2018-2019学年辽宁省营口高中等重点协作校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年辽宁省营口高中等重点协作校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年辽宁省营口高中等重点协作校高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则＝（ ）‎ A． B． ‎ C． 或 D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：M＝{x||x－1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，N＝＝{x|－1＜x＜3}，‎ ‎∴，∴，故选D．‎ ‎【考点】考查了集合的运算．‎ 点评：解本题的关键是确定集合M，N，求出集合N的补集，再求出M与N的补集的交集．‎ ‎2．已知命题p“”，则为（ ）‎ A． ． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】特称命题的否定是全称命题，由此得到选项.‎ ‎【详解】‎ 特称命题的否定是全称命题，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，在否定时要注意否定结论.属于基础题.‎ ‎3．已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】先计算的值，然后计算的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意得，.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数求函数值，考查复合函数求值.先求得内部的函数值，再代入一次即可.属于基础题.‎ ‎4．设, 则 “”是“”的（ ）‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故选A.‎ ‎【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎5．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． A=B D． ＝‎ ‎【答案】B ‎【解析】集合研究对象是定义域，集合的研究对象是值域，分别求得的范围，由此得出选项.‎ ‎【详解】‎ 集合研究对象是定义域，即，解得.集合的研究对象是值域，由于，即.所以集合是集合的子集.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查集合的研究对象，考查函数的定义域与函数的值域，还考查了子集的知识，属于基础题.‎ ‎6．已知a＞b，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． a2>b2 C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用特殊值法，给赋值，对选项逐一排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 当时，，且没有意义，故三个选项错误，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查实数比较大小，主要采用的是特殊值，对进行赋值，然后排除错误选项.属于基础题.‎ ‎7．已知函数，则＝（ ）‎ A． B． 1 C． 2 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令求得的值，代入函数表达式，可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 令，解得，故.所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查函数求值，考查函数的对应法则，直接列方程求得的值，即可求得相应的函数值，属于基础题.‎ ‎8．已知函数 且满足，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】说明函数为上的减函数，由此可以列出关于的不等式组，由此解得的组织范围.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，说明函数为上的减函数，故，解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查函数的单调性，考查指数函数和一次函数单调性.一次函数单调性由一次项的系数觉得，指数函数的单调性有底数来决定.‎ ‎9．函数（）的图象的大致形状是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，结合可排除BC选项；‎ 当时，，结合可排除A项；‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎10．如果函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是（‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时符合题意，当时，根据函数在区间上为增函数，可以判断函数开口向下，再利用对称轴的位置列不等式，可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数在上为增函数，当时，符合题意；当函数开口向下，即 时，二次函数对称轴，解得.综上所述，‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的单调性，根据函数的单调性来求参数的取值范围.由于函数的最高次项含有参数，所以讨论时，要先从开始讨论，当时，函数为一次函数，符合题意.当时，函数是二次函数，单调区间由开口方向和对称轴同时决定.本小题属于中档题.‎ ‎11．若存在x＞1使成立，则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据选项，选取特殊值，代入验证选项是否正确.‎ ‎【详解】‎ 当时，不等式左边为，由于，所以，所以不符合题意，排除两个选项.同理，当时，不等式左边为，，所以，所以不符合题意，排除选项，故选.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查不等式的性质，考查解选择题的特殊技巧：特殊值、排除法.先选取特殊值，然后利用不等式的性质，对选项进行排除，由此得到正确选项.‎ 不等式的性质中，有乘法的，但是要注意条件，若，这样两个同号的才能相乘，得到.两边乘以同一个负数，要注意不等号会改变.‎ ‎12．已知，若对任意的，存在，使，则实数m的取值范围是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由，.所以.当时要使成立即要存在上成立. 存在使得成立.即.故选A.本题难点是即有恒成立问题又有存在成立问题.认真区分好这两个含义是关键.将不等式的问题转化为函数的最值问题也是解题的关键.‎ ‎【考点】1.不等式的问题转化为函数的最值问题.2.关于恒成立的及存在成立的问题.3.关于指数函数的不等式.‎ 二、填空题 ‎13．函数＝的定义域为_________（结果用区间表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据被开方数为非负数，以及分母不等于零，列不等式组，求解得函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 依题意得，解得且，故定义域为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的定义域，函数的定义域主要从：分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数，对数真数大于零等几个方面考虑.属于基础题.‎ ‎14．若不等式与关于x不等式＜0的解集相同，则＝_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先解绝对值不等式，利用韦达定理列出等式，化简求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由有，由于绝对值不等式的解集和的解集相同，故，是一元二次方程的两个根，由韦达定理得，两式相除得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式和一元二次方程根与系数关系，属于基础题.‎ ‎15．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递増，若实数a满足，则实数a的取值范围是__________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数是偶函数，且在上递增，判断出函数在上递减，由此将原不等式转化为，解这个不等式可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由于函数是偶函数，且在上递增，故函数在上递减，故圆不等式可转化为，即，即，.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，以及解抽象函数不等式和绝对值不等式，属于中档题.对于函数的奇偶性，判断方法是根据奇偶性的定义，也即是判断 ‎，还是.奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称.‎ ‎16．已知非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－1＝0，则的最大值为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，得到，代入方程，化简为的一元二次方程的形式，利用其有解，那么判别式为非负数，求得的最大值，也就求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 令，得到，代入方程，并化简得，因为这个方程有解，所以，化简得，故，即的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查最大值的求法，考查了化归与转化的数学思想方法.题目给定一个方程，含有两个参数，要求的也是关于的一个表达式的最值.解题过程中，先将所求表达式假设为，然后用来表示，这样转化之后，题目所给方程知含有参数，而且是一个一元二次方程，利用判别式可求得的最大值.属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．（1））计算：‎ ‎（2）已知＝3，求的值 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用指数运算的知识化简，求得表达式的值.（2）对已知条件，平方化简后，再次平方，可求得所求.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ ‎(2)由,得到所以,‎ 于是,所以 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数的运算，其主要的解题方法是：大的数变为小的数，小数变为分数来求解.属于中档题.‎ ‎18．已知全集U＝R，非空集合 ‎（1）当a＝时，求 ‎（2）命题p：，命题q：，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）当时，分别解出集合于集合，然后求得，进而求得的值.（2）是的必要不充分条件，说明，也即，是的真子集，由此列不等式组，解不等式组可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时, ‎ 所以 ‎(2)‎ 又因为q是p的必要不充分条件,所以且,所以,所以 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查必要不充分条件的理解和运用，还考查了集合补集、并集和子集的概念，属于中档题.‎ ‎19．已知定义域为R的函数是奇函数．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）判断的单调性（不用证明）‎ ‎（3）若，求实数t的范围 ‎【答案】（1）；（2）上的减函数；（3）.‎ ‎【解析】（1）利用定义域为的的奇函数，，可求得的值.（2）当增大时，增大，递减，也是递减，所以为减函数.（2）将原不等式变为，利用函数为奇函数，变为，再根据单调性变为，解这个不等式可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ ‎(2)函数为R上的减函数.‎ ‎(3)由,得,‎ 由(2)知在上为减函数,所以 解得: .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，还考查了利用利用奇偶性和单调性解函数不等式，以及一元二次不等式的解法.对于一个定义在上的奇函数来说，，如果函数在处没有定义，就没有这个条件可以用，并且，偶函数不一定有.‎ ‎20．解关于x的不等式 ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】当时，变为一元一次不等式来解.当时，为一元二次不等式，将不等式左边因式分解后，根据二次函数根的分布情况，将分为三种情况，来求得一元二次不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 当a=0时, ‎ 当a≠0时、‎ 若.即时, ‎ 若,即或时,‎ 当时, ,‎ ‎②当时, ‎ 若,即时、,无解 综上所述: 时,解集为;‎ a=-2时,不等式无解(其它讨论方法如果结论正确同样给分)‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查解含有参数的一元二次不等式的方法，由于二次项的系数含有参数，所以首先考虑二次项的系数为零的情况.当二次项的系数不为零时，利用十字相乘法将二次三项式因式分解，求出两个根后，通过对根的分类讨论，求得一元二次不等式的解集.属于中档题.‎ ‎21．设函数 ‎（1）若“”是假命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）恒成立，求实数a的取值范固 ‎【答案】(1);（2）.‎ ‎【解析】（1）特称命题是假命题，则其否定为全称命题且为真命题，利用二次函数开口向上，并且判别式不大于零列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（2）将化简为左边只含有的不等式，即分离常数，得到，由于所以由此求得的最大值为，故.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为若是假命题,所以为真命题,于是恒成立,‎ 若不恒成立,所以;‎ 所以 ‎(2) 恒成立,于是恒成立,‎ 因为x>0,所以,所以恒成立,‎ 所以,‎ 因为x>0.所以,所以,‎ 当且仅当x=1时,等号成立 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查全称命题与特称命题，考查一元二次不等式恒大于零的表示方法，还考查了分离常数法，利用分离常数法，对已知不等式进行转化，转化为一边是参数，另一边是含有的形式，再求得含有部分的最大值，由此可以求得参数的最大值.‎ 属于中档题.‎ ‎22．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．‎ ‎（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？‎ ‎（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．‎ ‎【答案】（1）每件定价最多为元；（2）当该商品明年的销售量至少达到万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和，此时该商品的每件定价为元．‎ ‎【解析】试题分析：（1）设每件定价为元，依题意，得，解不等式即可求解结论；（2）依题意时，不等式有解，等价于时，得到有解，利用基本不等式，即可得到结论．‎ 试题解析：（1）设每件定价为元，‎ 依题意，有，‎ 整理得，解得，‎ ‎∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．‎ ‎（2）依题意，当时，不等式有解，‎ 即时，不等式有解．‎ ‎∵ （当且仅当时，等号成立），∴．‎ ‎∴当该商品明年的销售量至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和，此时该商品的每件定价为30元．‎ ‎【考点】函数的实际应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，基本不等式求最值，不等式恒成立问题的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解得中认真、仔细审题，建立函数模型，同时注意变量取值的实际意义是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．‎