2015宁德5月份质检文数试卷

2015宁德5月份质检文数试卷

‎2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查 数学（文科）试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 注意事项:‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据，，，的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式 其中为底面面积，为高 ‎ ‎锥体体积公式 其中为底面面积，为高 球的表面积、体积公式 ‎，‎ 其中为球的半径 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．若，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人. 现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取 A．55人，80人，45人 B．40人，100人，40人 C．60人，60人，60人 D．50人，100人，30人 ‎4．经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的是 A．若m∥α，nα，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β D．若m∥n，m⊥α，则n⊥α ‎6．已知，，则 A． B． C． D． ‎ ‎7．下列函数中，既为奇函数又在内单调递减的是 A． ‎ B． ‎ INPUT x IF x<=0 THEN ELSE ‎ ‎ END IF PRINT y END 第8题图 C． ‎ D． ‎ ‎8．运行如图所示的程序，若输出的值为1，‎ 则可输入的个数为 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎9．已知实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． ‎ 第10题图 ‎10．已知四棱锥的三视图如图所示,‎ 则此四棱锥的侧面积为 ‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎11．已知点是所在平面上一点，边的中点为，若，‎ 则与的面积比为 A． B． C． D． ‎ ‎12. 为坐标原点，为曲线上的两个不同点，若，则直线 与圆的位置关系是 ‎ A. 相交 B. 相离 C. 相交或相切 D. 相切或相离 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．‎ ‎13．复数（为虚数单位），则 .‎ ‎14．在区间内任取一个实数，则使不等式成立的概率为 .‎ ‎15．关于的方程的两个根为，则的最小值为 .‎ ‎16．已知函数，且恒成立. 给出下列结论：‎ ‎①函数在上单调递增； ‎ ‎②将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数；‎ ‎③若，则函数有且只有一个零点.‎ 其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等比数列的前项和.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，，求.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 时间 ‎0.002‎ 频率/组距 ‎0 10 20 30 40 50 ‎ ‎0.003‎ ‎0.020‎ ‎0.060‎ a 某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课. 为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（Ⅱ）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；‎ ‎（Ⅲ）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，‎ 随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在 上的概率.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ N O x M y 已知函数在一个周期内的图象如图所示，‎ 其中，．‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）在中，角的对边分别是，‎ 且，求的面积．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图四棱锥中，平面平面，，‎ ‎，且，．‎ ‎（Ⅰ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）问：棱上是否存在点，使得平面？‎ C B D P A 若存在，求出的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与曲线交于点，记点到直线的距离为.‎ ‎（ⅰ）求的值；‎ ‎（ⅱ）过点作直线的垂线交直线于点，求证：直线平分线段.‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数（）．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对任意恒成立．‎ ‎（ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（ⅱ）试比较与的大小，并给出证明（为自然对数的底数，）．‎ ‎2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查 数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．B 2．B 3．D 4．A 5．D 6．A 7．C 8．D 9．B 10．C ‎ ‎11．C 12．A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎13．； 14．； 15．； 16．①③．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．‎ ‎17.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，满分12分．‎ 解：（Ⅰ）∵,‎ ‎∴，，. 3分 ‎∵数列是等比数列,‎ ‎∴，即， 4分 ‎∴ . 5分 ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列， 6分 ‎∴ . 7分 ‎（Ⅱ）∵，∴， 8分 当时，‎ ‎ 9分 ‎ 11分 又符合上式，‎ ‎∴. 12分 ‎18．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）时间分组为的频率为 ‎， 2分 ‎∴，‎ 所以所求的频率直方图中的值为. 3分 ‎（Ⅱ）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：‎ ‎ 4分 ‎. 5分 因为，‎ 所以该校不需要推迟5分钟上课. 6分 ‎（Ⅲ）依题意满足条件的单程所需时间在中的有人，不妨设为，‎ 单程所需时间在中的有人，不妨设为， 7分 从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下种情况： ‎ ‎，，，，，，，‎ ‎，，； 10分 其中恰有一个学生的单程所需时间落在中的有以下6种：‎ ‎，，，，，； 11分 故恰有一个学生的单程所需时间落在中的概率. 12分 ‎19．本题主要考查解三角形，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）由图像可知：函数的周期， 1分 ‎∴. 2分 又过点,‎ ‎∴，， 3分 ‎∵，，‎ ‎∴，即. 4分 ‎∴. 5分 ‎（Ⅱ）∵即，‎ 又 ‎∴，即. 7分 在中，， ‎ 由余弦定理得 ， 8分 ‎∴，即，‎ 解得或（舍去）. 10分 ‎∴. 12分 A C B D P G ‎20．本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，满分12分．‎ 解：（Ⅰ）取中点，连接，‎ 四边形为平行四边形，‎ 在中，‎ ‎ 1分 ‎ 即 2分 平平平平 平 3分 ‎, 4分 ‎ 5分 ‎. 6分 ‎（II）棱上存在点，当时，平面. 7分 证明：连结交于点，连结.‎ ‎∵‎ A C B D P O E ‎∴ 8分 ‎∴,又 ‎∴，‎ ‎∴ 10分 又 ‎. 12分 ‎21．本题主要考查直线、椭圆、轨迹等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查特殊与一般的思想、化归与转化思想．满分12分．‎ 解法一：（Ⅰ）设，‎ 依题意得 , 1分 整理得,‎ ‎∴动点的轨迹的方程为 . 3分 ‎（Ⅱ）（ⅰ），设则 , 4分 y x M F P Q O ‎∴ 5分 ‎. 7分 ‎(说明：直接给出结论正确，没有过程得1分)‎ ‎（ⅱ）依题意,设直线,‎ 联立可得, 8分 显然 9分 所以线段的中点坐标为 10分 又因为故直线的方程为,‎ 所以点的坐标为,‎ 所以直线的方程为: 11分 因为满足方程 故平分线段 12分 解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）同解法一 ‎（ⅱ）当直线的方程为时，显然平分线段； 8分 当直线的方程为时，设 联立可得,‎ 显然 9分 所以线段的中点坐标为 10分 又因为故直线的方程为,‎ 所以点的坐标为,‎ 所以直线的方程为: 11分 因为满足方程 故平分线段 12分 ‎22．本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．满分14分．‎ 解：（Ⅰ） 时，， 1分 切点为， 3分 时，曲线在点处的切线方程为. 4分 ‎（II）（i），‎ ‎， 5分 ① 当时，，, ‎ 在上单调递增， ，‎ 不合题意. 6分 ‎②当即时，在上恒成立，‎ 在上单调递减，有，‎ 满足题意. 7分 ‎③若即时，由，可得，由，可得，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，‎ 不合题意. 9分 综上所述，实数的取值范围是 10分 ‎（ii）时，“比较与的大小”等价于“比较与的大小”‎ 设 则 在上单调递增， 12分 当时即，‎ 当时，即，‎ 综上所述，当时，；‎ 当时，；‎ 当时，. 14分