2021高三数学人教B版一轮学案：第二章 第七节　函数的图象

2021高三数学人教B版一轮学案：第二章 第七节　函数的图象

www.ks5u.com 第七节　函数的图象 最新考纲 考情分析 ‎1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数．‎ ‎2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题.‎ ‎1.由实际问题中的函数变化过程选图、根据解析式选图解决函数的性质问题是高考的热点．‎ ‎2．常与函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、零点)、方程、不等式等知识交汇考查．‎ ‎3．题型主要以选择题、填空题为主，属中档题.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 知识点一　　　　　　利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．‎ 知识点二　　　　　　利用图象变换法作函数的图象 ‎1．平移变换 ‎2．对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；‎ y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；‎ y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；‎ y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象．‎ ‎3．伸缩变换 ‎4．翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；‎ y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．‎ 记住几个重要结论 ‎(1)函数y＝f(x)与y＝f(‎2a－x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(‎2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．‎ ‎(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)‎ ‎(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　×　)‎ ‎(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　×　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　)‎ 解析：(1)如f(x)＝2x－x2时，|f(x)|＝|2x－x2|与f(|x|)＝2|x|－x2在(0，＋∞)上的图象不同．‎ ‎(2)如f(x)＝x2时，‎2f(x)＝2x2与f(2x)＝4x2的图象不相同．‎ ‎(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎2．小题热身 ‎(1)下列图象是函数y＝的图象的是(　C　)‎ ‎(2)如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为(　A　)‎ A．1　　　　B．‎2 C．3　　　　D．4‎ 解析：将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．‎ ‎(3)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　D　)‎ A．ex＋1　　　B．ex－‎1　‎　　C．e－x＋1　　　D．e－x－1‎ 解析：与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.‎ ‎(4)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是(2,8]．‎ 解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2,8]．‎ ‎(5)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是(0，＋∞)．‎ 解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝其图象如图所示，故要使a＝|‎ x|＋x只有一个解，则a>0.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 考点一　函数图象的识别 命题方向1　　　　　　图象变换法 ‎【例1】　已知函数y＝f(1－x)的图象如图，则y＝|f(x＋2)|的图象是(　　)‎ ‎【解析】　(1)把函数y＝f(1－x)的图象向左平移1个单位得y＝f(－x)的图象；(2)作出f(－x)关于y轴对称的函数图象得y＝f(x)的图象；(3)将f(x)向左平移2个单位得y＝f(x＋2)的图象；(4)将y＝f(x＋2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方得到|f(x＋2)|的图象．‎ ‎【答案】　A 命题方向2　　　　　　函数性质检验法 ‎【例2】　(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)‎ ‎【解析】　∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；‎ ‎∵f(π)＝＝>0，∴排除C；‎ ‎∵f(1)＝，且sin1>cos1，‎ ‎∴f(1)>1，∴排除B.故选D.‎ ‎【答案】　D 命题方向3　　　　　　用运动的观点识别图象 ‎【例3】　广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A，‎ O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象为(　　)‎ ‎【解析】　根据题图中信息，可将x分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x∈[0，π)时，函数值不变，y＝f(x)＝1；当x∈[π，2π)时，设与的夹角为θ，∵||＝1，||＝2，θ＝x－π，∴y＝(－)2＝5－4cosθ＝5＋4cosx，∴y＝f(x)的图象是曲线，且单调递增；当x∈[2π，4π)时，＝－，设与的夹角为α，||＝2，||＝1，α＝π－＝2π－x，∴y＝|O1P|2＝(－)2＝5－4cosα＝5－4cos，函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递减．结合选项知选A.‎ ‎【答案】　A 方法技巧 (1)图象变换问题，只需遵守图象变换规则即可.‎ (2)是知式选图，解决此类问题常有以下策略：‎ ‎①从函数的定义域，判断图象的左右位置；,从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎②从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势；‎ ‎③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎④从函数的周期性，判断图象的循环往复；‎ ‎⑤从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不符合要求的图象.‎ (3)是求解因动点变化而形成的函数图象问题，既可以根据题意求出函数解析式后判断图象，也可以将动点处于某特殊位置时考查图象的变化特征后作出选择.‎ ‎1．(方向1)函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是(　B　)‎ 解析：y＝log2(|x|＋1)是偶函数，当x≥0时，y＝log2(x＋1)是增函数，其图象是由y＝log2x的图象向左平移1个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B满足．‎ ‎2．(方向2)(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图象大致为(　B　)‎ 解析：因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)，且x∈[－6,6]，所以函数y＝为奇函数，排除C；当x>0时，f(x)＝>0恒成立，排除D；因为f(4)＝＝＝≈7.97，排除A.故选B.‎ ‎3．(方向3)(2020·广州综合测试)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　B　)‎ 解析：水位由高到低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.‎ 考点二　函数图象的应用 命题方向1　　　　　　解不等式 ‎【例4】　设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)‎ A．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ B．(－∞，－1)∪(0,1)‎ C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ D．(－1,0)∪(0,1)‎ ‎【解析】　‎ 因为f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．‎ ‎【答案】　D 命题方向2　　　　　　通过图象的交点求参数范围 ‎【例5】　(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝‎2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，] B．(－∞，]‎ C．(－∞，] D．(－∞，]‎ ‎【解析】　当－10.‎ 当x∈时，y＝cosx<0.‎ 结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，‎ 当11)相切时，方程＝－x＋a有一个解，x2－4ax＋4＝0，Δ＝(－‎4a)2－4×4＝0，得a＝1，此时方程f(x)＝－x＋a有两个解．当直线y＝－x＋a经过点(1,2)时，即2＝－×1＋a，所以a＝，当直线y＝－x＋a经过点(1,1)时，1＝－×1＋a，得a＝，从图象可以看出当a∈[，]时，函数f(x)＝的图象与直线y＝－x＋a有两个交点，即方程f(x)＝－x＋a有两个互异的实数解．故选D.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 利用图象研究函数的中心对称性 ‎【典例】　已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝8－f(4＋x)，函数g(x)＝，若函数f(x)与g(x)的图象共有168个交点，记作Pi(xi，yi)(i＝1,2，…，168)，则(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x168＋y168)的值为(　　)‎ A．2 018 B．2 017‎ C．2 016 D．1 008‎ ‎【解析】　函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝8－f(4＋x)，可得f(－x)＋f(4＋x)＝8，即函数f(x)的图象关于点(2,4)对称，由函数g(x)＝＝＝4＋，可知其图象关于点(2,4)对称，∵函数f(x)与g(x)的图象共有168个交点，∴两图象在点(2,4)两边各有84个交点，且两边的点分别关于点(2,4)对称，故得(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x168＋y168)＝(4＋8)×84＝1 008.故选D.‎ ‎【答案】　D ‎【素养解读】　解此类求图象交点横、纵坐标之和的问题，常利用图象的对称性求解，即找出两图象的公共对称轴或对称中心，从而得出各交点的公共对称轴或对称中心，由此得出定值求解．‎ ‎(2020·四川攀枝花统考)在直角坐标系中，如果相异两点A(a，b)，B(－a，－b)都在函数y＝f(x)的图象上，那么称A，B为函数y＝f(x)的一对关于原点成中心对称的点(A，B与B，A为同一对)．函数f(x)＝的图象上关于原点成中心对称的点有(　C　)‎ A．1对　　　B．3对 C．5对　　　D．7对 解析：本题考查函数图象的应用．因为y＝log7x，x>0关于原点对称的函数解析式为y＝－log7(－x)，x<0，所以函数f(x)＝ 的图象上关于原点成中心对称的点的组数，即为y＝cosx，x≤0与y＝－log7(－x)，x<0图象交点的个数．在同一直角坐标系内画出两个函数的大致图象，如图所示．已知－log76>－1，－log710<－1，则由图象可知，两个图象的交点个数为5，故选C.‎