湖南省娄底市双峰县双峰第一中学2020届高三模拟考试数学(文)(五)试卷

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湖南省娄底市双峰县双峰第一中学2020届高三模拟考试数学(文)(五)试卷

湖南省娄底市双峰县双峰第一中学2020届高三模拟考试数学(文)(五)试卷 文科数学 测试范围:学科内综合.共150分,考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.设,,,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数满足,其中为虚数单位,则复数的共轭复数所对应的点位于 ( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知幂函数是定义在区间上的奇函数,设,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知双曲线的两个实轴顶点为,点为虚轴顶点,且,则双曲线的离心率的范围为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.2016年五一期间,各大网站纷纷推出各种“优惠劵”.在此期间,小明同学对本小区某居民楼的20名住户在假期期间抢得“优惠劵”的数量进行调查得到如下表格 抢得“优惠劵”数量(个)‎ 人数 ‎2‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎3‎ 则该小区50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为( )‎ A.30 B.1500 C.26 D.1300‎ ‎6.已知向量,函数在区间上单调,且的最大值是,则 ( )‎ A.2 B. C. D.1‎ ‎7.如图所示的程序框图,若输入的,则输出的 ( )‎ A.10 B.11 C.12 D.13‎ ‎8.设是的对角线的交点,三角形的高为2,为任意一点,则 ‎ ( )‎ A.6 B.16 C.24 D.48‎ ‎9.设满足约束条件,则的取值范围为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.设函数,且,则不等式的解集为 ( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 11. 如图,已知六个直角边均为1和的直角三角形围成的两个正六边形,则该图形绕着旋转一周得到的几何体的体积为 ( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎12.已知函数满足,且时,,又,则函数在区间上零点的个数为 ( )‎ A.2015 B.2016 C.2017 D.2018‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.)‎ ‎13.已知抛物线,是上的一点,若焦点关于的对称点落在轴上,则 .‎ ‎14.南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系,由多面体体积公式导出相应的垛积术公式.例如方亭(正四梭台)体积为 其中为上底边长,为下底边长,为高.杨辉利用沈括隙积术的基础上想到:若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛,上底由个球组成,以下各层的长、宽依次各增加一个球,共有层,最下层(即下底)由个球组成,杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下:根据以上材料,我们可得 .‎ ‎15.某一几何体三视图如图所示,已知几何体的体积为,则俯视图的面积为 .‎ ‎16.已知数列满足,且,记数列的前项和为,若不等式 对任意都成立,则实数的最大值为 .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)在中,分别是的中点,,且.‎ ‎(1)求的面积;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎18.(12分)京剧是我国的国粹,是“国家级非物质文化遗产”,为纪念著名京剧表演艺术家,京剧艺术大师梅兰芳先生,某电视台《我爱京剧》的一期比赛中,2位“梅派”传人和4位京剧票友(资深业余爱好者)在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段,假设6位演员的演唱水平相当,由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.‎ ‎(1)此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查,根据调查得到的数据如下:‎ 京剧票友 一般爱好者 合计 ‎50岁以上 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎50岁以下 ‎3‎ ‎12‎ ‎15‎ 合计 ‎18‎ ‎22‎ ‎40‎ 试问:在犯错误的概率不超过多少的前提下,可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系?‎ ‎(2)若在一轮中演唱中,每次猜出3位亮相,求至少1位是“梅派”传人”的概率.‎ 参考数据:‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式:‎ ‎19.(12分)在如图(1)梯形中,,‎ 过作于,,沿翻折后得图(2),使得,又点满足,连接,且.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求三棱锥外接球的体积.‎ ‎20.(12分)已知椭圆的左、右焦点为,左右两顶点,点为椭圆上任意一点,满足直线的斜率之积为,且的最大值为4.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若直线与过点且与轴垂直的直线交于点,过点作,垂足分别为两点,求证:.‎ ‎21.(12分)已知函数.‎ ‎(1)若曲线在处的切线与直线垂直,求的值;‎ ‎(2)当且时,函数的图象总在直线的下方,求实数的取值范围.‎ 请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22.(10分)选修4—4坐标系与参数方程 已知直线的普通方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的参数方程为,将直线向右平移2个单位后得到直线,又点的极坐标.‎ ‎(1)求直线以及曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线交于两点,求三角形的面积值.‎ ‎23.(10分)选修4—5不等式选讲 已知函数 ‎(1)若,求不等式的解集;‎ ‎(2)当时,若的最小值为2,求的最小值.‎ 文科数学答案与解析 ‎1.【答案】B【解析】因为,所以.‎ ‎2.【答案】C【解析】由得,所以,所以对应的点在第三象限.‎ ‎3.【答案】A【解析】因为幂函数在区间上是奇函数,所以,‎ 即,因为,又为增函数,所以.‎ ‎4.【答案】A【解析】根据题意,,所以为钝角,所以,所以.‎ ‎5.【答案】D【解析】由数据可知四个组的频率分别为,所以每一人抢得“优惠劵”的平均数为所以该班50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为个.故选D.‎ ‎6.【答案】D【解析】‎ ‎,由题意:,,,即,所以.‎ ‎7.【答案】C【解析】输入的,程序框图运行如下:‎ ‎,;,;‎ ‎,;,;‎ ‎,;‎ ‎,;‎ ‎,;所以输出的 ‎8.【答案】B【解析】因为,在向量的射影为,所以.‎ ‎9.【答案】A【解析】由约束条件作出可行域如图,‎ 令,则表示点和两点的距离,由图可得,,联立,解得,所以 过作于,则,故 ‎10.【答案】A【解析】,即,解得.‎ 故,可以判断函数为增函数,所以,‎ 所以解集为.‎ ‎11.【答案】B【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为,内部的六边形旋转得到的几何体的体积为,所以几何体的体积为.‎ ‎12.【答案】C【解析】,所以的一个周期为2,当时,,所以,所以,‎ 的最大值为1,与的图象如下:‎ 在区间内有一个根,在内有1008个周期,每个周期内均有2个根,所以共有2017个零点 .‎ ‎13.【答案】6【解析】根据题意,为的中点,所以的横坐标为,所以.‎ ‎14.【答案】【解析】观察规律令,可得.‎ ‎15.【答案】【解析】这个几何体为一个四棱锥,直观图如右图,‎ 设四棱锥的高为,几何体的体积为,‎ 即点到平面的距离为,俯视图为一个正三角形,‎ 边长为2,所以俯视图的面积为,‎ ‎16.【答案】2【解析】根据题意得,‎ ‎ ;‎ 所以,,‎ 当时,单调递增,所以,故.‎ ‎17.【解析】‎ ‎(1),‎ ‎;(4分)‎ 又,所以,所以的面积为.(6分)‎ ‎(2)根据题意,画出图形,如图所示:‎ 又点分别为的中点,则,(7分)‎ 所以在中,由余弦定理得 ‎,‎ ‎,(9分)‎ 所以.(12分)‎ ‎18.【解析】‎ ‎(1)因为,(3分)‎ 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.(5分)‎ (2) 记4位票友为,2位“梅派”传人”为,则从中选出3位的所有结果有 共20种,(8分)‎ 其中至少1位是“梅派”传人”的结果为 ‎,.(10分)‎ 有16种,所以满足条件的概率为.(12分)‎ ‎19.【解析】‎ ‎(1)连接与交于点,,则 ‎,,(2分)‎ 又平面,平面,平面.(4分)‎ ‎(2)证明:由,得四边形为平行四边形,‎ 所以,,所以,‎ 所以,(6分)‎ 又,所以平面,所以,‎ 又,平面.(8分)‎ 以为棱,构造长方体,所以长方体外接球与三棱锥的外接球相同,所以外接球的直径为,(11分)‎ 所以球的体积为.(12分)‎ ‎20.【解析】‎ ‎(1)根据题意,(1分)‎ 又设,所以,所以,(3分)‎ 故,从而椭圆的标准方程为.(4分)‎ ‎(2)证明:设直线,则:,的中点为为,‎ 联立,消去整理得:‎ 设,由韦达定理得:,‎ 解得:,故有:,(7分)‎ 又,所以当时,,,此时轴,‎ 所以四边形为矩形,所以,所以.(8分)‎ 当时,,所以直线,‎ 即:,‎ 所以点到直线的距离,(10分)‎ 而,即知:,所以以为直径的圆与直线相切,‎ 所以四边形为直角梯形,的中点为,‎ 所以.(12分)‎ ‎21.【解析】‎ ‎(1)依题意,,故,‎ 则,解得;(3分)‎ ‎(2)依题意,当时,,‎ 即,令,‎ 下面证明在恒成立;先分析函数在上的单调性;‎ ‎;令;‎ 当时,图象开口向下,在上有两个零点1和,‎ ‎①当时,,此时,在上单调递减;‎ ‎②当时,,此时当,可得;‎ ‎,可得或.‎ 在上单调递增;在,上单调递减.‎ ‎③当时,,此时当,可得;‎ ‎,可得或.‎ 在上单调递增;在,上单调递减;‎ 因为函数过点,且当时,在为减函数,‎ ‎,符合题意.‎ 当时,在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎,不符合题意,舍去.综上所述,的取值范围为.(12分)‎ ‎22.【解析】‎ ‎(1)直线的普通方程为,直线的极坐标方程,(3分)‎ 曲线的普通方程,‎ 所以.(5分)‎ ‎(2)由(1)得,所以,(8分)‎ 点到直线的距离为,所以.(10分)‎ ‎23.【解析】‎ ‎(1)根据题意,‎ ‎,(3分)‎ 解,或,得或,‎ 所以解集为.(5分)‎ ‎(2)因为,‎ 当且仅当时,等号成立,(8分)‎ 又,所以,‎ 所以的最小值为,所以.所以 ‎.(10分)3‎
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