数学北师大版（2019）必修第二册：1-8 三角函数的简单应用 学案与作业
§8 三角函数的简单应用
(15 分钟 30 分)
1.已知某人的血压满足函数解析式 f(t)=24sin 160πt+115,其中 f(t)
为血压,t 为时间,则此人每分钟心跳的次数为 ( )
A.60 B.70 C.80 D.90
【解析】选 C.由题意得函数的周期为 T= = ,
所以频率 f= =80,所以此人每分钟心跳的次数为 80.
2.智能主动降噪耳机工作的原理:通过耳机两端的噪声采集器采集周
围的噪音,然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪声(如
图).已知噪声的声波曲线
y=Asin 的振幅为 1,周期为
2π,初相为 0,则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线的解析
式为( )
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=-sin x D.y=-cos x
【解析】选 C.由某噪声的声波曲线 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ< )
的振幅为 1,周期为 2π,初相为 0,知声波曲线:y=sin x,通过听感主动
降噪芯片生成相等的反向波曲线为 y=-sin x.
3.(2020·枣庄高一检测)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,
其初始位置为 P0( ,- ),角速度为 1,那么点 P 到 x 轴的距离 d 关于
时间 t 的函数图象大致为 ( )
【解析】选 C.通过分析可知当 t=0 时,点 P 到 x 轴距离 d 为 ,于是可
以排除选项 A,D;再根据当 t= π时,点 P 在 x 轴上,此时点 P 到 x 轴距
离 d 为 0,排除选项 B.
4.(2020·重庆高一检测)重庆被誉为“桥都”,数十座各式各样的大
桥横跨长江、嘉陵江两岸,其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥,其
主体造型为:桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可
视为余弦函数一个周期的图象)相结合.已知拱桥部分长 552 m,两端引
桥各有 190 m,主桁最高处距离桥面 89.5 m,则将下列函数等比放大后,
与主桁形状最相似的是 ( )
A.y=0.45cos x B.y=4.5cos x
C.y=0.9cos x D.y=9cos x
【解析】选 A.设主桁(图中粗线)部分对应的余弦函数为 f =Acos
ωx,
可得函数的周期为 T=552+190×2=932,
即ω= = ,又由 2A=89.5,解得 A= ,
所以函数的解析式为 f = cos x,
按 1∶100 的比例等比变换可得 f = cos x
对比选项,可得与函数 y=0.45cos x 相似.
5.如图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数
y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0),则 8 时的温度大约为________℃(精确
到 1℃).
【解析】由图象可得 b=20,A=10, T=14-6=8,
所以 T=16= ⇒ω= ,y=10sin +20,因为最低点坐标为
(6,10),
所以 10sin +20=10,
得 sin =-1,于是 +φ= π+2kπ(k∈Z),所以
φ= π+2kπ(k∈Z),
取φ= π,所以 y=10sin +20.
当 x=8 时 y=10sin +20=20-5 ≈13.
答案:13
6.(2020·牡丹江高一检测)如图,游乐场的摩天轮匀速旋转,每转一周
需要 12 min,其中心 O 离地面 45 米,半径 40 米.如果你从最低处登上摩
天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的
时刻开始计时,请问:当你第六次距离地面 65 米时,用了________分
钟.
【解析】设时间为 t,t>0,根据题意:
40sin +45=65,故 sin = .
故 t- = +2kπ或 t- = +2kπ,
故 t=12k+4 或 t=12k+8,k∈Z.
故 t1=4,t2=8,t3=16,t4=20,t5=28,t6=32.
答案:32
(30 分钟 60 分)
一、单选题(每小题 5 分,共 20 分)
1.在两个弹簧上各有一个质量分别为 M1 和 M2 的小球做上下自由振动.
已知它们在时间 t(s)离开平衡位置的位移 s1(cm)和 s2(cm)分别由
s1=5sin ,s2=10cos 2t 确定,则当 t= s 时,s1 与 s2 的大小关
系是 ( )
A.s1>s2 B.s1
0,ω>0,φ∈[0,2π)),由题意可知
A=60,B=135-60=75,T= =30,
所以ω= ,
即 f(t)=60sin +75.
又因为 f(0)=135-120=15,解得 sin φ=-1,故φ= ,
所以 f(t)=60sin +75=-60cos t+75,
所以 f(10)=-60×cos +75=105.
二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3
分,有选错的得 0 分)
5.如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数
y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是 ( )
A.该函数的周期是 16
B.该函数图象的一条对称轴是直线 x=14
C.该函数的解析式是 y=10sin +20(6≤x≤14)
D.这一天的函数关系式也适用于第二天
【解析】选 AB.由题意以及函数的图象可知,A+B=30,-A+B=10,所以
A=10,B=20.
因为 =14-6=8,所以 T=16,A 正确;因为 T= ,所以ω= ,所以
y=10sin +20,因为图象经过点(14,30),
所以 30=10sin +20,
所以 sin =1,所以φ可以取 ,
所以 y=10sin +20(0≤x≤24),B 正确,C 错误;这一天的函效
关系式只适用于当天,第二天这个关系式不一定适用,所以 D 错误.
6.(2020·广州高一检测)如图,一个水轮的半径为 6 m,水轮轴心 O 距离
水面的高度为 3 m,已知水轮按逆时针匀速转动,每分钟转动 5 圈,当水
轮上点 P 从水中浮现时的起始(图中点 P0)开始计时,记 f 为点 P 距离
水面的高度关于时间 t 的函数,则下列结论正确的是 ( )
A.f =9
B.f =f
C.若 f ≥6,则 t∈ (k∈N)
D.不论 t 为何值,f +f +f 是定值
【解析】选 BD.如图,以水轮所在面为坐标平面,以水轮的轴心 O 为坐标
原点,x 轴和 y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系,依题意
得 OP 在 t(s)内所转过的角度为 t,则∠POx= t- .则点 P 的纵坐标为
y=6sin ,点 P 距离水面的高度关于时间 t(s)的函数
f =6sin +3;
f =6sin +3=3 +3,选项 A 错误;
f =6sin +3=3,
f =6sin +3=3,f =f ,选项 B 正确;由 f ≥6 得
sin ≥ ,
解得 t∈ ,选项 C 错误;
由 f +f +f
=6sin +3+6sin +3
+6sin +3,展开整理得 f +f +f =9 为定值,选
项 D 正确.
三、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
7.(2020·福州高一检测)我们听到的美妙弦乐不是一个音在响,而是
许多个纯音的合成,称为复合音.复合音的响度是各个纯音响度之和.
琴弦在全段振动,产生频率为 f 的纯音的同时,其二分之一部分也在振
动,振幅为全段的 ,频率为全段的 2 倍;其三分之一部分也在振动,振幅
为全段的 ,频率为全段的 3 倍;其四分之一部分也在振动,振幅为全段
的 ,频率为全段的 4 倍;之后部分均忽略不计.已知全段纯音响度的数
学模型是函数 y1=sin t(t 为时间,y1 为响度),则复合音响度数学模型的
最小正周期是________.
【解析】因为产生频率为 f 的纯音的同时,
其二分之一部分也在振动,振幅为全段的 ,频率为全段的 2 倍;其三分
之一部分也在振动,振幅为全段的 ,频率为全段的 3 倍;其四分之一部
分也在振动,振幅为全段的 ,频率为全段的 4 倍;由全段纯音响度的数
学模型是函数 y1=sin t(t 为时间,y1 为响度),可得复合音响度数学模型
为 y= sin 2t+ sin 3t+ sin 4t,
因为 y= sin 2t 的周期为 =π,
y= sin 3t 的周期为 ,y= sin 4t 的周期为 = 且π, , 的最小公倍
数为 2π,
所以 y= sin 2t+ sin 3t+ sin 4t 的周期为 2π.
答案:2π
8.(2020·南昌高一检测)某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5
cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B
重合,将 A,B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d=______,其中
t∈ .
【解析】因为∠AOB= ×2π= ,
所以根据直角三角形的边长求法得到 d=2×5×sin ∠AOB=10sin .
答案:10sin
四、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.某实验室一天的温度(单位℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函
数关系式:f(t)=12-2cos ,t∈[0,24).
(1)求该实验室一天当中上午 10 时的温度;
(2)若某实验需要在不低于 13 ℃的条件下才可以做,那么该实验应该
在一天当中的哪个时间段进行?
【解析】(1)因为 f(t)=12-2cos ,t∈[0,24),
所以 f(10)=12-2cos =12-2cos =13(℃),
所以该实验室一天当中上午 10 时的温度为 13 ℃.
(2)令 f(t)=12-2cos ≥13,
即 cos ≤- ,
所以 2kπ+ ≤ t- ≤2kπ+ ,k∈Z,
所以 24k+10≤t≤24k+18,k∈Z.
因为 0≤t<24,所以 10≤t≤18,故该实验应该在一天中 t∈ 这
个时间段进行.即 10 时至 18 时进行.
10.建设生态文明,是关系人民福祉,关乎民族未来的长远大计.某市通
宵营业的大型商场,为响应节能减排的号召,在气温超过 28 ℃时才开
放中央空调降温,否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温(单
位:℃)随时间(0≤t≤24,单位:小时)的大致变化曲线,若该曲线近似
的满足函数 y=Asin +b 关系.
(1)求函数 y=f 的表达式;
(2)请根据(1)的结论,判断该商场的中央空调应在本天内何时开启?何
时关闭?
【解析】(1)由题图知,T=2 =24,
所以 =24,得ω= .
由题图知 b= =24,A= =8,
所以 f =8sin +24.
将点 代入函数解析式得 24+8sin =16,
得 +φ=2kπ- , ,
即φ=2kπ- π ,又因为 <π,得φ=- π.
所以 f =24+8sin .
(2)依题意令 24+8sin >28,
可得 sin > ,
所以 2kπ+ < t- π<2kπ+ π ,
解得 24k+10
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