2018-2019学年浙江省杭州学军中学高二上学期末考试 数学

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2018-2019学年浙江省杭州学军中学高二上学期末考试 数学

杭州学军中学 2018 学年第一学期期末考试 高二数学试卷 参考公式:球的体积公式:V= 3 4 πR3 其中 R 表示球的半径 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.圆 2 2( 1) 3x y   的圆心坐标和半径分别是 ( ) A. ( 1,0),3 B. (1,0),3 C. ( 1,0), 3 D. (1,0), 3 2.在空间中,设α,表示平面,m,n 表示直线.则下列命题正确的是 ( ) A.若 m∥n,n⊥α,则 m⊥α B. 若α⊥,mα,则 m⊥ C.若 m 上有无数个点不在α内,则 m∥α D.若 m∥α,那么 m 与α内的任何直线平行 3.已知 ba, 为实数,则“ a >b ”是“ a 1 < b 1 ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图,则△OAB 的面积为( ) A.6 B.3 2 C.12 D.6 2 5.曲线 C: yyx 22  与直线 0:  myxl 有两个交点,则实数 m 的取值范围( ) 22.221.212.2112.  mDmCmBmA 6.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为 6 的正三角形、侧棱长均为 5, 其正视图,俯视图如图所示,则其侧视图 ( ) A.形状是等腰三角形,面积为 133 B.形状是等腰三角形,面积为 2 393 C.不是等腰三角形,面积为 133 D.不是等腰三角形,面积为 2 393 7.已知直二面角α-l-β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l, D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于( ) A. 3 2 B. 3 3 C. 3 6 D.1 8.已知直线 )(2sincos: Ryxl   ,圆 0sin2cos2: 22  yxyxC  )( R ,则直线 l 与圆 C 的位置关系一定不是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定[ (第 4 题) (第 6 题) 9.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 M、N 分别是直线 CD、AB 上的动点, 点 P 是△A1C1D 内的动点(不包括边界),记直线 D1P 与 MN 所成角为θ, 若θ的最小值为 3  ,则点 P 的轨迹是 ( ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分 10.已知在△ABC 中, 2 ACB ,AB=2BC,现将△ABC 绕 BC 所在 直线旋转到△PBC,设二面角 P﹣BC﹣A 大小为θ,PB 与平面 ABC 所成角为α, PC 与平面 PAB 所成角为β,若 0<θ<π,则 ( ) )3 3,0(sin],3,0(.  A ]3 3,0(sin],3,0(.  B )2 1,0(sin],3,0(.  C 1. (0, ],sin (0, )6 2D    二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 11.双曲线x2 4 -y2 3 =1 的渐近线方程是 ;实轴长为___________. 12.已知直线 l:mx+y-2m-1=0,圆 C:x2+y2-2x-4y=0,直线恒过定点 ; 当直线 l 被圆 C 所截得的弦长最短时,实数 m= . 13.已知抛物线 y2=mx 的焦点坐标 F 为(2,0),则 m 的值为 ; 若点 P 在抛物线上,点 A(5,3),则|PA|+|PF|的最小值为 . 14.如图,在三棱锥S—ABC中,若底面ABC是正三角形,侧棱长SA=SB=SC= 3 M、N 分别为棱 SC、BC 的中点,并且 AM  MN,则异面直线 MN 与 AC 所成角为_____; 三棱锥 S—ABC 的外接球的体积为 . 15.已知两圆 02: 22 1  xyxC , 4)1(: 22 2  yxC 的圆心分别为 21,CC ,P 为一个动 点,且 22|||| 21  PCPC ,则动点 P 的轨迹方程为_______________. 16.设双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的顶点为 1 2,A A ,P 为双曲线上一点,直线 1PA 交 双曲线 C 的一条渐近线于 M 点,直线 2A M 和 2A P 的斜率分别为 1 2,k k ,若 2 1A M PA 且 1 24 0k k  ,则双曲线C 离心率 17.已知点 P 是正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 表面上一动点,且满足 | | 2 | |PA PB ,设 1PD 与平面 ABCD 所成的角为 ,则 的最大值是 (第 14 题) (第 9 题) 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(本题满分 14 分) 已知直线 l 经过直线 0430243  yxyx 与 的交点 P ,且垂直 于直线 .012  yx (1)求直线l 的方程; (2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积. 19.(本题满分 15 分)如图,四棱锥 P ABCD 中, PA  平面 ABCD ,四边形 ABCD 是 矩形, E , F 分别是 AB , PD 的中点.若 3PA AD  , 6CD  。 (1)求证: //AF 平面 PCE ; (2)求直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值。 20.(本题满分 15 分) 如图,由半圆 2 2 1( 0)x y y   和部分抛物线 2( 1)y a x  ( 0y  , 0a  )合成的曲线 C 称为“羽毛球形线”,且曲线 C 经过点 (2,3) . (1)求 a 的值; (2)设 (1,0)A , ( 1,0)B  ,过 A 且斜率为 k 的直线l 与“羽毛球形线”相交于 P , A ,Q 三 点,问是否存在实数 k ,使得 QBA PBA   ? 若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. y xO AB P Q (第 20 题) (第 19 题) 21.(本题满分 15 分)如图,在等腰三角形 ABC 中, , 120AB AC A    ,M 为线段 BC 的中点, D 为线段 BC 上一点,且 BD BA ,沿直线 AD 将 ADC 翻折至 'ADC ,使 'AC BD . (I)证明;平面 'AMC ⊥平面 ABD ; (Ⅱ)求二面角 BADC ' 的平面角的余弦值. 22.(本题满分 15 分)设椭圆 2 2 2 2 1x x a b   (a>b>0)的左焦点为 F,上顶点为 B. 已知椭圆的 离心率为 5 3 ,点 A 的坐标为 ( ,0)b ,且 6 2FB AB  . (I)求椭圆的方程; (II)设直线 l: ( 0)y kx k  与椭圆在第一象限的交点为 P,且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若 5 2 sin4 AQ AOQPQ   (O 为原点) ,求 k 的值. (第 21 题) 杭州学军中学 2018 学年第一学期期末考试 高二数学参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. D 2. A 3. D 4. C 5.B 6. D 7. C 8. A 9. B 10.C 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 11. xy 2 3 ;4. 12. ),( 12 ,-1 13. 8, 7 14. 2 9,90 o 15. 12 2 2  yx 16. 2 5 17. 4  三、解答题:(本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(本题满分 14 分) 解:(1)由 得 . 因为直线 的斜率为 ,所以直线 的斜率为-2, 所以直线 的方程为: 即 (2)在直线 中,令 令 .所以直线 与两坐 标轴围成的三角形的面积 S= 19.(本题满分 15 分) 解:(1)取 PC 的中点 G,连结 EG,FG,又由 F 为 PD 中点, 则 F G // CD2 1 . 又由已知有 .//,2 1// AEFGCDAE  ∴四边形 AEGF 是平行四边形. .// EGAF 又 AF 平面 PEC, EG .PCE平面 PCEAF 平面// (2) ,ABCDPA 平面 = = 14 21 ,// . , . ,,3 . . . AFEG PCDAF DCDPD PDAF PDFADPA CDAF PADCD ADCDABCD ABCDPAD 由 平面 的中点是又 平面 是矩形有由 平面平面          . , , , EG PCD PCD F FH PC H PCD PCE PC      平面 平面 内 过 作 于 由于平面 平面 故 .所成的角与平面为直线 PCEFCFCH 33 2, 2, 2 6.2 1 3, 30 . 2.2 4 P D PF PC CD PAD CPD FH PF          由已知可得 由于 平面 2 2 42 .2 21sin 14 FC CD FD FHFCH FC        直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值 为. 20.(本题满分 15 分)解:(1)把点 (2,3) 代入 2( 1)y a x  得 23 (2 1)a   ,所以 1a  . (2)方法一:由题意得 PQ 方程为 ( 1)y k x  , 代入 2 1y x  得 2 1 0x kx k    , 所以 1x  或 1x k  , 所以点 Q 的坐标为 2( 1, 2 )k k k  . 又代入 2 2 1x y  得 2 2 2 2(1 ) 2 1 0k x k x k     , 所以 1x  或 2 2 1 1 kx k   , 所以点 P 的坐标为 2 2 2 1 2( , )1 1 k k k k     . 因为 QBA PBA   , 所以 BP BQk k  ,即 22 2 2 2 21 1 11 k k kk k k k      ,即 2 2 1 0k k   , 解得 1 2k   .又由题意 2 2 1 11 k k   , 1 1k   即 2k  ,而1 2 2  , 因此存在实数 1 2k   ,使 QBA PBA   . (2)方法二:由题意可知 QBA PBA   , =90APB  , 则 90 BAPQBA , 故 1 QAQB kk . 由题意可设 2 0 0( , 1)Q x x  ,其中 0 0x  , 则 11 1 0 0 2 0   xx xkQB , 11 1 0 0 2 0   xx xkQA , 所以 112 0  xkk QAQB ,所以 0 2x  或 0 2x   (舍去) . 故 12  QAkk , 因此存在实数 1 2k   ,使得 QBA PBA   . 21.(本小题 15 分) 22.(本题满分 15 分)(Ⅰ)解:设椭圆的焦距为 2c,由已知知 2 2 5 9 c a  ,又由 a2=b2+c2,可 得 2a=3b.由已知可得, FB a , 2AB b ,由 6 2FB AB  ,可得 ab=6,从而 a=3,b=2.所以,椭圆的方程为 2 2 19 4 x y  . (Ⅱ)解:设点 P 的坐标为(x1,y1),点 Q 的坐标为(x2,y2).由已知有 y1>y2>0,故 1 2sinPQ AOQ y y   . 又 因 为 2 sin yAQ OAB   , 而 ∠ OAB= π 4 , 故 22AQ y . 由 5 2 sin4 AQ AOQPQ   ,可得 5y1=9y2. 由方程组 2 2 19 4 y kx x y    , ,消去 x,可得 1 2 6 9 4 ky k   .易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0, 由方程组 2 0 y kx x y      , ,消去 x,可得 2 2 1 ky k   .由 5y1=9y2,可得 5(k+1)= 23 9 4k  , 两边平方,整理得 256 50 11 0k k   ,解得 1 2k  ,或 11 28k  . 所以,k 的值为 1 11 2 28 或 .
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