四川省宜宾市高中2020届高三第一次诊断测试数学（理）试题 含答案

四川省宜宾市高中2020届高三第一次诊断测试数学（理）试题 含答案

宜宾市高2017级高三第一次诊断测试 ‎ 理科数学 ‎ 注意事项：‎ 1. 答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。‎ 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ 3. 考试结束后，将答题卡交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。‎ ‎．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎．若复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎．已知向量，且，则实数 A． B． C． D．‎ ‎．展开式中的常数项是 A． B． C． D． ‎ ‎5．已知，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎．函数的图象大致是 A B C D ‎7．设曲线在处的切线与直线平行，则实数等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎．“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了该企业第年（2012年是第一年）捐赠的现金数（万元）：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 第9题图 若由表中数据得到关于的线性回归方程是，则可预测2019年捐赠的现金大约是 A．5.95万元 B．5.25万元 ‎ C．5.2万元 D．5万元 ‎ ‎．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的 A． B． ‎ C． D．‎ ‎．若人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选人，则至少有两人位于同行或同列的概率是 A． B． C． D．‎ ‎．已知，函数在区间内没有最值，则的取值范围 A． B． C． D．‎ ‎．在平面直角坐标系中，是坐标原点，若两定点满足，‎ ‎，则点集所表示的区域的面积是.‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。‎ ‎．在等差数列中，若，，则 .‎ ‎．若函数在区间单调递增，则的取值范围是 .‎ ‎．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知的面积为，，则 .‎ ‎．若函数在区间上为减函数，则满足条件的的集合是 .‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎．（12分）‎ ‎ 在中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，满足.‎ ‎（1）若，，求；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎．（12分）‎ 已知数列的前项和为，满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设,求数列的前项和．‎ ‎．（12分）‎ ‎ 已知函数. ‎ ‎（1）若，当时，的图象上任意一点的切线的斜率都非负，求证：≥；‎ ‎（2）若在时取得极值，求.‎ ‎．（12分）‎ ‎ 手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图：‎ ‎ 由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．‎ ‎（1）试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；‎ ‎（2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：‎ 记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数，若，职工获得一次抽奖机会；若，职工获得二次抽奖机会；若，职工获得三次抽奖机会；若，职工获得四次抽奖机会；若超过，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为．‎ 方案甲：从装有个红球和个白球的口袋中有放回的抽取个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；‎ 方案乙：从装有个红球和个白球的口袋中无放回的抽取个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；‎ 若某职工日步行数为步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列．若是你，更喜欢哪个方案？‎ ‎．（12分）‎ ‎ 已知函数. ‎ ‎（1）讨论在其定义域内的单调性；‎ ‎（2）若，且，其中,求证：.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 第20题图 如图，在极坐标系中，以和为圆心的两圆外切于点，射线OA，OB的夹角为，分别交于O、A两点，交于O、B两点．‎ ‎（1）写出与的极坐标方程；‎ ‎（2）求面积最大值．‎ ‎23．（10分）[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数，.‎ ‎（1），有，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若不等式的解集为，正数a、b满足，求的最小值.‎ 宜宾市高2017级一诊考试题数学（理工类）参考答案 说明：‎ ‎ 一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A D D B A C A B A C D 二、填空题 ‎13．14 14． 15． 16． 注：写成单元数集才给分 三、解答题 ‎ 17．解：（1）……………1分 ‎，………………2分 ‎，则…………………………………3分 由正弦定理得，，即，……………………………………………5分 联立，得…………………………………………………………………6分 ‎（2）由余弦定理可得，，即 ‎ 得…………………………………………………………10分 则…………………………………………………………12分 ‎18. 解：（1）∵，当时 ∴ ‎ 当时 ，‎ 两式相减得 ‎ ‎ ‎ ‎ ∴是以首项为，公比为的等比数列 ‎ ‎ ....................6分 ‎（2）由（1）知 ‎ ‎ ‎ 两式相减得 ‎ ‎ ‎ ...........................................12分 ‎ ‎19.‎ ‎（I）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（II）‎ ‎ ‎ 解得 当时，函数无极值；‎ ‎20.（I），...........................................4分 ‎（II）某职工日行步数，≈‎ 职工获得三次抽奖机会 设职工中奖次数为 在方案甲下 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 在方案乙下 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ .8‎ 所以更喜欢方案乙...........................................12分 ‎21. （I）‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎ ；...........................................4分 ‎（II）由（I）得：当时，在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎ ‎ 将要证的不等式转化为，考虑到此时，，，‎ 又当时，递增。故只需证明，即证 设。‎ 则 ‎。‎ 当时，，递减。所以，当时， .‎ 所以，从而命题得证。...........................................12分 ‎22．解：（1）；；..........................................4分 ‎（2）由（I）得，‎ ‎ ‎ ‎ ..........................................10分 ‎23.‎ 解：（1）由，得恒成立 ‎ ，在时恒成立 的取值范围是......................................................................................5分 方法二：根据函数的图像，找出的最小值 （2） 由得 ‎ 解得 解得 将带入，整理得 当且仅当，即时取等号 ‎...................................................................................................10分