2020学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）(新版)新人教版

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‎2019学年度第一学期月考试题 高二数学 ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 已知U＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则CU(A∪B)等于（ ）‎ A. {6,8} B. {5,7} C. {4,6,7} D. {1,3,5,6,8}‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由已知中U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}，我们根据集合并集的运算法则求出A∪B，再利用集合补集的运算法则即可得到答案．‎ 解：∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}‎ ‎∴A∪B={1，2，3，4，5，7}，‎ ‎∴Cu（A∪B）={6，8}‎ 故选A 点评：本题考查的知识点是集合补集及其运算，集合并集及其运算，属于简单题型，处理时要“求稳不求快”‎ ‎2. 等差数列的前项和为，已知，，则（　　）‎ A. 8 B. 12 C. 16 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，‎ 由，，得：‎ a1+4d=8,3a1+3d=6,解得：a1=0,d=2.‎ ‎∴a1+8d=8×2=16.‎ 故答案为：16.‎ ‎3. 若，则下列不等式中不成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴，‎ ‎∴‎ - 12 -‎ 因此B不正确.‎ 故选：B ‎4. 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）‎ A. 80 B. 40 C. 60 D. 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：三年级的人数为人，所以应抽取的三年级的人数为人．‎ 考点：1．分层抽样；‎ ‎5. 若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为（ ）‎ A. 8 B. 15 C. 16 D. 32‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：样本数据，，，的标准差为，所以方差为64，由可得数据，，，的方差为，所以标准差为 考点：方差与标准差 ‎6. 如下程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的( )‎ - 12 -‎ A. 0 B. 2 C. 4 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】由a=14，b=18，a＜b，‎ 则b变为18﹣14=4，‎ 由a＞b，则a变为14﹣4=10，‎ 由a＞b，则a变为10﹣4=6，‎ 由a＞b，则a变为6﹣4=2，‎ 由a＜b，则b变为4﹣2=2，‎ 由a=b=2，‎ 则输出的a=2．‎ 故选：B．‎ ‎7. 在棱长为的正方体中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为　(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】符合条件的点P落在棱长为的正方体内，‎ 根据几何概型的概率计算公式得P==.‎ 故选A.‎ ‎8. 把二进制的数11111(2)化成十进制的数为(　　)‎ A. 31 B. 15 C. 16 D. 11‎ ‎【答案】A ‎【解析】11111(2)‎ 故选：A ‎9. 已知点是边长为1的等边的中心，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于点O是边长为1的等边△ABC的中心，D为BC的中点，，，两两夹角为120°．‎ - 12 -‎ 所以．‎ 所以 ‎。‎ 故选D．‎ ‎10. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由三视图知：原几何体为一个棱长为2的正方体，里面挖去一个四棱锥，四棱锥的高为1.所以该几何体的体积为。‎ 考点：三视图。‎ 点评：做此类题的关键是正确还原几何体及几何体的一些棱的长。属于基础题型。‎ ‎11. 设动点满足，则的最大值是( )‎ A. 50 B. 60 C. 70 D. 100‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABCO).‎ 由得y=−x+，‎ - 12 -‎ 平移直线y=−x+，‎ 由图象可知当直线y=−x+经过点C(20,0)时，‎ 直线y=−x+的截距最大，此时z最大。‎ 代入目标函数得z=5×20=100.‎ 即目标函数的最大值为100.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎12. 函数的零点有（ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】B ‎【解析】定义域：‎ 由，得：，或 ‎∴（舍），或 故函数的零点有一个.‎ 故选：B 点睛：函数的零点有两种转化方式：一种是转化为方程的根的问题；一种是转化为两个图像的交点问题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知函数，用秦九韶算法计算__________。‎ ‎【答案】4485‎ ‎【解析】，所以 ‎14. 甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法 - 12 -‎ 所有传球方法共有：‎ 甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；‎ 甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；‎ 则共有8种传球方法。‎ 记求第3次球恰好传回给甲的事件为A，可知共有两种情况，，而总的事件数是8，‎ ‎∴P(A)= =.‎ 故答案为：‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎15. 经过直线，的交点且平行于直线的直线方程为__________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 首先求得交点坐标，然后结合直线系方程可得所求直线方程为.‎ 试题解析：‎ 由，得， ‎ 设，则 ‎ 为所求。 ‎ ‎【答案】①④‎ - 12 -‎ ‎【解析】取x=1,得f(1−4)=f(−3)=−f(1)=−log2(1+1)=−1，,所以f(3)=−f(−3)=1，故①正确；‎ 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−4)=−f(x),则f(x−4)=f(−x)，‎ ‎∴f(x−2)=f(−x−2)，‎ ‎∴函数f(x)关于直线x=−2对称，‎ 由于函数对称中心原点(0,0)的对称点为(4,0),故函数f(x)也关于(4,0)点对称，故③不正确；‎ ‎∵x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1)为增函数，‎ 由奇函数在对称区间上单调性相同可得,x∈[−2,0]时，函数为单调增函数，‎ ‎∴x∈[−2,2]时，函数为单调增函数，‎ ‎∵函数f(x)关于直线x=−2对称,∴函数f(x)在[−6,−2]上是减函数，故②不正确；‎ 若m∈(0,1),则关于x的方程f(x)−m=0在[−8,8]上有4个根，其中两根的和为−6×2=−12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为−8.故④正确 故答案为：①④‎ 三、解答题。（本大题满分70分）‎ ‎17. 设数列的前n项为，点，均在函数的图象上.‎ ‎（1）求数列的通项公式。‎ ‎（2）设，为数列的前n项和。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）点在函数y = 3x－2的图象上得到，利用与的关系得到数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵点在函数y = 3x－2的图象上，‎ ‎ ∴a1= s1 =1‎ 当 ‎ ‎ ‎ （2） ‎ ‎ ‎ - 12 -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点睛：裂项相消法是高考中常考的求和方法，分母上的两个因子往往是相邻两项，注意两个因子的差与分子的关系．‎ ‎18. 已知，，，且。‎ ‎（1）将表示成的函数，并求的最小正周期。‎ ‎（2）记的最大值为， 、、分别为的三个内角、、对应的边长，若且，求的最大值。‎ ‎【答案】（1），最小正周期为（2）的最大值为．‎ ‎【解析】试题分析：（I）由得 即 所以，又所以函数的最小正周期为 ‎（II）由（I）易得 于是由即，‎ 因为为三角形的内角，故 由余弦定理得 解得 于是当且仅当时，的最大值为．‎ 考点：本题主要考查平面向量共线的条件，三角恒等变换，三角函数的性质，余弦定理的应用，基本不等式的应用。‎ 点评：典型题，为研究三角函数的图象和性质，往往需要将函数“化一”，这是常考题型。首先运用“三角公式”进行化简，为进一步解题奠定了基础。本题综合性较强，考查知识覆盖面较广。‎ ‎19. 中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对高一600‎ - 12 -‎ 名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图。‎ ‎（1）填写答题卡频率分布表中的空格，补全频率分布直方图,并标出每个小矩形对应的纵轴数据；‎ ‎（2）请你估算该年级的平均数及中位数。‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）该年级段的平均分数约为81.4分，中位数为83.125分.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图直接填写答题卡频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，即可标出每个小矩形对应的纵轴数据；（2）利用频率分布直方图以及分布表，即可估算该年级的平均数及中位数．‎ 试题解析：（1）‎ ‎（2）设所求平均数为,由频率分布直方图可得:‎ ‎,所以该年级段的平均数约为分, 设中位数为, 依题意得,解得．‎ 考点：频率分布直方图以及分布表．‎ - 12 -‎ ‎【方法点晴】在频率分布直方图中，频率为每个矩形的面积；众数，中位数，平均数与频率分布直方图的关系：众数：在样本数据的频率分布直方图中就是最高矩形的中点横坐标；中位数：就是把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与轴交点的横坐标；平均数：等于频率分布图中每个小长方形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．‎ ‎20. 某地区2010年至2016年农村居民家庭纯收入（单位：千元）的数据如下表 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ 年份代号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（1）求关于的线性回归方程。‎ ‎（2）判断与之间是正相关还是负相关？‎ ‎（3）预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入。‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，‎ ‎【答案】（1）（2）与之间是正相关(3)预计到2018年，该地区人均纯收入约为6.8千元.‎ ‎【解析】试题分析：（1）计算出，，得到线性回归方程；（2）因为，所以与之间是正相关(3)利用线性回归防尘预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，设回归方程为，代入公式，经计算得，所以关于的回归方程为 ‎ ‎（2）因为，所以与之间是正相关 ‎ ‎（3）预计到2018年，该地区人均纯收入，所以，预计到2018年，该地区人均纯收入约为6.8千元. ‎ - 12 -‎ ‎21. 如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若∠，M为线段AE的中点，求证：∥平面.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题．‎ ‎（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，从而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；‎ ‎（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM∥平面BEC；‎ 证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB=AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DM∥EF，由线面平行的判定定理即可证得结论．‎ ‎(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，，…………2分 又已知，所以平面OCE. …………４分 所以，即OE是BD的垂直平分线，‎ 所以.…………６分 ‎(II)取AB中点N，连接，‎ ‎∵M是AE的中点，∴∥，…………８分 ‎∵△是等边三角形，∴.‎ 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，‎ 所以ND∥BC，…………1０分 所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. …………12分 ‎22. 在平面直角坐标系中,已知圆心在x轴上,半径为2的圆C位于轴右侧,且与直线相切。‎ ‎(1)求圆C的方程。‎ - 12 -‎ ‎(2)在圆C上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】（1）圆C的方程是(x-2)2+y2=4(x≠0)（2）点M的坐标是或,△OAB的面积的最大值是.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设圆心是，它到直线的距离是，‎ 解得或（舍去） 4分 所求圆的方程是6分 ‎（2）点在圆上 ‎ ，且 又原点到直线的距离8分 解得9分 而 11分 ‎12分 当，即时取得最大值，‎ 此时点的坐标是与，面积的最大值是. 14分 考点：本题主要考查圆，直线与圆的位置关系，二次函数的性质。‎ ‎........................‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 12 -‎