高考理科数学复习练习作业51

高考理科数学复习练习作业51

题组层级快练(五十一)‎ ‎1．空间四点中，三点共线是这四点共面的(　　)‎ A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A ‎2．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则“α∥β”的一个充分而不必要条件是(　　)‎ A．m∥β且l1∥α　　　　 B．m∥l1且n∥l2‎ C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2‎ 答案　B 解析　选项A作条件，由于这是两个平面中各有一条直线与另一个平面平行，故不能得到α∥β，但由α∥β能得到选项A，故选项A是“α∥β”的必要而不充分条件；‎ 选项B作条件，此时m，n一定是平面α内的两条相交直线(否则，直线l1∥l2，与已知矛盾)，符合两个平面平行的判定定理的推论“一个平面内如果有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行”，故条件是充分的，但是当α∥β时，只能得到m，n与平面β平行，得不到m∥l1，n∥l2的结论，故选项B是“α∥β”的充分而不必要条件；‎ 选项C作条件，由于m，n只是平面α内的两条不同直线，这两条直线可能相互平行，故得不到α∥β的必然结论，这个条件是不充分的，但由α∥β能得到选项C，故选项C是“α∥β”的必要而不充分条件；‎ 选项D作条件，由n∥l2可得n∥β，这样也是平面α内的直线m，n分别与平面β平行，由于m，n可能平行，故也得不到α∥β的必然结论，故这个条件是不充分的，当α∥β时，只能得到m∥β，但得不到n∥l2，故选项D中的条件是既不充分也不必要的．‎ ‎3．(2017·山东师大附中模拟)已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是(　　)‎ A．存在一条直线b，a∥b且b⊂α B．存在一条直线b，a⊥b且b⊥α C．存在一个平面β，a⊂β且α∥β D．存在一个平面β，a∥β且α∥β 答案　C 解析　在A，B，D中，均有可能a⊂α，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确．‎ ‎4．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则(　　)‎ A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面 答案　B 解析　对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l，m都垂直的直线，即过P且与l，m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l，m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l，m都异面的直线可能有无数条．‎ ‎5.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为(　　)‎ A．3　　　　　　　　　 B．4‎ C．5 D．6‎ 答案　C 解析　如图，用列举法知符合要求的棱为BC，CD，C1D1，BB1，AA1.‎ ‎6．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　连接BA1，则CD1∥BA1，于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)．设AB＝1，则BE＝，BA1＝，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝＝，选C.‎ ‎7.如图所示，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：‎ ‎①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；‎ ‎②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；‎ ‎③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；‎ ‎④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．‎ 其中真命题是(　　)‎ A．②③④ B．①③④‎ C．①②④ D．①②③‎ 答案　C 解析　 将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意不等于(k∈Z)的角度，所得的平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D，选C.‎ ‎8．ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与(　　)‎ A．AC，BD之一垂直 B．AC，BD都垂直 C．AC，BD都不垂直 D．AC，BD不一定垂直 答案　B 解析　∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.∴AN＝CN.‎ 在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可得MN⊥BD.‎ ‎9.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是(　　)‎ A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 答案　A 解析　连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，‎ ‎∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，‎ ‎∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．‎ ‎10.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A－BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等 答案　D 解析　由AC⊥平面DBB1D1，可知AC⊥BE，故A正确．‎ 由EF∥BD，EF⊄平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正确．‎ A到平面BEF的距离即A到平面DBB1D1的距离为，且S△BEF＝BB1×EF＝定值，‎ 故VA－BEF为定值，即C正确．‎ ‎11.如图，正三棱柱ABC－A′B′C′的底面边长和侧棱长均为2，D、E分别为AA′与BC的中点，则A′E与BD所成角的余弦值为(　　)‎ A．0 B. C. D. 答案　B 解析　取B′B中点F，连接A′F，则有A′F綊BD，∴∠FA′E或其补角即为所求．‎ ‎∵正三棱柱ABC－A′B′C′棱长均为2.∴A′F＝，FE＝，A′E＝.‎ ‎∴cos∠FA′E＝，故A′E与BD所成角余弦值为.‎ ‎12．下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　)‎ 答案　D 解析　①在A中易证PS∥QR，∴P，Q，R，S四点共面．‎ ‎②在C中易证PQ∥SR，∴P，Q，R，S四点共面．‎ ‎③在D中，∵QR⊂平面ABC，PS∩面ABC ＝P且P∉QR，‎ ‎∴直线PS与QR为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面．‎ ‎④在B中P，Q，R，S四点共面，证明如下：‎ 取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，∴P，N，R，S四点共面，设为α.‎ 可证PS∥QN，∴P，Q，N，S四点共面，设为β.‎ ‎∵α，β都经过P，N，S三点，∴α与β重合，∴P，Q，R，S四点共面．‎ ‎13．有下列四个命题：‎ ‎①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交平面α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；‎ ‎②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；‎ ‎③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面；‎ ‎④若a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．‎ 其中正确命题的序号是________．‎ 答案　①②‎ 解析　在①中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与平面α的交线上，即P，Q，R三点共线，所以①正确．‎ 在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A，B两点在该平面上，所以l⊂α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a，l，所以α与β重合，即这些直线共面，所以②正确．‎ 在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以③错．‎ 在④中，由题设知，a与α相交，设a∩α＝P，如图，在α内过点P的直线l与a共面，所以④错．‎ ‎14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：‎ ‎①直线AM与直线C1C相交； ②直线AM与直线BN平行；‎ ‎③直线AM与直线DD1异面； ④直线BN与直线MB1异面．‎ 其中正确结论的序号为________．‎ 答案　③④‎ 解析　AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错；③，④正确．‎ ‎15．如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．‎ ‎(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；‎ ‎(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？‎ 答案　(1)略　(2)共面，证明略 解析　(1)证明：∵G，H分别为FA，FD的中点，∴GH綊AD.又∵BC綊AD，‎ ‎∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形．‎ ‎(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：‎ 由BE綊AF，G是FA的中点，得BE綊GF.‎ 所以EF綊BG.由(1)知，BG綊CH，所以EF綊CH.所以EC∥FH.‎ 所以C，D，F，E四点共面．‎ ‎16. (2017·邯郸一中模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示．‎ ‎(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；‎ ‎(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1－BCA1的体积．‎ 答案　(1)　(2) 解析　 (1)连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边上的中点．‎ ‎∵点O是正△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，∴BC⊥AD，BC⊥A1O.‎ ‎∵AD∩A1O＝O，∴BC⊥平面ADA1.‎ ‎∴BC⊥AA1.又AA1∥CC1，∴异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C.‎ ‎∵CC1⊥BC，即四边形BCC1B1为正方形，‎ ‎∴异面直线AA1与BC1所成角的大小为.‎ ‎(2)∵三棱柱的所有棱长都为2，‎ ‎∴可求得AD＝，AO＝AD＝，A1O＝＝.∴VABC－A1B1C1＝S△ABC·A1O＝2，VA1－B1C1CB＝VABC－A1B1C1－VA1－ABC＝.‎ ‎∴VC1－BCA1＝VA1－BCC1＝VA1－BCC1B1＝.‎ ‎17.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°.‎ ‎(1)求四棱锥的体积；‎ ‎(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．‎ 答案　(1)2　(2) 解析　(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，‎ ‎∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBO＝60°.‎ 在Rt△AOB中，BO＝AB·sin30°＝1，∵PO⊥OB，‎ ‎∴PO＝BO·tan60°＝.‎ ‎∵底面菱形的面积S＝×2××2＝2，‎ ‎∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×2×＝2.‎ ‎(2)取AB的中点F，连接EF，DF，如图所示．∵E为PB中点，‎ ‎∴EF∥PA，∴∠DEF为异面直线DE与PA所成的角(或其补角)．‎ 在Rt△AOB中，AO＝＝OP，∴在Rt△POA中，PA＝，‎ ‎∴EF＝.在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝，由余弦定理，得cos∠DEF＝＝＝＝.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.‎ 如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝.‎ ‎(1)求证：三条直线EF，GH，AC交于一点；‎ ‎(2)若在本题中，＝＝2，＝＝3，其他条件不变．求证：EH、FG、BD三线共点．‎ 解析　(1)∵E，H分别是AB，AD的中点，‎ ‎∴由中位线定理可知，EH綊BD.‎ 又∵＝＝，∴在△CBD中，FG∥BD，且FG＝BD.‎ ‎∴由公理4知，EH∥FG，且EHHG.‎ 所以四边形EFGH为梯形．‎ 设EH与FG交于点P，则P∈平面ABD，P∈平面BCD，‎ 所以P在两平面的交线BD上，所以EH、FG、BD三线共点．‎