高考卷 全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）

高考卷 全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）

2007 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷） 数 学 (文科) 全解全析 一．填空题（本大题满分 44 分，本大题共有 11 题，只要求直接填写结果，每个空格填对 得 4 分，否则一律得零分．） 1．方程 9 13 1 x 的解是 ． 【答案】 1x 【解析】 1 213 3 1 2 19 x x x          2．函数 1 1)(  xxf 的反函数  )(1 xf ． 【答案】 1 0x xx  （ ） 【解析】由 1 1 ( 0)1 yy x yx y       1 1 0xf x xx   （ ） 3．直线 014  yx 的倾斜角  ． 【答案】 4arctanπ  【解析】 tan 4, ( , )2          4arctanπ  .。 4．函数 πsec cos 2y x x     的最小正周期 T ． 【答案】 【解析】 π 1sec cos ( sin ) tan2 cosy x x x x Tx             。 5．以双曲线 154 22  yx 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ． 【答案】 2 12y x 【解析】双曲线 2 2 14 5 x y  的中心为O（0,0），该双曲线的右焦点为F（3,0）则抛物线的 顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是) 2 12y x 。 6．若向量 a b  ， 的夹角为 60 ， 1a b    ，则  a a b     ． 1C C B 1B 1A A 【答案】 2 1 【解析】   22 1 1cos60 1 2 2a a b a a b a a b                    。 7．如 图 ， 在 直 三 棱 柱 111 CBAABC  中 ， 90ACB ， 21 AA ， 1 BCAC ，则异面直线 BA1 与 AC 所成角的 大小是 （结果用反三角函数值表示）． 【答案】 6 6arccos 【解析】 1 1 ,AC AC   异面直线 BA1 与 AC 所成角为 1 1BAC ，易求 1 6A B  ， 1 1 1 1 1 1 1 1 6 6cos cos6 66 ACBAC BAC arcA B         。 8．某工程由 A B C D， ， ， 四道工序组成，完成它们需用时间依次为 2 5 4x，，，天．四道工序的 先后顺序及相互关系是： A B， 可以同时开工； A 完成后，C 可以开工； B C， 完成后， D 可以开工．若该工程总时数为 9 天，则完成工序C 需要的天数 x 最大是 ． 【答案】3 【解析】因为 A 完成后，C 才可以开工，C 完成后， D 才可以开工，完成 A、C、D 需用时 间依次为 2 4x，， 天，且 A B， 可以同时开工，该工程总时数为 9 天， max max2 4 9 3x x      。 9．在五个数字1 2 3 4 5，，，， 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 【答案】 3.0 【解析】剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的 概率是 2 1 2 3 3 5 3 0.310 C CP C    。 10．对于非零实数 a b， ，以下四个命题都成立： ① 01  aa ； ② 222 2)( bababa  ； ③ 若 |||| ba  ，则 ba  ； ④ 若 aba 2 ，则 ba  ． 那么，对于非零复数 a b， ，仍然成立的命题的所有序号是 ． 【答案】②④ 【解析】 对于①：解方程 1 0a a   得 a i，所以非零复数 a  i使得 1 0a a   ，① A B l C 不成立；②显然成立；对于③：在复数集 C 中，|1|=|i|，则 a b  a b  ，所以③不成 立；④显然成立。则对于任意非零复数 ,a b ，上述命题仍然成立的所有序号是②④ 11．如图， A B， 是直线l 上的两点，且 2AB ．两个半径相等的动圆分别与l 相切于 A B， 点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧 AC ，CB 与 线段 AB 围成图形面积 S 的取值范围是 ． 【答案】 π0 2 2     ， 【解析】如图，当 1 2O O 与 外切于点 C 时，S 最大，此时， 两圆半径为 1， S 等于矩形 ABO2O1 的面积减去两扇形面积， 2 max 12 1 2 ( 1 ) 24 2S          ，随着圆半径的变化， C 可以向直线l 靠近，当 C 到直线l 的距离 0 , 0, (0,2 ]2d S S     时 。 二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A，B，C，D 的四 个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得 零分． 12．已知 a bR， ，且 i3,i2  ba （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两 个根，那么 a b， 的值分别是（ ） Ａ． 3 2a b  ， Ｂ． 3 2a b  ， Ｃ． 3 2a b   ， Ｄ． 3 2a b ， 【答案】A 【解析】 因为 2 ai，bi（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以 2 ai 与 bi 互为共轭复数，则 a=－3，b=2。选 A。 13．圆 01222  xyx 关于直线 032  yx 对称的圆的方程是（ ） Ａ． 2 1)2()3( 22  yx Ｂ． 2 1)2()3( 22  yx Ｃ． 2)2()3( 22  yx Ｄ． 2)2()3( 22  yx 【答案】C 【解析】圆 2 2 2 22 1 0 ( 1) 2x y x x y        ，圆心（1，0），半径 2 ，关于直线 C l O1 O2 B A 032  yx 对称的圆半径不变，排除 A、B，两圆圆心连线段的中点在直线 032  yx 上，C 中圆 2)2()3( 22  yx 的圆心为（－3，2），验证适合，故选 C。 14．数列 na 中， 2 2 2 1 1 1000 10012 n nna n nn n       ， ≤ ≤ ， ， ≥ ， 则数列 na 的极限值（ ） Ａ．等于 0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于 0 或1 Ｄ．不存在 【答案】B 【解析】 2 2 1lim lim lim 122 1 nn n n na n n n        ，选 B。 15．设 )(xf 是定义在正整数集上的函数，且 )(xf 满足：“当 2( )f k k≥ 成立时，总可推 出 ( 1)f k  ≥ 2)1( k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若 1)1( f 成立，则 100)10( f 成立 Ｂ．若 4)2( f 成立，则 (1) 1f ≥ 成立 Ｃ．若 (3) 9f ≥ 成立，则当 1k ≥ 时，均有 2( )f k k≥ 成立 Ｄ．若 (4) 25f ≥ 成立，则当 4k ≥ 时，均有 2( )f k k≥ 成立 【答案】D 【解析】 对 A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若 1)1( f 成立，则不一 定 100)10( f 成立；对 B，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出： 若 4)2( f 成立，则 (1) 1f  成立，不能得出：．若 4)2( f 成立，则 (1) 1f ≥ 成立；对 C，当 k=1 或 2 时，不一定有   2f k k 成立；对 D，  4 25 16,f    对于任意的 4k  ， 均有   2f k k 成立。故选 D。 三．解答题（本大题满分 90 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． P B C A D O 16．（本题满分 12 分） 在正四棱锥 ABCDP  中， 2PA ，直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 60 ，求 正四棱锥 ABCDP  的体积V ． 【解析】作 PO 平面 ABCD ，垂足为O ．连接 AO ， O 是正方形 ABCD 的中心， PAO 是直线 PA 与平面 ABCD 所成的角． PAO ＝ 60 ， 2PA ． 3PO ． 1AO ， 2AB ， 1 1 2 33 23 3 3ABCDV PO S      ． 17．（本题满分 14 分） 在 ABC△ 中 ， a b c， ， 分 别 是 三 个 内 角 A B C， ， 的 对 边 ． 若 4 π,2  Ca ， 5 52 2cos B ，求 ABC△ 的面积 S ． 【解析】由题意，得 3cos 5B B ， 为锐角， 5 4sin B ， 10 27 4 π3sin)πsin(sin       BCBA ， 由正弦定理得 7 10c ，  1 1 10 4 8sin 22 2 7 5 7S ac B      ． 18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦，年生产量的增长率为 34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2%（如，2003 年的年生产量的增长率为 36%）． （1）求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安 装量为 1420 兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%，到 2010 年 ，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%），这四年中 太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%）？ 【解析】（1） 由已知得 2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 P B C A D %36 ， %38 ， %40 ， %42 ． 则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 8.249942.140.138.136.1670  (兆瓦)． （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x ，则 4 4 1420(1 ) 95%2499.8(1 42%) x  ≥ ． 解得 0.615x≥ ． 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 %5.61 ． 19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分． 已知函数 0()( 2  xx axxf ，常数 )a R ． （1）当 2a 时，解不等式 12)1()(  xxfxf ； （2）讨论函数 )(xf 的奇偶性，并说明理由． 【解析】（1） 121 2)1(2 22  xxxxx ， 01 22  xx ， 0)1( xx ． 原不等式的解为 10  x ． （2）当 0a 时， 2)( xxf  ，对任意 ( 0) (0 )x    ， ， ， )()()( 22 xfxxxf  ， )(xf 为偶函数． 当 0a 时， 2( ) ( 0 0)af x x a xx    ， ， 取 1x ，得 ( 1) (1) 2 0 ( 1) (1) 2 0f f f f a        ， ， ( 1) (1) ( 1) (1)f f f f     ， ，  函数 )(xf 既不是奇函数，也不是偶函数． 20．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分． 如果有穷数列 1 2 3 ma a a a， ， ， ， （ m 为正整数）满足条件 maa 1 ， 12  maa ，…， 1aam  ， 即 1 imi aa （ 1 2i m ，， ， ），我们称其为“对称数列”． 例如，数列1 2 5 2 1，，，，与数列8 4 2 2 4 8，，，，， 都是“对称数列”． （1）设 nb 是 7 项的“对称数列”，其中 1 2 3 4b b b b， ， ， 是等差数列，且 21 b ， 114 b ．依 次写出 nb 的每一项； （2）设 nc 是 49 项的“对称数列”，其中 25 26 49c c c， ， ， 是首项为1，公比为 2 的等比 数列，求 nc 各项的和 S ； y O1A 2B 2A 1B . . . M 1F 0F 2F x . （3）设 nd 是100 项的“对称数列”，其中 51 52 100d d d， ， ， 是首项为 2 ，公差为3的等 差数列．求 nd 前 n 项的和 nS ( 1 2 100 )n  ，， ， ． 【解析】（1）设数列 nb 的公差为 d ，则 1132314  ddbb ，解得 3d ，  数列 nb 为 2 5 8 11 8 5 2，，， ，，， ． （2） 4921 cccS   25492625 )(2 cccc     122212 242     321122 2625   67108861． （3） 51 1002 2 3 (50 1) 149d d     ， ． 由题意得 1 2 50d d d， ， ， 是首项为149，公差为 3 的等差数列． 当 50n ≤ 时， nn dddS  21 nnnnn 2 301 2 3)3(2 )1(149 2  ． 当 51 100n≤ ≤ 时， nn dddS  21  ndddS  525150 ( 50)( 51)3775 2 ( 50) 32 n nn       75002 299 2 3 2  nn 综上所述， 2 2 3 301 1 502 2 3 299 7500 51 1002 2 n n n n S n n n       ， ≤ ≤ ， ， ≤ ≤ ． 21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 9 分． 我们把由半椭圆 12 2 2 2  b y a x ( 0)x≥ 与半椭圆 12 2 2 2  c x b y ( 0)x ≤ 合成的曲线称 作“果圆”，其中 222 cba  ， 0a ， 0 cb ． 如图，设点 0F ， 1F ， 2F 是相应椭圆的焦点， 1A ， 2A 和 1B ， 2B 是“果圆” 与 x ， y 轴的交点， M 是线段 21 AA 的中点． （1）若 0 1 2F F F△ 是边长为 1 的等边三角形，求该 “果圆”的方程； （2）设 P 是“果圆”的半椭圆 12 2 2 2  c x b y ( 0)x ≤ 上任意一点．求证：当 PM 取得最小值时， P 在点 1 2B B， 或 1A 处； （3）若 P 是“果圆”上任意一点，求 PM 取得最小值时点 P 的横坐标． 【解析】（1）    2 2 2 2 0 1 2( 0) 0 0F c F b c F b c  ， ， ， ， ， ，  2 2 2 2 2 0 2 1 21 2 1F F b c c b F F b c        ， ，于是 2 2 2 23 7 4 4c a b c   ， ， 所求“果圆”方程为 2 24 1 ( 0)7 x y x  ≥ ， 2 24 1 ( 0)3y x x  ≤ ． （2）设 ( )P x y， ，则 2 2 2 2|| ycaxPM       2 2 2 2 2 ( )1 ( ) 04 b a cx a c x b c xc             ， ≤ ≤ ， 01 2 2  c b ， 2||PM 的最小值只能在 0x 或 cx  处取到． 即当 PM 取得最小值时， P 在点 1 2B B， 或 1A 处． （3） |||| 21 MAMA  ，且 1B 和 2B 同时位于“果圆”的半椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)x y xa b   ≥ 和半椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)y x xb c   ≤ 上，所以，由（2）知，只需研究 P 位于“果圆”的半椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y xa b   ≥ 上的情形即可． 2 2 2 2|| ycaxPM       2 222 2 2 2 2 2 2 4 )( 4 )( 2 )( c caacab c caax a c      ． 当 2 2 ( ) 2 a a cx ac  ≤ ，即 2a c≤ 时， 2||PM 的最小值在 2 2 2 )( c caax  时取到， 此时 P 的横坐标是 2 2 2 )( c caa  ． 当 a c caax  2 2 2 )( ，即 ca 2 时，由于 2||PM 在 ax  时是递减的， 2||PM 的最小 值在 ax  时取到，此时 P 的横坐标是 a ． 综上所述，若 2a c≤ ，当 ||PM 取得最小值时，点 P 的横坐标是 2 2 2 )( c caa  ； 若 ca 2 ，当 ||PM 取得最小值时，点 P 的横坐标是 a 或 c ．