高中数学讲义微专题65 直线的方程与性质

高中数学讲义微专题65 直线的方程与性质

微专题 65 直线的方程与性质 一、基础知识： （一）直线的要素与方程： 1、倾斜角：若直线 与 轴相交，则以 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与 重合所 成的角称为直线 的倾斜角，通常用 表示 （1）若直线与 轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、斜率：设直线的倾斜角为 ，则 的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当 时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直 线方程相联系） （4） 越大，直线越陡峭 （5）斜率 的求法：已知直线上任意两点 ，则 ，即直线的 斜率是确定的，与所取的点无关。 3、截距：若直线 与坐标轴分别交于 ，则称 分别为直线 的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可 0（不要顾名思义 误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为 0 的直线为过原点的非水平非竖直直线 4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上 一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与 这两种方法有关 （1）一点一方向： ① 点斜式：已知直线 的斜率 ，直线上一点 ，则直线 的方程为： l x x l l , , ,    x 0  0,    tank  2   k k    1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 1 2 1 y yk x x   l    ,0 , 0,a b ,a b l l k  0 0,P x y l  0 0y y k x x   证明：设直线 上任意一点 ，根据斜率计算公式可得： ，所以直线上的每 一点都应满足： ，即为直线方程 ② 斜截式：已知直线 的斜率 ，纵截距 ，则直线 的方程为： 证明：由纵截距为 可得直线与 轴交点为 ，从而利用点斜式得： 化简可得： （2）两点确定一条直线： ③ 两点式：已知直线 上的两点 ，则直线 的方程为： ④ 截距式：若直线 的横纵截距分别为 ，则直线 的方程为： 证明：从已知截距可得：直线上两点 ，所以 ⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由 的一次项与常数项构成，所以可将 直线的通式写为： （ 不同时为 0），此形式称为直线的一般式 一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系 点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线： （1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线） （2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线 ② 截距为 0 的直线：过原点的直线 6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路 通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则 需找到两个点，或者一点一斜率 l  ,Q x y 0 0 y yk x x    0 0y y k x x   l k b l y kx b  b y  0,b  0y b k x   y kx b  l    1 1 2 2, , ,A x y B x y l 2 2 1 2 1 2 y y x x y y x x    l  , 0a b ab  l 1x y a b     ,0 , 0,a b 0 0 b bk a a     : 0 1b x yl y b x bx ay aba a b           ,x y 0Ax By C   ,A B （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程， 然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） （二）直线位置关系： 1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合 如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是 ，则要考虑重合的情 况。 2、直线平行的条件 （1）斜截式方程：设直线 ① ② 若直线 的斜率存在，则 （2）一般式方程：设 ，则 ① 当 时， ∥ ② ，且 和 中至少一个成立，则 ∥ （此条件适用于 所有直线） 3、直线垂直的条件： （1）斜截式方程：设直线 ，则 （2）一般式方程：设 ，则： 4、一般式方程平行与垂直判定的规律： 可选择与一般式方程 对应的向量： ，即有： ，从而 的关系即可代表 的关系，例如： （注意验证是否会出现重合的情况） 1 2,l l 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b    1 2 1 2 1 2,k k b b l l   ∥ 1 2,l l 1 2 1 2l l k k ∥ 1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C      1 1 1 2 2 2 A B C A B C  1l 2l 1 2 2 1A B A B 1 2 2 1AC A C 1 2 2 1B C B C 1l 2l 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b    1 2 1 2 1l l k k     1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C      1 2 1 2 1 20A A B B l l    0Ax By C    ,a A B    1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2: 0 , , : 0 ,l A x B y C a A B l A x B y C a A B           1 2,a a  1 2,l l 1 2 2 1 1 2 1 2A B A B a a l l   ∥ ∥ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 20 0A A B B a a a a l l            （三）距离问题： 1、两点间距离公式：设 ，则 2、点到直线距离公式：设 则点 到直线 的距离 3、平行线间的距离： 则 的距离为 （四）对称问题 1、中心对称： （1）几何特点：若 关于 点中心对称，则 为线段 的中点 （2）解析特征：设 ， ，则与 点关于 点中心对称的点 满足： 2、轴对称 （1）几何特点：若若 关于直线 轴对称，则 为线段 的中垂线，即 ，且 的中点在 上 （2）解析特征：设 ， ，则与 点关于 轴对称的点 满足： ，解出 即可 （3）求轴对称的直线：设对称轴为直线 ，直线 关于 的对称直线为 ① 若 ∥ ，则 ∥ ，且 到对称轴的距离与 到对称轴的距离相等 ② 若 与 相交于 ，则取 上一点 ，求出关于 的对称点 ，则 即为对称直线    1 1 2 2, , ,A x y B x y    2 2 1 2 1 2AB x x y y     0 0, , : 0P x y l Ax By C   P l 0 0 2 2P l Ax By Cd A B    1 1 2 2: 0, : 0l Ax By C l Ax By C      1 2,l l 1 2 2 2 C Cd A B   ',A A O O 'AA  0 0,A x y  ,O a b A O  ' ,A x y 0 0 0 0 22 2 2 x xa x a x y y y b yb          ',A A l l 'AA 'AA l 'AA l  0 0,A x y :l y kx b  A l  ' ,A x y ' 0 0 0 0 1 2 2 AA y yk x x k y y x xk b            ' ,A x y l 1l l ' 1l 1l l ' 1l 1l ' 1l l 1l l P 1l A l 'A 'A P ' 1l （五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含 有参数（以参数的不同取值确定直线） 1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值 （1）与直线 平行的直线系方程为： （ 为参数，且 ） （2）与直线 垂直的直线系方程为： （ 为参数） 2、过定点的直线： （1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的 项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为 0 即可 （2）已知 （ 与 不重合），则过 交点的直 线系方程为： （该直线无法表示 ） 3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直 线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参 数，即可得到所求直线方程 二、典型例题： 例 1：直线 的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 思路：要求倾斜角（设为 ），可将直线转化为斜截式得： ，所以 ，即 ，结合正切的定义以及倾斜角的范围可得： 答案：B 小炼有话说：一是要注意由正切值求角时，通过图像判断更为稳妥，切忌只求边界角，然后 直接根据角大小写区间。二是要注意倾斜角的取值范围： ，所以当 时，倾斜角为 （而不是 ） 例 2：经过 作直线 ，若直线 与连接 0Ax By C   0Ax By m   m m C 0Ax By C   0Bx Ay m   m 1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C      1l 2l 1 2,l l  1 2 1 1 1 2 2 20 0l l A x B y C A x B y C          2l sin 2 0x y      0, 30, ,4 4             0, 4      0, ,4 2              sin 2y x     tan 1,1   30, ,4 4              0, 0k  0  )1,0( P l l 的线段总有公共点，则直线 的斜率的取值范围为 ． 思路：直线 可视为绕 进行旋转，在坐标系中作出线段 ，即可由图判断出若直线 与线段 有公共点，旋转过程中的第一条直线与最后一条直线分别为直线 ，则 ，由图像可得： 答案： 小炼有话说：本题如果没有图像辅助，极易将结果写成 ，通过观察可得旋转的过程当 中，倾斜角不断变大，由锐角变为钝角。从而斜率的值应为正负值之外，而非正负值之间。 所以处理此类问题时：一定作图，作图，作图！！ 例 3：若 的图象是两条平行直线，则 的 值是（ ） A． 或 B． C． D． 的值不存在 思路：由平行线可得： 可解得： 或 ，检验是否存在重合情况，将 代入直线可得： ，符合题意，将 代入直线 可得： ，则 重合，不符题意，所以舍去。综上可得： 答案：B 小炼有话说：在已知平行关系求参数取值时，尽管在求解时可仅用 系数关系，但解出参 数后要进行验证，看是否会导致直线重合。 例 4：已知直线 互相垂直，则实数 等于（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 思路：由两直线相互垂直可得： ，即 ，解得 或 答案：A 例 5：已知直线通过点 ，被直线 ： 反射，反射光线通过点 ， 则反射光线所在直线的方程是 ． )3,2(),1,1( BA  l l )1,0( P AB l AB ,PB PA    1 1 3 12, 21 0 2 0PA PBk k             , 2 2,k        , 2 2,k      2,2    1 2: 1 2 0, : 2 8 0l x m y m l mx y        m 1m  2m   1m  2m   m  1 2m m   1m  2m   1m  1 2: 2 1 0, : 2 8 0l x y l x y      2m   1 2: 4 0, : 2 2 8 0l x y l x y       1 2,l l 1m  ,x y 013)2(01  yxayax 与 a 3 1 1 3 1 3 1 3    2 1 3 0a a      2 2 3 0a a   3a   1a   3,4M  l 3 0x y    2,6N 思路：本题与物理知识相结合，可知反射光线过已知点在镜面中的虚像（即对称点），所以考 虑求出 的对称点 ，再利用 确定反射光线即可。 解：设 的对称点 ，则有 ，且 的中点 在 上 即 答案： 例 6：直线 （ 且 不同时为 0）经过定点 ____ 思路：直线过定点，则意味着定点坐标使得参数“失去作用”——即无论参数取何值，不会 影响表达式的值，能够达到此功效的只有让参数与“0”相乘，所以考虑将已知直线进行变形， 将含 的项与含 的项分别归为一组，可得： ，若要让 “失去作用”，则 ，解得 ，即定点为 答案： 小炼有话说：含参数的直线方程要么是一组平行线（斜率为常数），要么考虑过定点，而定点 的求解可参照例 6 的求法。寻找定点是一种意识，即遇到含参数的直线时，便可考虑能否找 到定点，从而抓住此类直线的特征（绕定点旋转），有助于解题。 例 7：已知直线 上存在点 满足与两点 连线的斜率 与 之积为 ，则实数 的取值范围是_________ 思路：设直线上的点 ，则 需同时满足两个条件：一是符合直线方程，二是保证 斜率乘积为 3.对于条件一，即 ，对于条件二，按照斜率计算公式可得 ，所以 即 。所以存在满足条件的  3,4M  'M  2,6N M  ' 0 0,M x y 'MM l 'MM 0 03 4,2 2 x y      l 0 0 00 0 00 0 4 1 1 03 1 03 4 3 02 2 y x yx x yx y                  ' 1,0M ' 6M Nk   ' : 6 1M N y x   6 6 0x y   6 6 0x y      2 2 0m n x m n y m n      ,m n R ,m n m n    2 1 2 0m x y n x y      ,m n 2 1 0 2 0 x y x y        1 1 x y      1,1  1,1 : 3 0l x my m   M    1,0 , 1,0A B MAk MBk 3 m  0 0,M x y M 0 0 3 0x my m   0 0 0 0 ,1 1MA MB y yk kx x   0 0 0 0 31 1 y y x x    2 2 0 03 1y x  ，等价于方程组 有解，所以 判别式 ，可解得 答案： 例 8：若不全为零的实数 成等差数列，点 在动直线 上的射影为 ，点 在直线 上，则线段 长度的最小值是__________ 思路：从 成等差数列可得： ，所以 ，方程含参进而考 虑寻找定点。 ，所以有 ， 解得定点为 ，即 为绕 旋转的动直线，对于任意点 ， 的最小值为点 到 的距离，而 的所有位置中，只有 过 点时， 最短，即 答案： 小炼有话说：（1）本题的突破口在于对含参直线 的分析，首先对于含 参直线要分析出属于平行线系（斜率为定值），还是过定点系（斜率因参数变化而变化），其 次对于多参数方程也能够找到定点。 （2）本题的 均为动点，双动点求最值时，通常固定一个点，分析此点固定时，达到最值 时另一个点位置的特征（例如本题中固定 ，分析出 到 的距离为 最小），然后再让 该点动起来，在动的过程中找到“最值”中的最值。 例 9：已知 的两条高所在直线方程为 ，若 ，求直线 的方程 M  2 2 2 2 2 2 3 0 3 1 6 3 9 3 0 3 3 x my m m y m y m y x                 22 2 26 3 4 3 1 9 3 0m m m      2 2,2 2m       2 2,2 2m       , ,a b c (1,2)A : 0l ax by c   P Q 1 : 3 4 12 0l x y   PQ , ,a b c 2 a cb  : 02 a cl ax y c   1 10 1 02 2 2 a cax y c a x y c y                  1 02 1 1 02 x y y        1, 2 l  1, 2 P PQ P 3 4 12 0x y   P l (1,2)A PQ  1 1min min 2 2 3 1 4 2 12 7 53 4P l A lPQ d d          7 5 : 02 a cl ax y c   ,P Q P P 1l PQ ABC 0,2 3 1 0x y x y     (1,2)A BC 思路：本题并没有说明高线是否过 ，但可以将 带入方 程进行验证，可得两条高线均不过 ，从而寻找确定 直线 的要素，可连接 ，由三角形“三条高线交于一点”的性质可 得 ，且 点可由两条高线解得，从而得到 ，只需 再求得一点即可，观察到 为三条直线 的公共点， 已知，而 可求。进而 解得 的坐标，然后通过 和 求出 的方程 解：设 ，所以 由“三条高线交于一点”可得： 设 ，代入 解得： 整理后可得： 答案： 例 10：已知点 在直线 上，点 在直线 上，线段 的中点为 ，且满足 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 思路：观察发现所给直线为两条平行线，所以 点的轨迹为夹在两条直线之间的平行线，即 A (1,2)A A BC AH AH BC H BCk C , ,BC CD AC CD AC C C BCk BC : 0, : 2 3 1 0CD x y BE x y     1 0 5: 2 3 1 0 1 5 xx yH x y y            1 1,5 5H     12 35 1 21 5 AHk          AH BC 2 3BCk   AC BE : 3 2 0AC x y m   (1,2)A 7m   : 3 2 7 0AC x y    3 2 7 0 7: 0 7 x y xC x y y             7, 7C   2: 7 73BC y x     2 3 7 0x y   2 3 7 0x y   A 2 1 0x y   B 2 3 0x y   AB  0 0,P x y 0 0 2y x  0 0 y x 1 1,2 5      1, 5      1 1,2 5      1 ,02     P H A B C D E ，所以 ，代入所求 ，下面确定 的范围，将 代入 可得： 解得： 所以： 答案：A 小炼有话说：（1）本题 的轨迹可通过图像观察到，也可进行代数分析：设 ，则有 ，① ②可得： 即 ，所以点 的轨迹为 （2）本题对于求 的范围可以有两个角度考虑：一个角度是利用 进行消元， 从而转为一元表达式利用函数求范围。另一个角度可考虑 的几何意义，即 的斜率，从 而通过 作出可行域，数形结合处理。 2 1 0x y   0 0 0 0 12 1 0 2 xx y y       0 0 0 0 1 2 y x x x   0x 0 0 1 2 xy   0 0 2y x  0 0 1 22 x x   0 5 3x   0 0 0 0 0 1 1 1 1 1,2 2 2 2 5 y x x x x             P    1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 1 2 2 1 2 0 1 2 0 2 1 0 2 3 0 2 2 x y x y x xx y yy              ① ②     1 2 1 22 2 0x x y y     0 02 1 0x y   P 2 1 0x y   0 0 y x 0 02 1 0x y   0 0 y x OP 0 0 0 0 2 1 0 2 x y y x      