考点17 三角函数的性质与应用-2018版典型高考数学试题解读与变式

考点17 三角函数的性质与应用-2018版典型高考数学试题解读与变式

三角函数的性质与应用 ‎【考纲要求】‎ ‎（1）了解三角函数的周期性；‎ ‎（2）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与轴的交点等）；‎ ‎（3）理解正切函数在区间内的单调性．‎ ‎【命题规律】‎ 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现选择题、填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）． ‎ 预计2018年高考对三角函数的性质的考查仍会集中在对称性、单调性、周期性和最值问题，体现整体思想的应用．‎ ‎【典型高考试题变式】‎ ‎（一）三角函数的周期性 例1　【2017山东】函数最小正周期为（　　　）【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴，故选C．‎ ‎【方法技巧归纳】求解三角函数的周期性的方法：‎ ‎（1）求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．‎ ‎（2）三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成 ‎，或等类型后，用基本结论或来确定；③根据图象来判断．‎ ‎【变式1】【例题中的解析式改变了，选择题改为填空题】函数的最小正周期是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵＝，∴函数的最小正周期是．‎ ‎【变式2】【例题中的解析式改为了含有参数的解析式，求解问题改为确定参数的值】已知函数的最小正周期是，则正数的值为＿＿＿＿＿＿．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴．‎ ‎（二）三角函数的单调性【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 例2　【2015新课标1】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（　　　）‎ A．　　　B．‎ C．　　　 D． ‎ ‎【答案】D ‎【方法技巧归纳】求解三角函数的单调性的方法：‎ ‎（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．‎ ‎（2）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法：‎ ‎①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．‎ ‎【变式1】【例题中由图象先求解析式改为由文字条件求解析式，其它形式没改变】已知函数的一个零点是，是的图像的一条对称轴，则取最小值时， 的单调增区间是（　　　）‎ A．　　　B．‎ C．　　　D．‎ ‎【答案】B ‎【变式2】【例题中由图象先求解析式改为直接给出解析式，所求改为求某指定区间上的单调区间】函数的单调增区间是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以增区间为,即,取可得,又,故,应填答案．‎ ‎（三）三角函数的奇偶性 例3　【2014安徽】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是（　　　）‎ A．　　　　B.　　　　C．　　　　D．‎ ‎【答案】C ‎【方法技巧归纳】求解三角函数的奇偶性的策略：‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；‎ ‎（2）两个常见结论：①若函数为奇函数，则；若函数为偶函数，则；②若函数为奇函数，则；若函数为偶函数，则．‎ ‎【变式1】【命题中由先求解析式改为直接给出解析，且由偶函数改为奇函数，所求基本不变】若函数是奇函数，则（　　　）‎ A．　　　　B．　　　C．　　　　D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数是奇函数，所以，所以时，，故选C．‎ ‎【变式2】【命题中解析式变为含有初相外的另一参数的非标准正弦型函数，所求解问题没有变】使函数是奇函数，‎ 且最小正周期为，则＿＿＿．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数=为奇函数,所以,即．当时，．‎ ‎（四）三角函数的对称性 例4　【2016新课标2】若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为（　　　）‎ A．x=(k∈Z)　　B．x=(k∈Z)　　C．x=(k∈Z)　　D．x=(k∈Z)‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位长度得函数＝的图像，则平移后函数图像的对称轴为，即，故选B．‎ ‎【方法技巧归纳】求解三角函数对称性的方法：‎ ‎（1）求函数的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由的对称中心是，，所以的中心，由方程解出即可；②因为的对称轴是，，所以可由解出，即为函数的对称轴；(3)注意的对称中心为；‎ ‎（2）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线或点是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行判断．‎ ‎【变式1】【例题由正弦改为余弦，由求对称轴改为求对称中心】将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象的一个对称中心为（　　　）‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将函数向左平移个单位后，得到的的图象，令，求得，令，可得该函数的图象的一个中心对称中心为，故选A．‎ ‎【变式2】【由例题求函数的对称轴改为根据函数的对称性求解参数】如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（　　　）‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，知，得，，则由条件，知当时，的最小值为，故选C．‎ ‎（五）三角函数的最值 例5　【2017课标II】函数的最大值是 ‎____________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】化简三角函数的解析式，则＝＝，由可得，当时，函数取得最大值1．‎ ‎【方法技巧归纳】求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型及求解策略：‎ ‎（1）形如的三角函数化为的形式，再利用正弦曲线的知识求最值(值域)；‎ ‎（2）形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数求值域(最值)；‎ ‎（3）形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数求值域(最值).‎ ‎【变式1】【例题中的解析式改变了，给定区间改变了，求最大值改为求最小值】函数 ，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以当时，取最小值 ‎【变式2】【例题中解析式改为含有字母的解析式，所求最大值没改】设为常数，且，则函数的最大值为（　　　）‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】A ‎【数学思想】‎ ‎1．函数与方程的思想 主要体现在求解析式中含有参数的函数性质问题时，通常要通过建立方程解决；求解三角函数的最值有时可以转化二次函数，利用二次函数的最值知识求解．‎ ‎2．转化与化归的思想 主要体现在求解函数的性质（奇偶性、对称性、单调性、周期性最值等）时，通常要将函数转化为形如的形式，再利用正弦曲线的性质求解．‎ ‎3．分类讨论的思想 主要体现在求解解析式、定义域中含有参数的函数性质时，由于参数的取值范围不同，可能造成不同的结果，此时常常要考虑利用分类讨论的思想求解．‎ ‎4．整体代换的思想 求较为复杂的三角函数的性质时，首先化简成的形式，通常将看作一个整体，代入的单调区间、对称轴（或中心）可求得相应的单调性区间与对称轴（或中心）．‎ ‎【注意事项】‎ ‎1．求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结．‎ ‎2．闭区间上的最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．‎ ‎3．处理三角函数的奇偶性或最值等性质时，必须树立“定义域优先”的意识．‎ ‎4．利用函数的单调性比较两个三角函数值的大小时，必须将考虑所涉及到的角是否在同一单调区间内，否则会造成错判．‎ ‎5．利用换元法处理三角函数的最值时，注意确定新元范围，如令，．‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1．【四川外语学院重庆第二外国语学校2017届高三3月月考】下列函数中，最小正周期为的偶函数是(　　　)‎ A． 　　B．　　C．　　D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】A中，满足条件；B中，不是偶函数；C中不是偶函数；D中不是偶函数，且周期为，故选A．‎ ‎2．【东北三省三校2017年高三第二次联合模拟】函数的值域为（ ）‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数 ,所以值域为，选C．‎ ‎3．【陕西师范大学附属中学2017届高三上学期第二次模考】函数是偶函数的充要条件是（　　　） ‎ A．　　　　B．‎ C．　　　　D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意为偶函数，故．‎ ‎4．【2016届黑龙江省大庆实验中学高三上期末】函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则为（　　　）‎ A．1　　　　B．2　　　　C．　　　　D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由题意可知函数在时确定最大值，就是时．，故选B．‎ ‎5．若将函数的图象向左平移个单位，则平移后的图象（　　　）‎ A．关于点对称　　　B．关于直线对称 C．关于点对称　　　D．关于直线对称 ‎【答案】D ‎【解析】平移后的函数．令，解得，则平移后的图象关于直线对称，当时，．故选D．‎ ‎6．【2017届福建厦门一中高三理上期中】若函数 ‎，则的最大值为（　　　）‎ A．1　　　B．2　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，因为，所以，故的最大值为，故选C．‎ ‎7．【四川省泸州市2017年高三下学期3月】函数的图像的一条对称轴为（　　　）‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以对称轴方程满足，由题设可取得，故选C．‎ ‎8．【河南省兰考县第二高级中学2017学年高三下学期月考】已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是(　　　)‎ A．　　　B．‎ C．　　　D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】化简 当 ‎ ,即 是 是增函数，故选A．‎ ‎9．【河北省石家庄市高三数学一模】函数 (,)的最小正周期为,其图象关于直线对称,则的最小值为(　　　)‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎【答案】B ‎10．【辽宁省大连市2017届高三第一次模拟】若方程在上有两个不相等的实数解，则（　　　）‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以 ,即时,函数单调递增, 时,函数单调递减,因此,故选C．‎ ‎11．【2017届福建厦门一中高三理上期中】若函数在上单调递增，则的取值范围是（　　　）‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵在区间上是增函数，∴，∴，即，，∴，令，则，∴在递减，∴，故选A．‎ ‎12．【福建省师大附中2017年高三下学期月考】已知函数，若函数在区间内单调递减，则的取值范围为(　　　)‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎【答案】C ‎13．【甘肃省肃南县一中2017年高三上学期模拟】定义一种运算，令，且，则函数的最大值是（　　　）‎ A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　 D. 1‎ ‎【答案】C ‎14．【2017届湖北荆州市高三上质检一】已知函数，且在上的最大值为，则实数的值为(　　　)‎ A．　　　　B．1　　　　C．　　　　D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知得，对于任意的，有，当时，，不合题意；当时，，从而在单调递减，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，不合题意；当时，，，从而在，单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，解得，故选B．‎ ‎15．【湖南省邵阳市2016-2017学年普通高中学业水平考试模拟】函数的最小正周期为________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由周期公式可得函数的最小正周期为．‎ ‎16．【河北省衡水中学2017年高考猜题卷（一）】若函数是偶函数，则实数的值是 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设函数的图像关于轴对称，则，即．‎ ‎17．【河南省新乡市2017届高三第三次模拟】若函数（）的图象关于点对称，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意可得 又，故．‎ ‎18．【2017届湖南省岳阳市高三教学质量检测试卷（二）】若点是函数的一个对称中心，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，即，所以＋．‎ ‎19．【甘肃省兰州市2017年高考实战模拟】已知函数：①；②；③；④．其中，最小正周期为且图象关于直线对称的函数序号是__________．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】最小正周期为，故，排除③④；将代入①，不是对称轴的位置，故①错误，故②正确．‎ ‎20．【河南省息县第一高级中学2017届高三第七次适应性】已知点在角的终边上，函数的图象上离轴最近的两个对称中心间的距离为，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知， 的周期 ，又由任意三角函数的定义知 ，则＝．‎ ‎21．【江西省上饶市2017届高三第二次模拟】已知函数，其中，若在区间上单调递减，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎22．【2017届四川双流中学高三必得分训练5】已知函数．‎ ‎（1）求函数的解析式及其最小正周期；‎ ‎（2）当时，求函数的值域．‎ ‎【答案】(1),；(2)．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【解析】（1）利用二倍角公式、两角和公式和辅助角公式将函数化简，；‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，∴函数的值域是．‎ ‎23．【2017届湖北荆州市高三上质检一】已知函数．‎ ‎（1）求函数的对称中心；‎ ‎（2）求在上的单调区间．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) ‎ ‎【解析】(1)‎ 令，得，‎ 故所求对称中心为 ‎(2)令，解得 又由于，所以 故所求单调区间为．‎ ‎24．【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟】已知函数（），是偶函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数在区间的最大值．‎ ‎【答案】（1）．（2）．‎ ‎【解析】（1）依题意， ．‎ 因为是偶函数，所以．‎ 又因为，所以．‎ ‎（2）由（Ⅰ）得，， ．‎ ‎．‎ 时， ，‎ 故函数在区间的最大值为．‎ ‎ ‎