=，x1x2=．‎ 由得x1=﹣3x2‎ ‎3（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0‎ 显然m2=1不成立，∴‎ ‎∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．‎ 解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．‎ 综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}‎