- 2021-06-30 发布 |
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文档介绍
专题16+数列的通项公式的求解方法-名师揭秘2019年高考数学(文)命题热点全覆盖
一.【学习目标】 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数. 3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项. 4.会用数列的递推关系求其通项公式. 二.【方法总结】 1.利用通项公式,应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一,应善于运用函数观点认识数列,用函数的图象与性质研究数列性质. 练习1. 已知数列满足,,则数列的前40项的和为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【方法总结】:这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法有,裂项求和,主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项;分组求和,用于相邻两项之和是定值,或者有规律的;错位相减求和,用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。 练习2. 数列满足,且对于任意的都有,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【方法总结】:数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的. 练习3. 已知数列满足, ,若,则数列的通项( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】, , , 则,数列是首项为2,公比为2的等比数列, ,利用叠加法, , ,则.选B. 【方法总结】:由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略 (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用处理. 练习1. 数列的一个通项公式可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 练习2.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的通项公式是an=( ) A. (10n-1) B. C. (10n-1) D. (10n-1). 【答案】B 【解析】1-=0.9,1-=0.99,…,故原数列的通项公式为an=.选B. 练习3.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图中实心点的个数5,9,14,20,…为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第2017项为,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【方法总结】:根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:相邻项的变化特征;拆项后的各部分特征;符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想. 4.项和互化求通项 例4.设是数列的前项和,且,则=( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得:,考查所给选项: , 则选项B错误; 当时:,即, 考查ACD选项:, 则选项AC错误, 本题选择D选项. 【方法规律总结】:给出 与 的递推关系,求an,常用思路是:一是利用转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an. 练习1. 设数列满足,通项公式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 练习2. 设数列满足,通项公式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当时, , …………...(1) , ……....(2), (1)-(2)得: , , 符合,则通项公式是,选C. 练习3. 已知正项数列的前项和为,且, ,现有如下说法: ①;②当为奇数时,;③. 则上述说法正确的个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【方法总结】:给出与的递推关系求,常用思路是:一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式;二是转化为的递推关系,先求出与之间的关系,再求. 应用关系式时,一定要注意分两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起. 5.构造辅助数列求通项 (1)的形式 例5.数列满足则( ) A. 33 B. 32 C. 31 D. 34 【答案】A 【解析】数列满足,是以2为公比的等比数列,首项为1,得到 故答案为:A。 练习1. 已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2,则{an}的通项公式为 A. an=2n-1 B. an=3n-1 C. an=2n-1 D. an=6n-4 【答案】B 【解析】,得是以3为首项,3为公比的等比数列, 则,即。故选B。 (2)的形式 例6设为数列的前项和,,且.记 为数列的前项和,若,则的最小值为( ) A. B. C. D. 1 【答案】A 【方法总结】:这个题目考查的是数列求通项的常用方法:配凑法,构造新数列。也考查了等比数列求和公式的应用,数列和的最值。关于数列之和的最值,可以直接观察,比如这个题目,一般情况下需要研究和的表达式的单调性:构造函数研究单调性,做差和0比研究单调性,直接研究表达式的单调性。 练习1. 已知数列的前项和为,,则数列的前项和为( ) A. B. C. D. 【答案】C 练习2. 已知数列满足,则的通项公式为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由得,∴ ,∴,当时也符合,∴数列的通项公式为.故选C. 练习2. 已知数列满足,,则 ( ) A. 121 B. 136 C. 144 D. 169 【答案】C 练习3. 数列中,已知对任意正整数,有,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵ ∴ ∴() 当也适合,故 所以是以1为首项,4为公比的等比数列,所以,故选B. 练习4. 已知数列则 ( ) A. B. C. 或1 D. 【答案】B 【方法总结】:已知数列要求通项,可以两边取倒数,得到是等差数列,已知 可以求出 ,再根据等差数列的性质求出数列的通项公式,,再取倒数可以求出,代入n=7,求得结果即可. 练习5. 已知数列的首项,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由,可得, 是以为公差,以为首项的等差数列,,故选C. 7.倒序相加求通项 例7. 已知是上的奇函数,,则数列的通项公式为( ). A. B. C. D. 【答案】C 【方法总结】:本题首先考查函数的基本性质,借助函数性质处理数列问题问题,十分巧妙,对数学思维的要求比较高,奇函数的应用与数列第一项联系起来,就知道该怎么对x赋值了,继续推导,要求学生理解f(t)+f(1-t)=2.本题有一定的探索性,难度大. 练习2.已知数列满足, , ,则( ) A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】由题意,对进行变形,得 则,即4个一循环,那么,故选A. 【方法总结】:本题主要考查数列通项公式的求解,根据递推关系求出数列的循环是解决问题的关键. 练习2. 在数列中,,则( ) A. 2 B. C. D. 【答案】A 练习3. 已知数列满足,则=( ) A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】,,是周期为的数列,,故选C. 10.裂项求通项 例10. 数列满足,且对任意的都有,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对任意的都成立,,即 ,,把上面个式子相加可得,,,从而有, ,故选C. 【方法点晴】本题主要考查递推公式求通项、累加法的应用,以及裂项相消法求数列的和,属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2) ; (3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误. 查看更多