高中数学选修2-2课时练习第五章 模块检测
模块检测
一、选择题
1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( )
A．完全归纳推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
答案 B
解析 由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B.
2．(2013·浙江)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)( )
A．－3＋i B．－1＋3i
C．－3＋3i D．－1＋i
答案 B
解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选B.
3．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于( )
A．10 B．10ln 10＋lg e
C.＋ln 10 D．11ln 10
答案 B
解析 ∵f′(x)＝10xln 10＋，∴f′(1)＝10ln 10＋lg e，故选B.
4．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在( )
A．大前提 B．小前提
C．推理形式 D．没有出错
答案 A
5．观察下列数表规律
则数2 007的箭头方向是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2 007在上行，则2 007＝3＋(n－1)·4⇒n＝502∈N＋.故2 007在上行，又因为在上行奇数的箭头为→an，故选D.
6．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a，b的值为( )
A.或 B.
C. D．以上都不对
答案 B
解析 ∵f′(x)＝3x2－2ax－b，∴，
解得或.经检验a＝3，b＝－3不合题意，应舍去．
7．给出下列命题：
①dx＝dt＝b－a(a，b为常数且a
0，且a＋b＋c＝1，求证：
(1)a2＋b2＋c2≥；(2)＋＋≤.
证明 (1)∵a2＋≥a，b2＋≥b，c2＋≥c，
∴＋＋≥a＋b＋c＝.∴a2＋b2＋c2≥.
(2)∵≤，≤，≤，三式相加得＋＋≤(a＋b＋c)＋
＝1，∴＋＋≤.
17．是否存在常数a，b，使等式＋＋…＋＝对一切n∈N＋都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．
解 若存在常数a，b使等式成立，
则将n＝1，n＝2代入上式，
有得a＝1，b＝4，
即有＋＋…＋＝
对于一切n∈N＋都成立．
证明如下：
(1)当n＝1时，左边＝＝，
右边＝＝，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时等式成立，即
＋＋…＋＝，
当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＝·
＝·＝·
＝＝，
也就是说，当n＝k＋1时，等式成立，
综上所述，等式对任何n∈N＋都成立．
18．(2013·广东)设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(其中k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k∈时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.
解 (1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)．
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln 2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表
x
(－∞，0)
0
(0，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由表可知，函数f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．
(2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝
x(ex－2k)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln (2k)，
令g(k)＝ln(2k)－k，则g′(k)＝－1＝＞0，
所以g(k)在上递增，
所以g(k)≤ln 2－1＝ln 2－ln e＜0，
从而ln (2k)＜k，所以ln(2k)∈[0，k]，
所以当x∈(0，ln(2k))时，f′(x)＜0；
当x∈(ln(2k)，＋∞)时，f′(x)＞0；
所以M＝max{f(0)，f(k)}＝max{－1，(k－1)ek－k3}
令h(k)＝(k－1)ek－k3＋1，则h′(k)＝k(ek－3k)，
令φ(k)＝ek－3k，则φ′(k)＝ek－3＜e－3＜0，
所以φ(k)在上递减，
而φ·φ(1)＝(e－3)＜0，
所以存在x0∈使得φ(x0)＝0，
且当k∈时，φ(k)＞0，当k∈(x0,1)时φ(k)＜0，
所以h(k)在上单调递增，
在(x0,1)上单调递减．
因为h＝－＋＞0，h(1)＝0，
所以h(k)≥0在上恒成立，
当且仅当k＝1时取得“＝”．
综上，函数f(x)在[0，k]上的最大值M＝(k－1)ek－k3.
