2020高中数学 章末综合测评1 常用逻辑用语 新人教A版选修2-1
章末综合测评(一) 常用逻辑用语
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列语句中是命题的为( )
①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x∈R,5x－3>6.
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
D [①不能判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④是命题．]
2．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( )
A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等
B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形
C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形
D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形
C [将原命题的条件否定作为结论，为“△ABC是等腰三角形”，结论否定作为条件，为“有两个内角相等”，再调整语句，即可得到原命题的逆否命题，为“若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形”，故选C．]
3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
【导学号：46342046】
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
B [根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B.]
4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．]
5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )
A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立
B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立
C．∀x∈R，使得f(x)＞0成立
6
D．∀x∈R，f(x)≤0成立
A [“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A.]
6．若命题﹁(p∨(﹁q))为真命题，则p，q的真假情况为( )
A．p真，q真 B．p真，q假
C．p假，q真 D．p假，q假
C [由﹁(p∨(﹁q))为真命题知，p∨(﹁q)为假命题，从而p与﹁q都是假命题，故p假q真．]
7．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则﹁p为( )
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e≤1
B．∃x0>0，使得(x0＋1)e≤1
C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1
B [因为全称命题∀x∈M，p(x)的否定为∃x0∈M，﹁p(x)，故﹁p：∃x0>0，使得(x0＋1)e≤1.]
8．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2＜0.下列选项中为真命题的是( )
A．﹁p B．﹁p∨q
C．﹁q∧p D．q
C [很明显命题p为真命题，所以﹁p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以﹁q是真命题．所以﹁p∨q为假命题，﹁q∧p为真命题，故选C．]
9．条件p：x≤1，且﹁p是q的充分不必要条件，则q可以是( )
【导学号：46342047】
A．x>1 B．x>0
C．x≤2 D．－1
1，
又∵﹁p是q的充分不必要条件，
∴﹁p⇒q，q推不出﹁p，即：﹁p是q的子集．]
10．下列各组命题中，满足“p或q”为真，且“非p”为真的是( )
A．p：0＝∅；q：0∈∅
B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B；q：函数y＝sin x
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在第一象限是增函数
C．p：a＋b≥2(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：过点M(0,1)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条
C [A中，p、q均为假命题，故“p或q”为假，排除A；B中，由在△ABC中，cos 2A＝cos 2B，得1－2sin2A＝1－2sin2B，即(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝0，所以A－B＝0，故p为真，从而“非p”为假，排除B；C中，p为假，从而“非p”为真，q为真，从而“p或q”为真；D中，p为真，故“非p”为假，排除D.故选C．]
11．已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若“p或q”为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2,2]
A [由题意知p，q均为假命题，则﹁p，﹁q为真命题．
﹁p：∀x∈R，mx2＋1>0，故m≥0，﹁q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0，
则Δ＝m2－4≥0，即m≤－2或m≥2，
由得m≥2.故选A.]
12．设a，b∈R，则“2a＋2b＝2a＋b”是“a＋b≥2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [利用基本不等式，知2a＋b＝2a＋2b≥2，化简得2a＋b≥22，所以a＋b≥2，故充分性成立；当a＝0，b＝2时，a＋b＝2,2a＋2b＝20＋22＝5,2a＋b＝22＝4，即2a＋2b≠2a＋b，故必要性不成立．故选A.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．命题“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”的逆否命题是________．
若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0 [“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”即为：“若x2＋x－6>0，则x<－3或x>2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0.]
14．写出命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的否命题为________.
【导学号：46342048】
“若x2≠4，则x≠2且x≠－2” [命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的否命题为“若
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x2≠4，则x≠2且x≠－2”．]
15．若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1] [命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题．
则∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，
∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]．]
16．已知p：－40，若﹁p是﹁q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
[－1,6] [p：－40⇔20，真命题．这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．
(3)﹁s：∀x∈R，x3＋3≠0，假命题．这是由于当x＝－时，x3＋3＝0.
19．(本小题满分12分)(1)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件？
(2)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件？
[解] (1)欲使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件，
则只要⊆{x|x<－1或x>3}，
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则只要－≤－1，即m≥2，
故存在实数m≥2，
使2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件，
则只要⊇{x|x<－1或x>3}，
则这是不可能的，
故不存在实数m使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件．
20．(本小题满分12分)已知p：x2－8x－33>0，q：x2－2x＋1－a2>0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
[解] 解不等式x2－8x－33>0，得p：A＝{x|x>11或x<－3}；
解不等式x2－2x＋1－a2>0，得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p⇒q但qp，说明AB.
于是有或解得00的解集为R.若p或q为真，q为假，求实数m的取值范围．
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[解] 由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，得Δ＝m2－4>0，解得m>2或m<－2.
∴命题p为真时，m>2或m<－2；命题p为假时，－2≤m≤2.
由不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R，得方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0的根的判别式Δ′＝16(m－2)2－16<0，解得1
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