新教材高中数学第四章对数运算和对数函数3对数函数第1课时对数函数的概念图象与性质课件北师大版必修第一册
§3
对数函数
第
1
课时
对数函数
的
概念
、图象与性质
激趣诱思
知识点拨
某种细胞进行分裂
,
由
1
个分裂成
2
个
,2
个分裂成
4
个
,
……
,
则
1
个这样的细胞分裂
x
次后得到细胞个数
y
如何表示
?
反之
,
如果知道一个细胞经过
x
次分裂后得到了
1 024
个细胞
,
该如何求解
x
的值呢
?
激趣诱思
知识点拨
一、对数函数
1
.
对数函数的概念
(1)
一般地
,
函数
叫作对数函数
,
其中
a
称为
,
由定义可知
,
对数函数具有以下基本性质
:
①
定义域是
;
②
图象过定点
.
(2)
指数函数
y=a
x
(
a>
0,
且
a
≠1)
与对数函数
y=
log
a
x
(
a>
0,
且
a
≠1)
互为反函数
.
两者的定义域与值域正好互换
.
2
.
两种特殊的对数函数
以
为底的对数函数为常用对数函数
,
记作
y=
lg
x
;
以
为底的对数函数为自然对数函数
,
记作
y=
ln
x.
y=
log
a
x
(
a>
0,
且
a
≠1
)
底数
(0,
+∞
)
(0,1
)
10
无理数
e
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1
.
判断一个函数是不是对数函数的依据
:
(1)
形如
y=
log
a
x
;
(2)
底数
a
满足
a>
0,
且
a
≠1;
(3)
真数为
x
,
而不是
x
的函数
.
2
.
根据指数式与对数式的关系知
,
y=
log
a
x
可化为
a
y
=x
,
由指数函数的性质
,
可知在对数函数中
,
有
a>
0,
且
a
≠1,
x>
0,
y
∈
R
.
3
.
同底的指数函数与对数函数互为反函数
,
它们的图象关于直线
y=x
对称
.
反函数的定义域是原函数的值域
,
反函数的值域是原函数的定义域
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)
下列函数是对数函数的是
(
)
A.
y=
log
a
x+
2(
a>
0,
且
a
≠1,
x>
0)
激趣诱思
知识点拨
微拓展
1
.
若函数
y=f
(
x
)
图象上有一点
(
a
,
b
),
则点
(
b
,
a
)
必在其反函数图象上
;
反之亦然
.
2
.
单调函数的反函数与原函数有相同的单调性
.
3
.
若一个奇函数存在反函数
,
则这个反函数也是奇函数
.
激趣诱思
知识点拨
二、对数函数
y=
log
a
x
(
a>
0,
a
≠1)
的图象和
性质
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1
.
对数函数的图象都在
y
轴的右侧
,
y
轴可以看成对数函数图象的渐近线
,
x
的取值越接近于
0,
图象越接近
y
轴
.
2
.
对数函数函数值的符号常受到底数和真数的范围的制约
,
注意对底数
a
的分类讨论
.
3
.
两个底数都大于
1
的对数函数
,
图象在第一象限内越接近
x
轴
,
底数越大
;
两个底数都大于
0
小于
1
的对数函数
,
图象在第四象限内越接近
x
轴
,
底数越小
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)(
多选题
)
若函数
y=
log
a
x
的图象如图所示
,
则
a
的值不可能是
(
)
A.0
.
5
B.2
C.e
D.
π
(2)
下列函数中
,
在区间
(0,
+∞
)
上不单调递增的是
(
)
A.
y=
5
x
B.
y=
lg
x+
2
C.
y=x
2
+
1
(3)
函数
f
(
x
)
=
log
a
(
x-
2
)
的
图象必经过定点
.
激趣诱思
知识点拨
答案
:
(1)BCD
(2)D
(3)(3,0
)
解析
:
(1)
∵
函数
y=
log
a
x
在
(0,
+∞
)
上单调递减
,
∴
0
0,
且
m
≠1,
所以
m=
2
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
1
.
对数函数是一个形式定义
:
2
.
对数函数解析式中只有一个参数
a
,
用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即
可
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
1
(1)
若函数
f
(
x
)
=
log
(
a+
1)
x+
(
a
2
-
2
a-
8)
是对数函数
,
则
a=
.
(2)
点
A
(8,
-
3)
和
B
(
n
,2)
在同一个对数函数图象上
,
则
n=
.
解得
a=
4
.
(2)
设对数函数为
f
(
x
)
=
log
a
x
(
a>
0,
且
a
≠1)
.
则由题意可得
f
(8)
=-
3,
即
log
a
8
=-
3,
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
指数函数与对数函数关系的应用
例
2
(2020
四川宜宾高一检测
)
已知函数
f
(
x
)
=
log
2
x
,
若函数
g
(
x
)
是
f
(
x
)
的反函数
,
则
f
(
g
(2))
=
(
)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案
:
B
解析
:
∵
g
(
x
)
是
f
(
x
)
的反函数
,
∴
g
(
x
)
=
2
x
.
∴
g
(2)
=
2
2
=
4,
∴
f
(
g
(2))
=f
(4)
=
log
2
4
=
2
.
反思感悟
涉及
指数
函数
和
对数函数互为
反函数
的
问题
,
一定注意前提是
“
同底数
”,
且它们的图象关于直线
y=x
对称
;
反之
,
两个函数图象关于直线
y=x
对称
,
则这两个函数互为反函数
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
2
已知函数
g
(
x
)
=f
(
x
)
+x
2
是奇函数
,
当
x>
0
时
,
函数
f
(
x
)
的图象与函数
y=
log
2
x
的图象关于直线
y=x
对称
,
则
g
(
-
1)
+g
(
-
2)
=
(
)
A.
-
7 B.
-
9 C.
-
11 D.
-
13
答案
:
C
解析
:
由题意知
f
(
x
)
=
2
x
,
所以当
x>
0
时
,
g
(
x
)
=
2
x
+x
2
.
又
∵
g
(
x
)
为奇函数
,
∴
g
(
-
1)
=-g
(1)
=-
3,
g
(
-
2)
=-g
(2)
=-
(2
2
+
2
2
)
=-
8
.
∴
g
(
-
1)
+g
(
-
2)
=-
11
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
与对数函数有关的定义域、值域问题
例
3
(1)
函数
f
(
x
)
=
ln(
x
2
-x
)
的定义域为
(
)
A.(
-∞
,0)
∪
(1,
+∞
)
B.(
-∞
,0]
∪
[1,
+∞
)
C.(0,1)
D.[0,1]
(2)
已知函数
f
(
x
)
=
2lo
x
的值域为
[
-
1,1],
则函数
f
(
x
)
的定义域是
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解析
:
(1)
由题意得
x
2
-x>
0,
解得
x>
1
或
x<
0,
故函数的定义域是
(
-∞
,0)
∪
(1,
+∞
)
.
故选
A
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
定义域问题注意事项
(1)
要遵循以前已学习过的求定义域的方法
,
如分式分母不为零
,
偶次根式被开方式大于或等于零等
.
(2)
遵循对数函数自身的要求
:
一是真数大于零
;
二是底数大于零且不等于
1;
三是按底数的取值应用单调性
,
有针对性地解不等式
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
对数函数的图象
例
4
函数
y=
log
2
x
,
y=
log
5
x
,
y=
lg
x
的图象如图所示
.
(1)
指出三个函数分别对应于哪个图象
,
并说明理由
;
(3)
从
(2)
的图中你发现了什么
?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解
:
(1)
①
对应函数
y=
lg
x
,
②
对应函数
y=
log
5
x
,
③
对应函数
y=
log
2
x.
这是因为当底数全大于
1
时
,
在
x=
1
的右侧
,
底数越大的函数图象越靠近
x
轴
.
(2)
在题图中的平面直角坐标系中分别画出
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
对数函数图象的变化规律
:
1
.
对于几个底数都大于
1
的对数函数
,
底数越大
,
函数图象向右的方向越接近
x
轴
;
对于几个底数都大于
0
且小于
1
的对数函数
,
底数越大
,
函数图象向右的方向越远离
x
轴
.
以上规律可总结成
x>
1
时
“
底大图低
”
.
实际上
,
作出直线
y=
1,
它与各图象交点的横坐标即各函数的
底数
,
如图所示
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
3
作出函数
y=|
lg(
x-
1)
|
的图象
,
并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间
.
解
:
先画出函数
y=
lg
x
的图象
(
如图
①
)
.
再将该函数图象向右平移
1
个单位长度得到函数
y=
lg(
x-
1)
的图象
(
如图
②
)
.
最后把
y=
lg(
x-
1)
的图象在
x
轴下方的部分对称翻折到
x
轴上方
(
原来在
x
轴上方的部分不变
),
即得出函数
y=|
lg(
x-
1)
|
的图象
(
如图
③
)
.
由图易知函数的定义域为在区间
(1,
+∞
),
值域为
[0,
+∞
),
函数在区间
(1,2]
上单调递减
,
在区间
(2,
+∞
)
上单调递增
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
利用对数函数的性质比较大小
例
5
比较下列各组中两个值的大小
:
(1)log
3
1
.
9,log
3
2;
(2)log
2
3,log
0
.
3
2;
(3)log
a
π
,log
a
3
.
141(
a>
0,
且
a
≠1)
.
分析
(1)
构造函数
f
(
x
)
=
log
3
x
,
利用其单调性比较大小
;
(2)
分别比较两个对数与
0
的大小
;
(3)
分类讨论底数
a
的取值范围
,
再利用单调性比较大小
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解
:
(1)(
单调性法
)
因为
f
(
x
)
=
log
3
x
在
(0,
+∞
)
上是增函数
,
且
1
.
9
<
2,
所以
f
(1
.
9)
log
2
1
=
0,log
0
.
3
2
<
log
0
.
3
1
=
0,
所以
log
2
3
>
log
0
.
3
2
.
(3)(
分类讨论法
)
当
a>
1
时
,
函数
y=
log
a
x
在定义域内是增函数
,
则有
log
a
π
>
log
a
3
.
141;
当
0
1
时
,log
a
π
>
log
a
3
.
141;
当
0
0,
且
a
≠1);
(3)log
3
0
.
2,log
4
0
.
2;
(4)log
3
π
,log
π
3
.
解
:
(1)
因为函数
y=
ln
x
在定义域内是增函数
,
且
0
.
3
<
2
,
所以
ln
0
.
3
<
ln
2
.
(2)
当
a>
1
时
,
函数
y=
log
a
x
在
(0,
+∞
)
上是增函数
,
又
3
.
1
<
5
.
2,
所以
log
a
3
.
1
<
log
a
5
.
2;
当
0
log
a
5
.
2
.
故当
a>
1
时
,log
a
3
.
1
<
log
a
5
.
2;
当
0
log
a
5
.
2
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(3)(
方法一
)
因为
0
>
log
0
.
2
3
>
log
0
.
2
4
,
(
方法二
)
画出
y=
log
3
x
与
y=
log
4
x
的图象
,
如图所示
,
由图可知
log
4
0
.
2
>
log
3
0
.
2
.
(
4)
因为函数
y=
log
3
x
在定义域内是增函数
,
且
π
>
3,
所以
log
3
π
>
log
3
3
=
1
.
同理
,1
=
log
π
π
>
log
π
3,
所以
log
3
π
>
log
π
3
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
互为反函数的两个函数图象间的关系
我们知道
,
指数函数
y=a
x
(
a>
0,
且
a
≠1)
与对数函数
y=
log
a
x
(
a>
0,
且
a
≠1)
互为反函数
.
它们的
图象有
什么关系呢
?
下面
,
请你运用所学的数学知识和计算工具
,
探索几个问题
,
亲自发现其中的奥秘吧
!
(1)
在同一直角坐标系中
,
画出指数函数
y=
2
x
及其反函数
y=
log
2
x
的图象
.
你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗
?
(2)
取
y=
2
x
图象上的几个点
,
如
P
1
,
P
2
(0,1),
P
3
(1,2),
P
1
,
P
2
,
P
3
关于直线
y=x
的对称点的坐标是什么
?
它们在
y=
log
2
x
的图象上吗
?
为什么
?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(3)
如果点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
在函数
y=
2
x
的图象上
,
那么
P
0
关于直线
y=x
的对称点在函数
y=
log
2
x
的图象上吗
?
为什么
?
(4)
根据上述探究过程
,
你可以得到什么结论
?
(5)
上述结论对于指数函数
y=a
x
(
a>
0,
且
a
≠1)
及其反函数
y=
log
a
x
(
a>
0,
且
a
≠1)
也成立吗
?
为什么
?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案
:
(1)
y=
2
x
与
y=
log
2
x
的图象关于直线
y=x
对称
.
(2
)
点
P
1
,
P
2
,
P
3
关于直线
y=x
的对称点的坐标分别为
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(4)
y=
2
x
与
y=
log
2
x
的图象关于直线
y=x
对称
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
A.[
-
1,3) B.(
-
1,3)
C.(
-
1,3] D.[
-
1,3]
A.[
-
1,0]
B
.[0,1]
C.[1,
+∞
) D.(
-∞
,
-
1]
答案
:
C
答案
:
A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
A.
y
0,
且
a
≠1)
的图象恒过定点
P
,
则点
P
的坐标是
.
5
.
若
a=
log
0
.
2
0
.
3,
b=
log
2
6,
c=
log
0
.
2
4,
则
a
,
b
,
c
的大小关系为
.
答案
:
(2,2)
解析
:
令
x-
1
=
1,
得
x=
2
.
∵
f
(2)
=
2,
∴
f
(
x
)
的图象恒过定点
(2,2)
.
答案
:
b>a>c
解析
:
因为
f
(
x
)
=
log
0
.
2
x
在定义域内为减函数
,
且
0
.
2
<
0
.
3
<
1
<
4,
所以
log
0
.
2
0
.
2
>
log
0
.
2
0
.
3
>
log
0
.
2
1
>
log
0
.
2
4,
即
1
>a>
0
>c.
同理
log
2
6
>
log
2
2
=
1,
所以
b>a>c.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
6
.
已知函数
f
(
x
)
=
log
3
x.
(1)
作出这个函数的图象
;
(2)
若
f
(
a
)
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