2020_2021学年新教材高中数学第5章函数概念与性质5

2020_2021学年新教材高中数学第5章函数概念与性质5

第2课时　函数的最大值、最小值 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义．(重点)‎ ‎2．会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点)‎ 通过学习本节内容，培养学生的直观想象和逻辑推理素养．‎ 在下图中，我们从图象上看出14时的气温为全天的最高气温，它表示在0～24时之间，气温于14时达到最大值；从图象上看出，图象在这一点的位置最高．‎ 从图中可以看出：对于任意的x∈[0,24]，都有f(x)与f(14)具有怎样的关系？‎ ‎1．函数的最大值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A．如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．‎ ‎2．函数的最小值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A．如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．‎ 思考：函数的最值与值域是一回事吗？‎ ‎[提示]　不是．最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集合中的一个元素．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数f(x)＝－x2≤1总成立，故f(x)的最大值为1． (　　)‎ ‎(2)若函数f(x)在定义域内存在无数个x使得f(x)≤M成立，则f(x)的最大值为M． (　　)‎ ‎(3)函数f(x)＝x的最大值为＋∞． (　　)‎ - 8 -‎ ‎[提示]　 (1)因为在定义域内找不到x使得x2＝－1成立．‎ ‎(2)因为“无数”并非“所有”，故不正确．‎ ‎(3)“＋∞”不是一个具体数．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是　　　　 ．‎ ‎[答案]　－1‎ ‎3．已知函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最大值是　　　　．‎ ‎3　[根据函数图象(图略)可知，f(x)的最大值为3．]‎ ‎4．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是　　　　 ．‎ ‎[答案]　4‎ ‎5．函数y＝在[2,6]上的最大值与最小值之和等于　　　　 ．‎ 　[函数y＝在区间[2,6]上是减函数，当x＝2时取得最大值，当x＝6时取得最小值，＋＝．]‎ 利用图象求函数的最值 ‎【例1】　求函数y＝|x＋1|＋|x－2|(－2≤x≤4)的最值．‎ ‎[思路点拨]　先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可．‎ ‎[解]　原函数y＝|x＋1|＋|x－2|＝的图象如图．‎ 故函数的最小值为3，最大值为7．‎ - 8 -‎ 用图象法求最值的一般步骤 ‎1．函数f(x)＝的最大值是　　　　．‎ ‎3　[作出f(x)的图象如图所示，∴f(x)max＝3．‎ ‎]‎ ‎2．已知函数f(x)＝ ‎(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；‎ ‎(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．‎ ‎[解]　(1)图象如图所示：‎ ‎(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．‎ 利用单调性求函数的最值 ‎【例2】　已知函数f(x)＝．‎ ‎(1)用函数单调性定义证明f(x)＝在(1，＋∞)上是单调减函数；‎ ‎(2)求函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值与最小值．‎ ‎[思路点拨]　(1)利用单调性的定义证明．‎ ‎(2)利用(1)的结论求最值．‎ - 8 -‎ ‎[解]　(1)证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且10，x1－1>0，x2－1>0，‎ 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．‎ 故函数f(x)＝在(1，＋∞)上为单调递减函数．‎ ‎(2)由上述(1)可知，函数f(x)＝在[3,4]上为单调递减函数，‎ 所以在x＝3时，函数f(x)＝取得最大值；‎ 在x＝4时，函数f(x)＝取得最小值．‎ ‎(变条件)求函数f(x)＝在[－4，－3]上的最值．‎ ‎[解]　任取x1，x2∈[－4，－3]且x10，‎ ‎∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，‎ ‎∴f(x)在[－4，－3]上单调递减，‎ ‎∴f(x)max＝f(－4)＝，‎ f(x)min＝f(－3)＝，‎ ‎∴f(x)在[－4，－3]上最大值为，最小值为．‎ ‎1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值．‎ ‎2．函数的最值与单调性的关系 ‎(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；‎ ‎(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；‎ ‎(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．‎ - 8 -‎ ‎3．已知函数f(x)＝(x∈[2，＋∞))，‎ ‎(1)求f(x)的最小值；‎ ‎(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，‎ 且x14,1－>0，‎ ‎∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)a恒成立，只须f(x)min>a，即a<．‎ 二次函数求值域 ‎[探究问题]‎ ‎1．如图是函数f(x)＝(x－1)2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，和[0,3]时，f(x)的单调性．‎ ‎[提示]　f(x)在[－1,0]上单调递减；‎ 在上单调递增；‎ 在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增．‎ ‎2．结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f(x)的最值．‎ - 8 -‎ ‎[提示]　结合图象的单调性，可得 x∈[－1,0]时，f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f(0)＝0．‎ x∈时，f(x)max＝f(3)＝3，f(x)min＝f＝－．‎ x∈[0,3]时，f(x)max＝f(3)＝3，f(x)min＝f(1)＝－1．‎ ‎3．通过探究2，分析函数f(x)取最值时的x与对称轴的距离有什么关系？‎ ‎[提示]　通过观察图象，可以发现，①当对称轴不在区间内部时，两个最值均在端点处取得且离对称轴近的端点对应的函数值较小，较远的端点对应的函数值较大．②当对称轴在区间内部时，对称轴对应函数的最小值，最大值在离对称轴较远的端点处取得．因此，我们求二次函数的最值时应该分析对称轴和区间的关系．‎ ‎【例3】　求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．‎ ‎[思路点拨]　f(x)的对称轴是x＝a，a是运动变化的，故求最值时，应该讨论a与区间[2,4]的关系，进而确定单调性和最值．‎ ‎[解]　∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－‎4a．‎ 当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，‎ ‎∴f(x)min＝f(4)＝18－‎8a．‎ 当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2．‎ ‎∴f(x)min＝ ‎1．(变设问)在本例条件下，求f(x)的最大值．‎ ‎[解]　∵函数图象的对称轴是x＝a，‎ ‎∴当a≤3时，f(x)max＝f(4)＝18－‎8a，‎ 当a>3时，f(x)max＝f(2)＝6－‎4a．‎ ‎∴f(x)max＝ ‎2．(变设问)在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a 的值．‎ ‎[解]　由本例解析知f(x)min＝ 当a<2时，6－‎4a＝2，a＝1；‎ 当2≤a≤4时，2－a2＝2，a＝0(舍去)；‎ 当a>4时，若18－‎8a＝2，a＝2(舍去)．‎ ‎∴a的值为1．‎ ‎3．(变条件，变设问)本例条件变为，若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　在[2,4]内，f(x)≤a恒成立，‎ - 8 -‎ 即a≥x2－2ax＋2在[2,4]内恒成立，‎ 即a≥f(x)max，x∈[2,4]．‎ 又f(x)max＝ ‎(1)当a≤3时，a≥18－‎8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3．‎ ‎(2)当a>3时，a≥6－‎4a，解得a≥，此时有a>3．‎ 综上有实数a的取值范围是[2，＋∞)．‎ 求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间内，在区间左侧，在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.‎ ‎1．函数的最值与值域、单调性之间的联系 ‎(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝．如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．‎ ‎(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上单调，则y＝f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．‎ ‎2．对二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[p，q]上的最值问题可作如下讨论：‎ ‎(1)对称轴x＝h在区间[p，q]的左侧，‎ 即当hq时，f(x)max＝f(p)，f(x)min＝f(q)．‎ - 8 -‎ ‎1．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是(　　)‎ A．0 B．－ ‎ C． D．－1‎ C　[∵函数y＝－x＋1在区间上是减函数，‎ ‎∴f(x)max＝f＝－＋1＝．]‎ ‎2．已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的最小值为(　　)‎ A．2 B．4 ‎ C．6 D．8‎ B　[由题意知，当x>0时，函数f(x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x<0时，f(x)＝x2＋a> a，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4, 即实数a的最小值为4．]‎ ‎3．函数y＝x2－2x－1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是　　　　．‎ ‎0　[∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，‎ ‎∴函数的对称轴为x＝1，∴函数在区间[0,1]上为减函数，在区间[1,3]上为增函数．‎ ‎∴当x＝1时，函数取最小值－2，当x＝3时，函数取最大值2，∴最大值与最小值的和为0．]‎ ‎4．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f(x)在[1,2]上的值域．‎ ‎[解]　∵f(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，∴函数f(x)＝4x2－mx＋1的对称轴方程x＝＝－2，即m＝－16．‎ 又[1,2]⊆[－2，＋∞)，且f(x)在[－2，＋∞)上递增．‎ ‎∴f(x)在[1,2]上递增，‎ ‎∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝4－m＋1＝21；‎ 当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝16－‎2m＋1＝49．‎ ‎∴f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．‎ - 8 -‎