2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第八章 第5节第2课时 直线与椭圆
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多维层次练49
[A级 基础巩固]
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，又(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆相交．
答案：A
2．(2020·张家口市期末)椭圆＋＝1中，以点M(1，2)为中点的弦所在直线的斜率为( )
A. B.
C. D．－
解析：设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆得
两式相减得＋＝0，
即＝－，
所以－＝，
又M(1，2)为弦AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，
所以－＝，即＝－，
所以弦所在的直线的斜率为－.
答案：D
3．若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3＝0的距离为 >，所以a2＋b2<3.又a，b不同时为零，所以0
0，即t2<5，|AB|＝＝≤(当且仅当t＝0时取等号)．故选C.
答案：C
6．(2020·泰州市期末)已知直线y＝x－1与椭圆＋＝1交于A、B两点，则线段AB的长为________．
解析：联立得7x2－8x－8＝0，
设A、B横坐标为x1，x2，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
|AB|＝·|x1－x2|＝·＝
× ＝.
答案：
7．椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆E的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：由已知得直线y＝(x＋c)过M、F1两点，所以直线MF1的斜率为，所以∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，则MF1＝c，MF2＝c，由点M在椭圆E上知，c＋c＝2a，故e＝＝－1.
答案：－1
8．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，则＝________．
解析：不妨取直线MN⊥x轴，椭圆＋y2＝1的左焦点F(－1，0)，令x＝－1，得y2＝，
所以y＝±，所以|MN|＝，此时|PQ|＝2b＝2，
则＝＝2.
答案：2
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点为F(－2，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解：(1)由题意，得
解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2>0，所以－2b>0)的右焦点为F(1，0)，且点P
在椭圆C上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过定点T(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
解：(1)由题意，得c＝1，
所以a2＝b2＋1.
因为点P在椭圆C上，
所以＋＝1，可解得a2＝4，b2＝3，
则椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)依题意知直线斜率存在，不妨设直线l的方程为y＝kx＋2，
点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0.
因为直线与椭圆有两个交点，
所以Δ＝48(4k2－1)>0，即k2>，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
因为∠AOB为锐角，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0.
所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)>0，
即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4>0，(1＋k2)·＋2k·＋4>0，
>0，所以k2<，
综上b>0)的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求点E的坐标．
解：(1)设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2＝2，c＝1.
又因为DF1＝，AF2⊥x轴，
所以DF2＝＝＝.
因此2a＝DF1＋DF2＝4，从而a＝2.
由b2＝a2－c2，得b2＝3.
因此，椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4)．
又F1(－1，0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.
由得5x2＋6x－11＝0，
解得x＝1或x＝－.
将x＝－代入y＝2x＋2，得y＝－.
因此B.又F2(1，0)，
所以直线BF2：y＝(x－1)．
由得7x2－6x－13＝0，
解得x＝－1或x＝.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.
将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.
因此E.
[C级 素养升华]
14．(多选题)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有( )
A.＋<1 B.＋>1
C.＋<1 D．4x＋3y>1
解析：由椭圆＋＝1，可得：a＝2，b＝，c＝1，
所以左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，
设A(0，)，
则tan∠AF1F2＝，
可得∠AF1F2＝，
所以∠F1AF2＝.
因为l1⊥l2，
所以直线l1与直线l2交点M在椭圆的内部，
所以＋<1，A正确，B不正确；直线＋＝1与椭圆＋＝1联立，
可得7y2－24y＋27＝0无解．
因此直线＋＝1与椭圆＋＝1无交点．
而点M在椭圆的内部，在直线的左下方，
所以满足＋<1，C正确．
因为x＋y＝1，0≤y≤1，所以4x＋3y＝4(1－y)＋3y＝4－y>1，因此D正确．
答案：ACD
