2007年海南省高考数学试卷(理)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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2007年海南省高考数学试卷(理)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

‎2007年海南省高考数学试卷(理)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 已知命题p:∀x∈R,sinx≤1‎,则(        )‎ A.‎¬p:∃x∉R,sinx>1‎ B.‎¬p:∀x∈R,‎sinx≥1‎ C.‎¬p:∃x∈R,sinx>1‎ D.‎¬p:∀x∈R,‎sinx>1‎ ‎2. 已知平面向量a‎→‎‎=(1,1),b‎→‎=(1,-1)‎,则向量‎1‎‎2‎a‎→‎‎-‎3‎‎2‎b‎→‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎(-2, -1)‎ B.‎(-1, 2)‎ C.‎(-1, 0)‎ D.‎‎(-2, 1)‎ ‎3. 函数y=sin(2x-π‎3‎)‎在区间‎[-π‎2‎,π]‎的简图是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4. 已知‎{an}‎是等差数列,a‎10‎=‎10‎,其前‎10‎项和S‎10‎=‎70‎,则其公差d=( )‎ A.‎-‎‎2‎‎3‎ B.‎-‎‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎5. 如果执行程序框图,那么输出的S=(‎ ‎‎)‎ A.‎2450‎ B.‎2500‎ C.‎2550‎ D.‎‎2652‎ ‎6. 已知抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎的焦点为F,点P‎1‎‎(x‎1‎, y‎1‎)‎,P‎2‎‎(x‎2‎, y‎2‎)‎,P‎3‎‎(x‎3‎, y‎3‎)‎在抛物线上,且‎2x‎2‎=x‎1‎+‎x‎3‎,则有( )‎ A.‎|FP‎1‎|+|FP‎2‎|=|FP‎3‎|‎ B.‎‎|FP‎1‎‎|‎‎2‎+|FP‎2‎‎|‎‎2‎=|FP‎3‎‎|‎‎2‎ C.‎2|FP‎2‎|=|FP‎1‎|+|FP‎3‎|‎ D.‎‎|FP‎2‎‎|‎‎2‎=|FP‎1‎|⋅|FP‎3‎|‎ ‎7. 已知x>0‎,y>0‎,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则‎(a+b‎)‎‎2‎cd的最小值为(        )‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎4‎ ‎8. 已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是(        )‎ A.‎4000‎‎3‎cm‎3‎ B.‎8000‎‎3‎cm‎3‎ C.‎2000cm‎3‎ D.‎‎4000cm‎3‎ ‎ 7 / 7‎ ‎9. 若cos2αsin(α-π‎4‎)‎‎=-‎‎2‎‎2‎,则cosα+sinα的值为( )‎ A.‎-‎‎7‎‎2‎ B.‎-‎‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎7‎‎2‎ ‎10. 曲线y=‎ex在点‎(2, e‎2‎)‎处的切线与坐标轴所围三角形的面积为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎9‎‎4‎e‎2‎ B.‎2‎e‎2‎ C.e‎2‎ D.‎e‎2‎‎2‎ ‎11. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭‎20‎次,三人的测试成绩如下表,s‎1‎,s‎2‎,s‎3‎分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )‎ 甲的成绩 环数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ 乙的成绩 环数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ 丙的成绩 环数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎4‎ A.s‎3‎‎>s‎1‎>‎s‎2‎ B.s‎2‎‎>s‎1‎>‎s‎3‎ C.s‎1‎‎>s‎2‎>‎s‎3‎ D.‎s‎2‎‎>s‎3‎>‎s‎1‎ ‎12. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h‎1‎,h‎2‎,h,则h‎1‎‎:h‎2‎:h=(‎ ‎‎)‎ A.‎3‎‎:1:1‎ B.‎3‎‎:2:2‎ C.‎3‎‎:2:‎‎2‎ D.‎‎3‎‎:2:‎‎3‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分15分)‎ ‎13. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为‎2‎,焦点到渐近线的距离为‎6‎,则该双曲线的离心率为________.‎ ‎14. 设函数f(x)=‎‎(x+1)(x+a)‎x为奇函数,则a=________.‎ ‎15. i是虚数单位,‎-5+10i‎3+4i‎=‎________.(用a+bi的形式表示,a,b∈R)‎ ‎16. 某校安排‎5‎个班到‎4‎个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17. 如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得‎∠BCD=α,‎∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.‎ ‎18. 如图,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,‎∠BAC=‎90‎‎∘‎,O为BC ‎ 7 / 7‎ 中点.‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎证明:SO⊥‎平面ABC;‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎求二面角A-SC-B的余弦值.‎ ‎19. 在平面直角坐标系xOy中,经过点‎(0,‎2‎)‎且斜率为k的直线l与椭圆x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎有两个不同的交点P和Q.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量OP‎→‎‎+‎OQ‎→‎与AB‎→‎共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.‎ ‎20. 如图,面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计M的面积:在正方形ABCD中随机投掷n个点,若n个点中有m个点落入M中,则M的面积的估计值为mnS.假设正方形ABCD的边长为‎2‎,M的面积为‎1‎,并向正方形ABCD中随机投掷‎10000‎个点,以X表示落入M中的点的数目.‎ ‎(I)‎求X的均值EX;‎ ‎(II)‎求用以上方法估计M的面积时,M的面积的估计值与实际值之差在区间‎(-0.03, 0.03)‎内的概率.‎ 附表:‎P(k)=t=0‎kC‎10000‎t×‎0.25‎t×‎‎0.75‎‎10000-t K ‎2424‎ ‎2425‎ ‎2574‎ ‎2575‎ P(k)‎ ‎0.0403‎ ‎0.0423‎ ‎0.9570‎ ‎0.9590‎ ‎ 7 / 7‎ ‎21. 设函数f(x)=ln(x+a)+‎x‎2‎ ‎(1)若当x=-1‎时,f(x)‎取得极值,求a的值,并讨论f(x)‎的单调性;‎ ‎(2)若f(x)‎存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于lne‎2‎.‎ ‎22. 如图,已知AP是‎⊙O的切线,P为切点,AC是‎⊙O的割线,与‎⊙O交于B,C两点,圆心O在‎∠PAC的内部,点M是BC的中点.‎ ‎(1)证明A,P,O,M四点共圆;‎ ‎(2)求‎∠OAM+∠APM的大小.‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年海南省高考数学试卷(理)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.A ‎4.D ‎5.C ‎6.C ‎7.D ‎8.B ‎9.C ‎10.D ‎11.B ‎12.B 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分15分)‎ ‎13.‎‎3‎ ‎14.‎‎-1‎ ‎15.‎‎1+2i ‎16.‎‎240‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.解:在‎△BCD中,‎∠CBD=π-α-β.‎ 由正弦定理得BCsin∠BDC‎=‎CDsin∠CBD.‎ 所以BC=CDsin∠BDCsin∠CBD=‎s⋅sinβsin(α+β)‎.‎ 在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=‎s⋅tanθsinβsin(α+β)‎.‎ ‎18.证明:‎ ‎(1)由题设AB=AC=SB=SC=SA,连接OA,‎△ABC为等腰直角三角形,‎ 所以OA=OB=OC=‎2‎‎2‎SA,且AO⊥BC,‎ 又‎△SBC为等腰三角形,故SO⊥BC,‎ 且SO=‎2‎‎2‎SA,从而OA‎2‎+SO‎2‎=SA‎2‎.‎ 所以‎△SOA为直角三角形,SO⊥AO.‎ 又AO∩BO=O.‎ 所以SO⊥‎平面ABC.‎ ‎(2)以O为坐标原点,射线OB,OA分别为x轴、y轴的正半轴,‎ 建立如图的空间直角坐标系O-xyz.‎ 设B(1, 0, 0)‎,则C(-1, 0, 0)‎,A(0, 1, 0)‎,S(0, 0, 1)‎.SC的中点M(-‎1‎‎2‎,0,‎1‎‎2‎)‎,MO‎→‎‎=(‎1‎‎2‎,0,-‎1‎‎2‎),MA‎→‎=(‎1‎‎2‎,1,-‎1‎‎2‎),SC‎→‎=(-1,0,-1)‎.∴ MO‎→‎‎⋅SC‎→‎=0,MA‎→‎⋅SC‎→‎=0‎.‎ 故MO⊥SC,MA⊥SC,‎等于二面角A-SC-B的平面角.‎ cos=MO‎→‎‎⋅‎MA‎→‎‎|MO‎→‎|⋅|MA‎→‎|‎=‎‎3‎‎3‎‎,‎ 所以二面角A-SC-B的余弦值为‎3‎‎3‎.‎ ‎19.解:(1)由已知条件,直线l的方程为y=kx+‎‎2‎,‎ 代入椭圆方程得x‎2‎‎2‎‎+(kx+‎2‎‎)‎‎2‎=1‎.‎ ‎ 7 / 7‎ 整理得‎(‎1‎‎2‎+k‎2‎)x‎2‎+2‎2‎kx+1=0‎①‎ 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q,等价于①的判别式‎△=8k‎2‎-4(‎1‎‎2‎+k‎2‎)=4k‎2‎-2>0‎,‎ 解得k<-‎‎2‎‎2‎或k>‎‎2‎‎2‎.即k的取值范围为‎(-∞,-‎2‎‎2‎)∪(‎2‎‎2‎,+∞)‎.‎ ‎(2)设P(x‎1‎, y‎1‎)‎,Q(x‎2‎, y‎2‎)‎,则OP‎→‎‎+OQ‎→‎=(x‎1‎+x‎2‎,y‎1‎+y‎2‎)‎,‎ 由方程①,x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎4‎2‎k‎1+2‎k‎2‎. ②‎ 又y‎1‎‎+y‎2‎=k(x‎1‎+x‎2‎)+2‎‎2‎. ③‎ 而A(‎2‎,0),B(0,1),AB‎→‎=(-‎2‎,1)‎.‎ 所以OP‎→‎‎+‎OQ‎→‎与AB‎→‎共线等价于x‎1‎‎+x‎2‎=-‎2‎(y‎1‎+y‎2‎)‎,‎ 将②③代入上式,解得k=‎‎2‎‎2‎.‎ 由(1)知k<-‎‎2‎‎2‎或k>‎‎2‎‎2‎,‎ 故没有符合题意的常数k.‎ ‎20.解:‎(1)‎∵ 每个点落入M中的概率均为p=‎‎1‎‎4‎.‎ 依题意知X∼B(10000,‎1‎‎4‎)‎.‎ EX=10000×‎1‎‎4‎=2500‎‎.‎ ‎(II)‎依题意所求概率为P(-0.030‎;‎ 当‎-1-‎‎1‎‎2‎时,f‎'‎‎(x)>0‎.‎ 从而,f(x)‎分别在区间‎(-‎3‎‎2‎,-1),(-‎1‎‎2‎,+∞)‎单调增加,在区间‎(-1,-‎1‎‎2‎)‎单调减少.‎ ‎(2)f(x)‎的定义域为‎(-a, +∞)‎,f'(x)=‎‎2x‎2‎+2ax+1‎x+a.‎ 方程‎2x‎2‎+2ax+1=0‎的判别式‎△=4a‎2‎-8‎.‎ ‎(1)若‎△<0‎,即‎-‎2‎0‎,故f(x)‎无极值.‎ ‎(2)若‎△=0‎,则a=‎‎2‎或a=-‎‎2‎.‎ 若a=‎‎2‎,x∈(-‎2‎,+∞)‎,f'(x)=‎‎(‎2‎x+1‎‎)‎‎2‎x+‎‎2‎.‎ 当x=‎‎2‎‎2‎时,f‎'‎‎(x)=0‎,‎ 当x∈(-‎2‎,‎2‎‎2‎)∪(‎2‎‎2‎,+∞)‎时,f‎'‎‎(x)>0‎,所以f(x)‎无极值.‎ 若a=-‎‎2‎,x∈(‎2‎,+∞)‎,f'(x)=‎(‎2‎x-1‎‎)‎‎2‎x-‎‎2‎>0‎,f(x)‎也无极值.‎ ‎(3)若‎△>0‎,即a>‎‎2‎或a<-‎‎2‎,则‎2x‎2‎+2ax+1=0‎有两个不同的实根x‎1‎‎=‎‎-a-‎a‎2‎‎-2‎‎2‎,x‎2‎‎=‎‎-a+‎a‎2‎‎-2‎‎2‎.‎ 当a<-‎‎2‎时,x‎1‎‎<-a,x‎2‎‎<-a,从而f‎'‎‎(x)‎在f(x)‎的定义域内没有零点,‎ 故f(x)‎无极值.‎ 当a>‎‎2‎时,x‎1‎‎>-a,x‎2‎‎>-a,f‎'‎‎(x)‎在f(x)‎的定义域内有两个不同的零点,‎ 由根值判别方法知f(x)‎在x=‎x‎1‎,x=‎x‎2‎取得极值.‎ 综上,f(x)‎存在极值时,a的取值范围为‎(‎2‎,+∞)‎.‎ ‎ 7 / 7‎ 由于x‎1‎‎+x‎2‎=-a,x‎1‎x‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎,‎ 则f(x)‎的极值之和为f(x‎1‎)+f(x‎2‎)=ln(x‎1‎+a)+x‎1‎‎2‎+ln(x‎2‎+a)+x‎2‎‎2‎=ln‎1‎‎2‎+a‎2‎-1>1-ln2=lne‎2‎.‎ ‎22.证明:(1)连接OP,OM.‎ 因为AP与‎⊙O相切于点P,所以OP⊥AP.‎ 因为M是‎⊙O的弦BC的中点,所以OM⊥BC.‎ 于是‎∠OPA+∠OMA=‎‎180‎‎∘‎.‎ 由圆心O在‎∠PAC的内部,可知四边形M的对角互补,‎ 所以A,P,O,M四点共圆.‎ 解:‎ ‎(2)由(1)得A,P,O,M四点共圆,所以‎∠OAM=∠OPM.‎ 由(1)得OP⊥AP.‎ 由圆心O在‎∠PAC的内部,可知‎∠OPM+∠APM=‎‎90‎‎∘‎.‎ 又∵ A,P,O,M四点共圆 ‎∴ ‎‎∠OPM=∠OAM 所以‎∠OAM+∠APM=‎‎90‎‎∘‎.‎ ‎ 7 / 7‎
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