2020高中数学 课时分层作业10 双曲线及其标准方程 新人教A版选修2-1
课时分层作业(十) 双曲线及其标准方程
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是( )
A．－＝1 B．－＝1(x≥4)
C．－＝1 D．－＝1(x≥3)
D [由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．]
2．若方程＋＝1，k∈R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是( )
【导学号：46342092】
A．－3
－2
D．k>－2
A [由题意知，解得－30，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.]
8．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
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－＝1(x≤－2) [设动圆圆心为P，由题意知|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4<|AB|，则动圆圆心P的轨迹是以点A，B为焦点的双曲线的左支，又a＝2，c＝4，则b2＝12，故动圆圆心的轨迹方程为－＝1(x≤－2)．]
三、解答题
9．如图233，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．
图233
[解] 法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0，2)，P(，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝2<|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
则c＝2,2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
∴曲线C的方程为－＝1.
法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|<|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得a2＝b2＝2.
∴曲线C的方程为－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.
【导学号：46342094】
[解] (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
5
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
[能力提升练]
1．设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
B [由题意，知－＝1，因为θ∈，所以sin θ>0，－cos θ>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选B．]
2．已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为( )
A．2 B．10 C．8 D．6
B [设△PF1F2的内切圆的半径为R，由题意，知a＝4，b＝3，c＝5.∵S＝S＋8，∴(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，∴R＝2，∴S＝·2c·R＝10，故选B．]
3．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.
【导学号：46342095】
－1 [设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.]
4．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．
(－1,3) [由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2
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