2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-6正弦定理和余弦定理练习新人教B版
4.6 正弦定理和余弦定理
核心考点·精准研析
考点一 正弦定理
1.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对边的边长.若cos C+sin C-
=0,则的值是 ( )
A.-1 B.+1
C.+1 D.2
2.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
3.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+
acos B=0,则B=________.
【解析】1.选B.在△ABC中,由cos C+sin C-=0,由两角和的正弦公式得2sinsin=2,所以C+=B+=,解得C=B=,所以A=.由正弦定理得===+1.
2.选D.因为B=2A,
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所以sin B=sin 2A=2sin Acos A,
由正弦定理得b=2acos A,
所以=,所以==tan A.
因为△ABC是锐角三角形,
所以解得
0,所以cos A=.由条件及正弦定理得sin A=
2sin Ccos A,即=2×sin C,所以sin C=.
考点二 余弦定理
【典例】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=b,sin B=
sin C.
(1)求cos A的值.
(2)求cos 的值.
【解题导思】
序号
联想解题
(1)看到“sin B=sin C”,想到运用正弦定理,转化为b=c,又由“a-c=b”运用余弦定理求得cos A.(2)看到“cos”想到公式cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin
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B.利用(1)得出的cos A的值及倍角公式求出cos2A和sin2A,代入公式方可求出cos的值
【解析】(1)在△ABC中,由=及sin B=sin C,
可得b=c,又由a-c=b,得a=2c,
所以cos A===.
(2)在△ABC中,由cos A=,可得sin A=.
于是,cos 2A=2cos2A-1=-,
sin 2A=2sin A·cos A=.
所以cos=cos 2A cos +sin 2Asin
=×+×=.
用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
第一步:选定理.两角两边用正弦定理,三边一角用余弦定理.
第二步:求解.将已知代入定理求解.
1.(2019·长沙模拟)已知在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD,BD=AD,BC=2AD,则sin C的值为 ( )
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A. B.
C. D.
【解析】选A.设AB=AD=2a,则BD=a,则BC=4a,所以cos∠ADB=
==,所以cos∠BDC==-,整理得CD2+3aCD-10a2=0,解得CD=2a或者CD=-5a(舍去).所以cos C===,而C∈,所以sin C=.
2.(2020·晋城模拟)如图,在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=,sin∠ABC=,BC=6,点D在边BC上,且BD=2DC,点E在边AC上,且BE⊥AC,BE交AD于点F.
(1)求AC的长.
(2)求cos∠DAC及AF的长.
【解析】(1)在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=,
sin∠ABC=,BC=6,由正弦定理得=,所以AC===5.
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(2)由sin∠BAC=,sin∠ABC=,得
cos∠BAC=,cos∠ABC=,
所以cos C=-cos (∠BAC+∠ABC)
=-cos∠BACcos ∠ABC+sin∠BACsin∠ABC
=-×+×=.
因为BE⊥AC,
所以CE=BCcos C=6×=,AE=AC-CE=.
在△ACD中,AC=5,CD=BC=2,cos C=,
由余弦定理得AD=
==,
所以cos∠DAC==
=.由BE⊥AC,得AFcos∠DAC=AE,
所以AF==.
考点三 正、余弦定理的综合应用
命
题
精
考什么:判断三角形形状、个数、面积问题,最值、范围问题;
怎么考:
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解
读
考查解三角形问题常与平面几何交汇,题目中经常出现有关的几何元素如高、角平分线、线段的垂直平分线、三角形内切圆等;与平面向量交汇考查,解三角形还常与不等式,三角函数的性质交汇命题.
学
霸
好
方
法
1.判断三角形形状的两种思路
(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
2.在三角形中求边、角的方法
(1)若求角,寻求得到这个角的一个函数的方程,结合角的范围求解.
(2)若求边,寻求与该边(或两边)有关联的角,利用三角形面积公式列方程求解.
判断三角形个数、形状
【典例】1.在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有
( )
A.1个 B.2个
C.0个 D.无法确定
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
【解析】1.选B.因为bsin A=×=,所以bsin A
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