2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：10-2　二项式定理（讲解部分）

2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：10-2　二项式定理（讲解部分）

10.2 　二项式定理 高考理数 考点    二项式定理 考点清单 考向基础 1.二项式定理 公式( a + b ) n =   a n +   a n -1 b 1 + … +   a n - k b k + … +   b n ( n ∈N * )叫做二项式定理.公 式中右边的多项式叫做( a + b ) n 的二项展开式,其中各项的系数   ( k =0,1, … , n )叫做二项式系数,式中的   a n - k b k 叫做二项展开式的通项,用 T k +1 表示,即 通项为展开式的第 k +1项. 2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n +1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n ,即 a 与 b 的指数的和为 n . (3)字母 a 按降幂排列,从第一项起,次数由 n 逐项减1直到0,字母 b 按升幂排 列,从第一项起,次数由零逐项增1直到 n . (4) 二项式系数为   ,   , … ,   ,   . 3.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即   =   . (2)增减性与最大值:对于二项式系数   ( r =0,1,2, … , n ),当 r <   时,二项式系 数是递增的;当 r >   时,二项式系数是递减的. 当 n 是偶数时,二项展开式的中间一项   的二项式系数最大,即最大 的二项式系数为   . 当 n 是奇数时,二项展开式的中间两项   的二项式系数 相等且最大,即最大的二项式系数为   和   . (3)二项式系数的和 ( a + b ) n 的展开式的各个二项式系数的和等于2 n ,即   +   +   + … +   + … +   =2 n . 二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即   +   +   + … =   +   +   + … =2 n -1 . 考向突破 考向一    求与特定项相关的量 例1     (2019内蒙古包头二模,10)若   的展开式中的各项系数的和为 1,则该展开式中的常数项为   (　　) A.672　　　　    B.-672　　　　     C.5 376　　　　    D.-5 376 解析 　∵   的展开式中的各项系数的和为( a -1) 9 =1,∴ a =2.故展开式 的通项公式为 T r +1 =   ·(-1) r ·2 9- r · x 18-3 r ,令18-3 r =0,求得 r =6,可得该展开式中的常 数项为   ·2 3 =672,故选A. 答案     A 考向二    二项式系数的性质及应用 例2     (2018河北邯郸二模,9)在   的展开式中,各项系数和与二项式 系数和之比为64,则 x 3 的系数为   (　　) A.15　　　　    B.45　　　　     C.135　　　　    D.405 解析 　令   中 x 为1,得各项系数和为4 n ,又展开式的各项二项式系数 和为2 n ,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,∴   =64,解得 n =6, ∴二项展开式的通项公式为 T r +1 =   ·3 r ·   ,令6-   r =3,得 r =2,故展开式中 x 3 的系数为   ·3 2 =135,故选C. 答案     C 方法1      求二项展开式中的特定项或特定项的系数 1.二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根 据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意 二项式系数中 n 和 r 的隐含条件,即 n , r 均为非负整数,且 n ≥ r ,如常数项指数 为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求的项. 2.求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求 解. 方法技巧 例1     (2017课标Ⅰ,6,5分)   (1+ x ) 6 展开式中 x 2 的系数为   (　　) A.15　　　　    B.20　　　　    C.30　　　　    D.35 解析　 解法一:   (1+ x ) 6 =1·(1+ x ) 6 +   ·(1+ x ) 6 ,(1+ x ) 6 的展开式中的 x 2 的系 数为   =15,   ·(1+ x ) 6 的展开式中的 x 2 的系数为   =15,所以所求展开式中 x 2 的系数为15+15=30. 解法二:因为   (1+ x ) 6 =   ,所以   (1+ x ) 6 展开式中 x 2 的系 数等于(1+ x 2 )(1+ x ) 6 展开式中 x 4 的系数,而(1+ x 2 )(1+ x ) 6 展开式中 x 4 的系数为   +   =30,故   (1+ x ) 6 展开式中 x 2 的系数为30. 解法三:因为   (1+ x ) 6 =   =   -   ,所以   (1+ x ) 6 展开式中 x 2 的系数为   -2   =30,故选C. 答案     C 方法2      二项式系数的和与各项的系数和 1.“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对于形如( ax + b ) n ,( ax 2 + bx + c ) m ( a , b ∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令 x =1 即可;对于形如( ax + by ) n ( a , b ∈R)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令 x = y =1即可. 2.若 f ( x )= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n ,则 f ( x )展开式中各项系数之和为 f (1),奇数项系 数之和为 a 0 + a 2 + a 4 + … =   ,偶数项系数之和为 a 1 + a 3 + a 5 + … =   . 例2     (2020届山东济南外国语学校9月月考,16)已知 x ( x -2) 8 = a 0 + a 1 ( x -1)+ a 2 ( x - 1) 2 + … + a 9 ( x -1) 9 ,则 a 1 + a 2 + … + a 9 = 　　　     , a 2 = 　　　     . 解析 　令 x =1,得 a 0 =1,令 x =2,得 a 0 + a 1 + a 2 + … + a 9 =0, 所以 a 1 + a 2 + … + a 9 =-1.因为 x ( x -2) 8 =[( x -1)+1]·[( x -1)-1] 8 =( x -1)·[( x -1)-1] 8 +[( x -1)- 1] 8 , 所以 a 2 =   ·(-1) 7 +   ·(-1) 6 =20. 答案 　-1;20