高中数学选修2-2教学课件第2课时 导数的运算法则

高中数学选修2-2教学课件第2课时 导数的运算法则

第 2 课时 导数的运算法则 基本初等函数的导数公式 (1) 若 f(x) ＝ c(c 为常数 ) ，则 f′(x) ＝ ； (2) 若 f(x) ＝ x a (a∈Q*) ，则 f′(x) ＝ ； (3) 若 f(x) ＝ sin x ，则 f′(x) ＝ ； (4) 若 f(x) ＝ cos x ，则 f′(x) ＝ ________ ； 0 a x a － 1 cos x － sin x (5) 若 f ( x ) ＝ a x ，则 f ′( x ) ＝ ； (6) 若 f ( x ) ＝ e x ，则 f ′( x ) ＝ ； (7) 若 f ( x ) ＝ log a x ，则 f ′( x ) ＝ ； (8) 若 f ( x ) ＝ ln x ，则 f ′( x ) ＝ . a x ln a e x 观察下图你能作出判断吗？ h （ x ） = f （ x ） + g(x) = ？ + 求导 求导 本节课我们就主要解决这一问题 1. 掌握导数的和、差、积、商的求导法则 . （重点） 2. 会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导 问题 . （难点） 3. 运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导 . （难点） 探究点 1 导数的运算法则 : 法则 1: 两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导数的和（差），即 法则 2: 两个函数的积的导数 , 等于第一个函数的导数乘第二个函数 , 加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即 : 法则 3: 两个函数的商的导数 , 等于第一个函数的导数乘第二个函数 , 减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方 . 即 : 由 法则 2: 例 1 求函数 y=x 3 -2x+3 的导数 . 解 : y  =(x 3 -2x+3)  =(x 3 )  -(2x)  +(3)  =3x 2 -2 所以 , 所求函数的导数是 y  =3x 2 -2 求下列函数的导数 : 答案 : 【 变式训练 】 函数 f(x) 在某点处导数的大小表示函数在此点附 近变化的快慢 . 由上述计算可知 . 它 表示纯净度为 98% 左右时净化费用的变化率 , 大约是纯 净度为 90% 左右时净化费用变化率的 25 倍 . 这说明 , 水 的纯净度越高 , 需要的净化费用就越多 , 而且净化费用 增加的速度也越快 . 【 总结提升 】 探究点 2 复合函数的求导法则 一般地 , 对于两个函数 y ＝ f ( u ) 和 u ＝ g ( x ), 如果通过变 量 u,y 可以表示成 x 的函数 , 那么称这个函数为函数 y ＝ f ( u ) 和 u ＝ g ( x ) 的 ___________ , 记作 y ＝ f ( g ( x )). 复合函数 y ＝ f ( g ( x )) 的导数和函数 y ＝ f ( u ), u ＝ g ( x ) 的导 数间的关系为 y x ′ ＝ y u ′· u x ′ , 即 y 对 x 的导数等于 ____________ 与 _____________ 的乘积 . 复合函数 y 对 u 的导数 u 对 x 的导数 例 3 求下列函数的导数： 【 总结提升 】 利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤 : 1. 分解复合函数为基本初等函数 , 适当选取中间变量 ; 2. 求每一层基本初等函数的导数 ; 3. 每层函数求导后 , 需把中间变量转化为自变量的函数 . 1. 若 f(x) 与 g(x) 是定义在 R 上的两个可导函数， 且 f(x) ， g(x) 满足 f  (x)=g  (x) ，则 f(x) 与 g(x) 满足（ ） A.f(x) ＝ g(x) B.f(x) － g(x) 为常数函数 C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x) 为常数函数 B 2. 函数 y =sin x (cos x ＋ 1) 的导数为 ______________. y  =cos2 x +cos x 3. 曲线 y=x 3 ＋ x 2 ＋ l 在点 P( － 1 ， 1) 处的切线方程 为 . y = x ＋ 2 4. 求下列函数的导数 : 答案 : 6 ．已知抛物线 y= x 2 ＋ b x ＋ c 在点 (1 ， 2) 处与直线 y= x ＋ 1 相切，求 b ， c 的值． 解： 令 f （ x ） = x 2 ＋ b x ＋ c ， 则 f´ （ x ） =2 x +b 又因为点（ 1,2 ）在抛物线上 所以 所以 7. 如果曲线 y = x 3 + x - 10 的某一切线与直线 y =4 x +3 平行 , 求切点坐标与切线方程 . 解 : 因为 切线与直线 y =4 x +3 平行 , 所以 切线斜率为 4 . 又切线在 x 0 处斜率为 所以 3 x 0 2 +1=4 . 所以 x 0 =1 . 当 x 0 =1 时 , y 0 =-8; 当 x 0 =-1 时 , y 0 =-12. 所以 切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12) . 切线方程为 y =4 x -12 或 y =4 x -8 . 8. 某运动物体自始点起经过 t 秒后的距离 s 满足 s= -4t 3 +16t 2 . (1) 此物体什么时刻在始点 ? (2) 什么时刻它的速度为零 ? 解 : ( 1) 令 s=0, 即 t 4 -4t 3 +16t 2 =0, 所以 t 2 (t-8) 2 =0, 解 得 : t 1 =0,t 2 =8. 故在 t=0 或 t=8 秒末的时刻运动物体在 始点 . (2) 即 t 3 -12t 2 +32t=0, 解得 :t 1 =0,t 2 =4,t 3 =8, 故在 t=0,t=4 和 t=8 秒时物体运动的速度为零 . 1. 求导法则 注意 : 2. 复合函数的导数 3. 函数求导的基本步骤： （ 1 ）分析函数的结构和特征； （ 2 ）选择恰当的求导法则和导数公式； （ 3 ）整理得到结果 . 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 .