2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)

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文档介绍

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)

‎2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分)‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则A∩B=(  )‎ A.[1,2) B.[﹣1,1] C.[﹣1,2) D.[﹣2,﹣1]‎ ‎2.(5分)=(  )‎ A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i ‎3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(  )‎ A.f(x)•g(x)是偶函数 B.|f(x)|•g(x)是奇函数 C.f(x)•|g(x)|是奇函数 D.|f(x)•g(x)|是奇函数 ‎4.(5分)已知F为双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(  )‎ A. B.3 C.m D.3m ‎5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则(  )‎ A.3α﹣β= B.3α+β= C.2α﹣β= D.2α+β=‎ ‎9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题:‎ p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2‎ p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3 p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1‎ 其中真命题是(  )‎ A.p2,p3 B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3‎ ‎10.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=(  )‎ A. B.3 C. D.2‎ ‎11.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣2)‎ ‎12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(  )‎ A.6 B.6 C.4 D.4‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分)‎ ‎13.(5分)(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为   .(用数字填写答案)‎ ‎14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,‎ 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;‎ 乙说:我没去过C城市;‎ 丙说:我们三人去过同一城市;‎ 由此可判断乙去过的城市为   .‎ ‎15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为   .‎ ‎16.(5分)已知a,b,c分别为△‎ ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC面积的最大值为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ为常数.‎ ‎(Ⅰ)证明:an+2﹣an=λ ‎(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.‎ ‎18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:‎ ‎(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.‎ ‎(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);‎ ‎(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.‎ 附:≈12.2.‎ 若Z~N(μ,σ2)则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.‎ ‎19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.‎ ‎(Ⅰ)证明:AC=AB1;‎ ‎(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.‎ ‎20.(12分)已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求E的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.‎ ‎21.(12分)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.‎ ‎(Ⅰ)求a、b;‎ ‎(Ⅱ)证明:f(x)>1.‎ ‎ ‎ 选修4-1:几何证明选讲 ‎22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.‎ ‎(Ⅰ)证明:∠D=∠E;‎ ‎(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)‎ ‎(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.‎ ‎(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.‎ ‎ ‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎24.若a>0,b>0,且+=.‎ ‎(Ⅰ)求a3+b3的最小值;‎ ‎(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分)‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则A∩B=(  )‎ A.[1,2) B.[﹣1,1] C.[﹣1,2) D.[﹣2,﹣1]‎ ‎【分析】求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集即可.‎ ‎【解答】解:由A中不等式变形得:(x﹣3)(x+1)≥0,‎ 解得:x≥3或x≤﹣1,即A=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),‎ ‎∵B=[﹣2,2),‎ ‎∴A∩B=[﹣2,﹣1].‎ 故选:D.‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)=(  )‎ A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i ‎【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.‎ ‎【解答】解:==﹣(1+i)=﹣1﹣i,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(  )‎ A.f(x)•g(x)是偶函数 B.|f(x)|•g(x)是奇函数 C.f(x)•|g(x)|是奇函数 D.|f(x)•g(x)|是奇函数 ‎【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,‎ ‎∴f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),‎ f(﹣x)•g(﹣x)=﹣f(x)•g(x),故函数是奇函数,故A错误,‎ ‎|f(﹣x)|•g(﹣x)=|f(x)|•g(x)为偶函数,故B错误,‎ f(﹣x)•|g(﹣x)|=﹣f(x)•|g(x)|是奇函数,故C正确.‎ ‎|f(﹣x)•g(﹣x)|=|f(x)•g(x)|为偶函数,故D错误,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)已知F为双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(  )‎ A. B.3 C.m D.3m ‎【分析】双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可得结论.‎ ‎【解答】解:双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)可化为,‎ ‎∴一个焦点为(,0),一条渐近线方程为=0,‎ ‎∴点F到C的一条渐近线的距离为=.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况,利用古典概型概率公式求解即可.‎ ‎【解答】解:4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有24=16种情况,‎ 周六、周日都有同学参加公益活动,共有24﹣2=16﹣2=14种情况,‎ ‎∴所求概率为=.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】‎ 在直角三角形OMP中,求出OM,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确选择.‎ ‎【解答】解:在直角三角形OMP中,OP=1,∠POM=x,则OM=|cosx|,‎ ‎∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)=OM|sinx|‎ ‎=|cosx|•|sinx|=|sin2x|,‎ 其周期为T=,最大值为,最小值为0,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时考查二倍角公式的运用.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出M的值.‎ ‎【解答】解:由程序框图知:第一次循环M=1+=,a=2,b=,n=2;‎ 第二次循环M=2+=,a=,b=,n=3;‎ 第三次循环M=+=,a=,b=,n=4.‎ 不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M=.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则(  )‎ A.3α﹣β= B.3α+β= C.2α﹣β= D.2α+β=‎ ‎【分析】化切为弦,整理后得到sin(α﹣β)=cosα,由该等式左右两边角的关系可排除选项A,B,然后验证C满足等式sin(α﹣β)=cosα,则答案可求.‎ ‎【解答】解:由tanα=,得:‎ ‎,‎ 即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα,‎ sin(α﹣β)=cosα=sin(),‎ ‎∵α∈(0,),β∈(0,),‎ ‎∴当时,sin(α﹣β)=sin()=cosα成立.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简求值,训练了利用排除法及验证法求解选择题,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题:‎ p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2‎ p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3 p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1‎ 其中真命题是(  )‎ A.p2,p3 B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3‎ ‎【分析】作出不等式组的表示的区域D,对四个选项逐一分析即可.‎ ‎【解答】解:作出图形如下:‎ 由图知,区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域,‎ p1:区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方,故:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2成立;‎ p2:在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内,∃(x,y)∈D,x+2y≥2,故p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2正确;‎ p3:由图知,区域D有部分在直线x+2y=3的上方,因此p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3错误; ‎ p4:x+2y≤﹣1的区域(左下方的虚线区域)恒在区域D下方,故p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1错误;‎ 综上所述,p1、p2正确;‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查作图能力,熟练作图,正确分析是关键,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=(  )‎ A. B.3 C. D.2‎ ‎【分析】求得直线PF的方程,与y2=8x联立可得x=1,利用|QF|=d可求.‎ ‎【解答】解:设Q到l的距离为d,则|QF|=d,‎ ‎∵=4,‎ ‎∴|PQ|=3d,‎ ‎∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2,‎ ‎∵F(2,0),‎ ‎∴直线PF的方程为y=﹣2(x﹣2),‎ 与y2=8x联立可得x=1,‎ ‎∴|QF|=d=1+2=3,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣2)‎ ‎【分析】由题意可得f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1;分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=ax3﹣3x2+1,‎ ‎∴f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1;‎ ‎①当a=0时,f(x)=﹣3x2+1有两个零点,不成立;‎ ‎②当a>0时,f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上有零点,故不成立;‎ ‎③当a<0时,f(x)=ax3﹣3x2+1在(0,+∞)上有且只有一个零点;‎ 故f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上没有零点;‎ 而当x=时,f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上取得最小值;‎ 故f()=﹣3•+1>0;‎ 故a<﹣2;‎ 综上所述,‎ 实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2);‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用,同时考查了函数的零点的判定的应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(  )‎ A.6 B.6 C.4 D.4‎ ‎【分析】画出图形,结合三视图的数据求出棱长,推出结果即可.‎ ‎【解答】解:几何体的直观图如图:AB=4,BD=4,C到BD的中点的距离为:4,‎ ‎∴.AC==6,AD=4,‎ 显然AC最长.长为6.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长,考查计算能力.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分)‎ ‎13.(5分)(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 ﹣20 .(用数字填写答案)‎ ‎【分析】由题意依次求出(x+y)8中xy7,x2y6,项的系数,求和即可.‎ ‎【解答】解:(x+y)8的展开式中,含xy7的系数是:8.‎ 含x2y6的系数是28,‎ ‎∴(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为:8﹣28=﹣20.‎ 故答案为:﹣20‎ ‎【点评】本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,‎ 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;‎ 乙说:我没去过C城市;‎ 丙说:我们三人去过同一城市;‎ 由此可判断乙去过的城市为 A .‎ ‎【分析】可先由乙推出,可能去过A城市或B城市,再由甲推出只能是A,B中的一个,再由丙即可推出结论.‎ ‎【解答】解:由乙说:我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,‎ 但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,‎ 再由丙说:我们三人去过同一城市,‎ 则由此可判断乙去过的城市为A.‎ 故答案为:A.‎ ‎【点评】本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为 90° .‎ ‎【分析】根据向量之间的关系,利用圆直径的性质,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:在圆中若=(+),‎ 即2=+,‎ 即+的和向量是过A,O的直径,‎ 则以AB,AC为邻边的四边形是矩形,‎ 则⊥,‎ 即与的夹角为90°,‎ 故答案为:90°‎ ‎【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算,利用圆直径的性质是解决本题的关键,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC面积的最大值为  .‎ ‎【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc,结合余弦定理可求A的值,由基本不等式可求bc≤4,再利用三角形面积公式即可计算得解.‎ ‎【解答】解:因为:(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC ‎⇒(2+b)(a﹣b)=(c﹣b)c ‎⇒2a﹣b2=c2﹣bc,‎ 又因为:a=2,‎ 所以:,‎ ‎△ABC面积,‎ 而b2+c2﹣a2=bc ‎⇒b2+c2﹣bc=a2‎ ‎⇒b2+c2﹣bc=4‎ ‎⇒bc≤4‎ 所以:,即△ABC面积的最大值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ为常数.‎ ‎(Ⅰ)证明:an+2﹣an=λ ‎(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用anan+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,相减即可得出;‎ ‎(Ⅱ)对λ分类讨论:λ=0直接验证即可;λ≠0,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.可得λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d,.得到λSn=,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ即可.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:∵anan+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,‎ ‎∴an+1(an+2﹣an)=λan+1‎ ‎∵an+1≠0,‎ ‎∴an+2﹣an=λ.‎ ‎(Ⅱ)解:①当λ=0时,anan+1=﹣1,假设{an}为等差数列,设公差为d.‎ 则an+2﹣an=0,∴2d=0,解得d=0,‎ ‎∴an=an+1=1,‎ ‎∴12=﹣1,矛盾,因此λ=0时{an}不为等差数列.‎ ‎②当λ≠0时,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.‎ 则λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d,‎ ‎∴.‎ ‎∴,,‎ ‎∴λSn=1+=,‎ 根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ=4.‎ 此时可得,an=2n﹣1.‎ 因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.‎ ‎【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:‎ ‎(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.‎ ‎(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);‎ ‎(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.‎ 附:≈12.2.‎ 若Z~N(μ,σ2)则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.‎ ‎【分析】(Ⅰ)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出;‎ ‎(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而求出P(187.8<Z<212.2),注意运用所给数据;‎ ‎(ii)由(i)知X~B(100,0.6826),运用EX=np即可求得.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为:‎ ‎=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,‎ s2=(﹣30)2×0.02+(﹣20)2×0.09+(﹣10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.‎ ‎(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200﹣12.2<Z<200+12.2)=0.6826;‎ ‎(ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,‎ 依题意知X~B(100,0.6826),所以EX=100×0.6826=68.26.‎ ‎【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差,以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.‎ ‎(Ⅰ)证明:AC=AB1;‎ ‎(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.‎ ‎【分析】(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,可证B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10=CO,进而可得AC=AB1;‎ ‎(2)以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量,可得所求余弦值.‎ ‎【解答】解:(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,‎ ‎∵侧面BB1C1C为菱形,‎ ‎∴BC1⊥B1C,且O为BC1和B1C的中点,‎ 又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,‎ ‎∵AO⊂平面ABO,∴B1C⊥AO,‎ 又B10=CO,∴AC=AB1,‎ ‎(2)∵AC⊥AB1,且O为B1C的中点,∴AO=CO,‎ 又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,‎ ‎∴OA,OB,OB1两两垂直,‎ 以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,‎ 的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,‎ ‎∵∠CBB1=60°,∴△CBB1为正三角形,又AB=BC,‎ ‎∴A(0,0,),B(1,0,0,),B1(0,,0),C(0,,0)‎ ‎∴=(0,,),==(1,0,),==(﹣1,,0),‎ 设向量=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,‎ 则,可取=(1,,),‎ 同理可得平面A1B1C1的一个法向量=(1,﹣,),‎ ‎∴cos<,>==,‎ ‎∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为 ‎【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题,建立坐标系是解决问题的关键,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求E的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)通过离心率得到a、c关系,通过A求出a,即可求E的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l:y=kx﹣2,设P(x1,y1),Q(x2,y2)将y=kx﹣2代入,利用△>0,求出k的范围,利用弦长公式求出|PQ|,然后求出△OPQ的面积表达式,利用换元法以及基本不等式求出最值,然后求解直线方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ) 设F(c,0),由条件知,得=又,‎ 所以a=2=,b2=a2﹣c2=1,故E的方程.….(5分)‎ ‎(Ⅱ)依题意当l⊥x轴不合题意,故设直线l:y=kx﹣2,设P(x1,y1),Q(x2,y2)‎ 将y=kx﹣2代入,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,‎ 当△=16(4k2﹣3)>0,即时,‎ 从而=+ 又点O到直线PQ的距离,所以△OPQ的面积=,‎ 设,则t>0,,‎ 当且仅当t=2,k=±等号成立,且满足△>0,‎ 所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为:y=x﹣2或y=﹣x﹣2.…(12分)‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的求法,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.‎ ‎(Ⅰ)求a、b;‎ ‎(Ⅱ)证明:f(x)>1.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出定义域,导数f′(x),根据题意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣,设函数g(x)=xlnx,函数h(x)=,只需证明g(x)min>h(x)max,利用导数可分别求得g(x)min,h(x)max;‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ f′(x)=+,‎ 由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,‎ 故a=1,b=2;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=exlnx+,‎ ‎∵f(x)>1,∴exlnx+>1,∴lnx>﹣,‎ ‎∴f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣,设函数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx,‎ ‎∴当x∈(0,)时,g′(x)<0;当x∈(,+∞)时,g′(x)>0.‎ 故g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g()=﹣.‎ 设函数h(x)=xe﹣x﹣,则h′(x)=e﹣x(1﹣x).‎ ‎∴当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,‎ 故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,‎ 从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=﹣.‎ 综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.‎ ‎【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想,考查学生分析解决问题的能力.‎ ‎ ‎ 选修4-1:几何证明选讲 ‎22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.‎ ‎(Ⅰ)证明:∠D=∠E;‎ ‎(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由CB=CE,可得∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E;‎ ‎(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,证明AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠‎ A=∠E,即可证明△ADE为等边三角形.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,‎ ‎∴∠D=∠CBE,‎ ‎∵CB=CE,‎ ‎∴∠E=∠CBE,‎ ‎∴∠D=∠E;‎ ‎(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,‎ ‎∴O在直线MN上,‎ ‎∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,‎ ‎∴OM⊥AD,‎ ‎∴AD∥BC,‎ ‎∴∠A=∠CBE,‎ ‎∵∠CBE=∠E,‎ ‎∴∠A=∠E,‎ 由(Ⅰ)知,∠D=∠E,‎ ‎∴△ADE为等边三角形.‎ ‎【点评】本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)‎ ‎(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.‎ ‎(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|‎ 的最大值与最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以 sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,‎ 故曲线C的参数方程为,(θ为参数).‎ 对于直线l:,‎ 由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;‎ ‎(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).‎ P到直线l的距离为.‎ 则,其中α为锐角.‎ 当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.‎ 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.‎ ‎【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.‎ ‎ ‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎24.若a>0,b>0,且+=.‎ ‎(Ⅰ)求a3+b3的最小值;‎ ‎(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥2,再利用基本不等式求得a3+b3的最小值.‎ ‎(Ⅱ)根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b>‎ ‎8,从而可得不存在a,b,使得2a+3b=6.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且+=,‎ ‎∴=+≥2,∴ab≥2,‎ 当且仅当a=b=时取等号.‎ ‎∵a3+b3 ≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,‎ ‎∴a3+b3的最小值为4.‎ ‎(Ⅱ)∵2a+3b≥2=2,当且仅当2a=3b时,取等号.‎ 而由(1)可知,2≥2=4>6,‎ 故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.‎ ‎【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题.‎ ‎ ‎
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