2014年陕西省高考数学试卷（理科）

2014年陕西省高考数学试卷（理科）

‎2014年陕西省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（　　）‎ A．[0，1] B．[0，1） C．（0，1] D．（0，1）‎ ‎2．（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（　　）‎ A． B．π C．2π D．4π ‎3．（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（　　）‎ A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1‎ ‎4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（　　）‎ A．an=2n B．an=2（n﹣1） C．an=2n D．an=2n﹣1‎ ‎5．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（　　）‎ A． B．4π C．2π D．‎ ‎6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（　　）‎ A．f（x）=x B．f（x）=x3 C．f（x）=（）x D．f（x）=3x ‎8．（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）‎ A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 ‎9．（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（　　）‎ A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a ‎10．（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（　　）‎ A．y=﹣x B．y=x3﹣x C．y=x3﹣x D．y=﹣x3+x ‎　‎ 二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎11．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=　 　．‎ ‎12．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为　 　．‎ ‎13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=　 　．‎ ‎14．（5分）观察分析下表中的数据：‎ 多面体 面数（F）‎ 顶点数（V）‎ 棱数（E）‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎6‎ ‎10‎ 立方体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是　 　．‎ ‎　‎ ‎（不等式选做题）‎ ‎15．（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为　 　．‎ ‎　‎ ‎（几何证明选做题）‎ ‎16．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=　 　．‎ ‎　‎ ‎（坐标系与参数方程选做题）‎ ‎17．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）‎ ‎18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．‎ ‎（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．‎ ‎19．（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．‎ ‎（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；‎ ‎（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．‎ ‎20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．‎ ‎（Ⅰ）若++=，求||；‎ ‎（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．‎ ‎21．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：‎ 作物产量（kg）‎ ‎300‎ ‎500‎ 概率 ‎0.5‎ ‎0.5‎ 作物市场价格（元/kg）‎ ‎6‎ ‎10‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．‎ ‎22．（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1‎ 的离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．‎ ‎23．（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．‎ ‎（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．‎ ‎　‎ ‎2014年陕西省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（　　）‎ A．[0，1] B．[0，1） C．（0，1] D．（0，1）‎ ‎【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．‎ ‎【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，‎ ‎∴M∩N=[0，1）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（　　）‎ A． B．π C．2π D．4π ‎【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．‎ ‎【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，‎ 函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（　　）‎ A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1‎ ‎【分析】根据微积分基本定理计算即可．‎ ‎【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）﹣（0+e0）=e．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（　　）‎ A．an=2n B．an=2（n﹣1） C．an=2n D．an=2n﹣1‎ ‎【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，‎ ‎∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（　　）‎ A． B．4π C．2π D．‎ ‎【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．‎ ‎【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，‎ ‎∴正四棱柱体对角线的长为=2‎ 又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，‎ ‎∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1‎ 根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，‎ ‎∴所求概率为=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（　　）‎ A．f（x）=x B．f（x）=x3 C．f（x）=（）x D．f（x）=3x ‎【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：A．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；‎ B．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；‎ C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错．‎ D．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）‎ A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 ‎【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．‎ ‎【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；‎ 其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，‎ ‎∴原命题的逆命题是假命题；‎ 根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，‎ ‎∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（　　）‎ A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a ‎【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．‎ 方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：方法1：∵yi=xi+a，‎ ‎∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，‎ 方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4．‎ 方法2：由题意知yi=xi+a，‎ 则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，‎ 方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（　　）‎ A．y=﹣x B．y=x3﹣x C．y=x3﹣x D．y=﹣x3+x ‎【分析】分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式．‎ ‎【解答】解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项：‎ A选项，导数为，令其为0，解得x=±5，故A正确；‎ B选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故B错误；‎ C选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故C错误；‎ D选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故D错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用．‎ ‎　‎ 二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎11．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=　　．‎ ‎【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．‎ ‎【解答】解：由4a=2，得，‎ 再由lgx=a=，‎ 得x=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为　x2+（y﹣1）2=1　．‎ ‎【分析】利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为 ‎ （b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．‎ ‎【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，‎ 可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，‎ 故答案为：x2+（y﹣1）2=1．‎ ‎【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为 （b，a），属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=　　．‎ ‎【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），‎ ‎∴sin2θ﹣cos2θ=0，‎ ‎∴2sinθcosθ=cos2θ，‎ ‎∵0＜θ＜，∴cosθ≠0．‎ ‎∴2tanθ=1，‎ ‎∴tanθ=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）观察分析下表中的数据：‎ 多面体 面数（F）‎ 顶点数（V）‎ 棱数（E）‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎6‎ ‎10‎ 立方体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是　F+V﹣E=2　．‎ ‎【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．‎ ‎【解答】解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，‎ ‎①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；‎ ‎②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；‎ ‎③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2．‎ 根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2‎ 再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立．‎ 因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2‎ 故答案为：F+V﹣E=2‎ ‎【点评】本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎（不等式选做题）‎ ‎15．（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为　　．‎ ‎【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．‎ ‎【解答】解：由柯西不等式得，‎ ‎（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）‎ ‎∵a2+b2=5，ma+nb=5，‎ ‎∴（m2+n2）≥5‎ ‎∴的最小值为 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎（几何证明选做题）‎ ‎16．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=　3　．‎ ‎【分析】证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，‎ ‎∴∠AEF=∠C，‎ ‎∵∠EAF=∠CAB，‎ ‎∴△AEF∽△ACB，‎ ‎∴，‎ ‎∵BC=6，AC=2AE，‎ ‎∴EF=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎（坐标系与参数方程选做题）‎ ‎17．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是　1　．‎ ‎【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P．‎ 直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0．‎ ‎∴点P到直线的距离d==1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）‎ ‎18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．‎ ‎（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；‎ ‎（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，‎ ‎∴2b=a+c，‎ 利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，‎ ‎∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），‎ ‎∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；‎ ‎（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，‎ ‎∴b2=ac，‎ ‎∴cosB==≥=，‎ 当且仅当a=c时等号成立，‎ ‎∴cosB的最小值为．‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．‎ ‎（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；‎ ‎（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；‎ ‎（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面EFGH的一个法向量，用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，‎ 且侧棱AD⊥底面BDC．‎ 如图，∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD⊂平面ABD，‎ ‎∴AD∥EF．‎ ‎∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC，‎ ‎∴AD∥GH．‎ 由平行公理可得EF∥GH．‎ ‎∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC，‎ ‎∴BC∥FG．‎ ‎∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴BC∥EH．‎ 由平行公理可得FG∥EH．‎ ‎∴四边形EFGH为平行四边形．‎ 又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，‎ ‎∴AD⊥BC，则EF⊥EH．‎ ‎∴四边形EFGH是矩形；‎ ‎（Ⅱ）解：‎ 解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH⊥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH，‎ ‎∴MN⊥平面EFGH，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ，‎ ‎∵△MEH是等腰直角三角形，‎ ‎∴MN=，又MF=AB=，‎ ‎∴sin∠AFN==，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是．‎ 解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 由三视图可知DB=DC=2，DA=1．‎ 又E为AB中点，‎ ‎∴F，G分别为DB，DC中点．‎ ‎∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）．‎ 则．‎ 设平面EFGH的一个法向量为．‎ 由，得，取y=1，得x=1．‎ ‎∴．‎ 则sinθ=|cos＜＞|===．‎ ‎【点评】本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答此题的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．‎ ‎（Ⅰ）若++=，求||；‎ ‎（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；‎ ‎（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m+n，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，‎ ‎∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0‎ ‎∴3x﹣6=0，3y﹣6=0‎ ‎∴x=2，y=2，‎ 即=（2，2）‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），‎ ‎∴，‎ ‎∵=m+n，‎ ‎∴（x，y）=（m+2n，2m+n）‎ ‎∴x=m+2n，y=2m+n ‎∴m﹣n=y﹣x，‎ 令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，‎ 故m﹣n的最大值为1．‎ ‎【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，‎ ‎　‎ ‎21．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：‎ 作物产量（kg）‎ ‎300‎ ‎500‎ 概率 ‎0.5‎ ‎0.5‎ 作物市场价格（元/kg）‎ ‎6‎ ‎10‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，‎ 则P（A）=0.5，P（B）=0.4，‎ ‎∵利润=产量×市场价格﹣成本，‎ ‎∴X的所有值为：‎ ‎500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，‎ ‎300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，‎ 则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，‎ P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，‎ P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，‎ 则X的分布列为：‎ ‎ X ‎4000 ‎ ‎2000 ‎ ‎800 ‎ ‎ P ‎ 0.3‎ ‎ 0.5‎ ‎0.2 ‎ ‎（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），‎ 则C1，C2，C3相互独立，‎ 由（Ⅰ）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），‎ ‎3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，‎ ‎3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2‎ ‎）=3×0.82×0.2=0.384，‎ 综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．‎ ‎【点评】本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（xp，yp），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用•=0，可求得k的值，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．‎ 设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2．‎ ‎∴a=2，b=1．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0）．‎ 易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），‎ 代入C1的方程，整理得：‎ ‎（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）‎ 设点P（xp，yp），‎ ‎∵直线l过点B，‎ ‎∴x=1是方程（*）的一个根，‎ 由求根公式，得xp=，从而yp=，‎ ‎∴点P的坐标为（，）．‎ 同理，由得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），‎ ‎∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），‎ ‎∵AP⊥AQ，∴•=0，即[k﹣4（k+2）]=0，‎ ‎∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．‎ 经检验，k=﹣符合题意，‎ 故直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．‎ ‎【点评】本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查设点法、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．‎ ‎　‎ ‎23．（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．‎ ‎（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；‎ ‎（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．‎ ‎【解答】解：由题设得，‎ ‎（Ⅰ）由已知，‎ ‎，‎ ‎…‎ 可得 下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．‎ ‎②假设n=k时结论成立，即，‎ 那么n=k+1时，=即结论成立．‎ 由①②可知，结论对n∈N+成立．‎ ‎（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．‎ 设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，‎ 当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），‎ ‎∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，‎ 又φ（0）=0，‎ ‎∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．‎ ‎∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）‎ 当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，‎ ‎∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0‎ 即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，‎ 故知ln（1+x）≥不恒成立，‎ 综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．‎ ‎（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，‎ n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），‎ 比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）‎ 证明如下：上述不等式等价于，‎ 在（Ⅱ）中取a=1，可得，‎ 令则 故有，‎ ln3﹣ln2，…‎ ‎，‎ 上述各式相加可得结论得证．‎ ‎【点评】本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．‎ ‎　‎