2018届二轮复习概率随机变量及其分布列课件（全国通用）

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第三讲 概率、随机变量及其分布列 【 知识回顾 】 1. 互斥事件、对立事件的概率公式 (1)P(A∪B )=__________.(2)P(A)=_______. 2. 古典概型的概率公式 P(A)= =____________________. P(A)+P(B) 1-P(B) 3. 几何概型的概率公式 P(A)= 4. 条件概率 P(B|A)=__ _ _ _ _ _ _ . 5. 相互独立事件同时发生的概率 P(AB)= _________ . P(A)P(B) 6. 独立重复试验与二项分布 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么它在 n 次 独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 P n (k )=____________ ， k=0 ， 1 ， 2 ， … ， n. 用 X 表示事 件 A 在 n 次独立重复试验中发生的次数，则 x 服从二项分 布，即 X ～ B(n ， p) 且 P(X=k)= p k (1-p) n-k . 7. 超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件 次品，则 P(X=k)= k=0 ， 1 ， 2 ， … ， m ，其中 m= min{M ， n} ，且 n≤N ， M≤N ， n ， M ， N∈N * . 此时称随 机变量 X 服从超几何分布 . 超几何分布的模型是不放回 抽样，超几何分布中的参数是 M ， N ， n. 8. 离散型随机变量的均值、方差 (1) 离散型随机变量 ξ 的分布列为 ξ x 1 x 2 x 3 … x i … n P p 1 p 2 p 3 … p i … p n 离散型随机变量 ξ 的分布列具有两个性质： ① p i ≥0 ； ② p 1 +p 2 +…+p i +…+ p n =1(i=1 ， 2 ， 3 ， … ， n). (2)E(ξ)=_______________________ 为随机变量 ξ 的 数学期望或均值 . D(ξ )=______________________________________ _____________________________ 叫做随机变量 ξ 的 方差 . x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+ x i p i +…+ x n p n (x 1 -E(ξ)) 2 · p 1 +(x 2 -E(ξ)) 2 · p 2 +…+(x i - E(ξ)) 2 · p i +…+(x n -E(ξ)) 2 · p n ① 性质： E(aξ+b )= aE(ξ)+b ， D(aξ+b )=a 2 D(ξ) ； ② X ～ B(n ， p) ，则 E(X)= np ， D(X)=np(1-p) ； X ～ N(μ ， σ 2 ) ，则 E(X)=μ ， D(X)=σ 2 ； ③ X 服从两点分布，则 E(X)=p ， D(X)=p(1-p). 【 易错提醒 】 1. 混淆互斥、对立事件：对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件， “ 互斥 ” 是 “ 对立 ” 的必要不充分条件 . 2. 关注条件：概率的一般加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 中，易忽视只有当 A∩B= ⌀ ，即 A ， B 互斥时， P(A∪B)=P(A)+P(B) ，此时 P(A∩B)=0. 3. 混淆两种概型致误：易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的 . 4. 注意区分两个事件：注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的两个事件，相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生 . 【 考题回访 】 1.(2016 · 全国卷 Ⅰ) 某公司的班车在 7 ： 30 ， 8 ： 00 ， 8 ： 30 发车，小明在 7 ： 50 至 8 ： 30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 如图所示，画出时间轴： 小明到达的时间会随机地落在图中线段 AB 中，而当他 到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间 不超过 10 分钟，根据几何概型，所求概率 P= 2.(2016 · 全国卷 Ⅱ) 从区间 [0 ， 1] 随机抽取 2n 个数 x 1 ， x 2 ， … ， x n ， y 1 ， y 2 ， … ， y n ，构成 n 个数对 (x 1 ， y 1 ) ， (x 2 ， y 2 ) ， … ， ( x n ， y n ) ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 由题意得： (x i ， y i )(i =1 ， 2 ， … ， n) 在 如图所示的正方形中，而平方和小于 1 的点均在如图 所示的阴影中， 由几何概型概率计算公式知 所以 π= 3.(2015 · 全国卷 Ⅰ) 投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试 . 已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6 ，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ( 　　 ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 【 解析 】 选 A. 根据独立重复试验公式得，该同学通过 测试的概率为 0.6 2 × 0.4+ × 0.6 3 =0.648. 4.(2014 · 全国卷 Ⅱ) 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75 ，连续两天为优良的概率是 0.6 ，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( 　　 ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 【 解析 】 选 A. 设某天空气质量优良，则随后一天空气质量也优良的概率为 p ， 则据题有 0.6=0.75 · p ，解得 p=0.8. 热点考向一 　古典概型、几何概型及条件概型 命题解读：高考对本考向的考查难度不大，主要是考查古典概型、几何概型公式的应用及条件概率公式的应用，三种题型都有可能出现 . 【 典例 1】 (1)(2016 · 北京高考 ) 从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为 ( 　　 ) (2)(2016 · 泉州一模 ) 如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴 上，点 B 的坐标为 (1 ， 0) ，且点 C 与点 D 在函数 f(x )= 的图象上 . 若在矩形 ABCD 内随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率等于 ( 　　 ) (3) 一个口袋中装有 6 个小球，其中红球 4 个，白球 2 个 . 如果不放回地依次摸出 2 个小球，则在第 1 次摸出红球的条件下，第 2 次摸出红球的概率为 ________. 【 解题导引 】 (1) 本题属于古典概型的概率计算问题 . (2) 先求 C 点的坐标，再求 D 点与 A 点的坐标，进而求得矩形面积与阴影部分图形的面积，代入几何概型概率公式求解 . (3) 先根据题意确定条件概率中的两个事件： “ 从口袋中摸出 2 个小球，第 1 次摸出红球 ” —— 这是前提， “ 从口袋中摸出 2 个小球，第 1 次摸出红球，第 2 次摸出的也是红球 ” ，求出相应的基本事件个数，然后代入古典概型的概率计算公式求值，最后代入条件概率的计算公式求值即可 . 【 规范解答 】 (1) 选 B. 把 5 名同学依次编号为甲乙丙丁 戊，基本事件空间 Ω ={ 甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙 丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊 } ，包含基本事件 总数 n=10. 设 A 表示事件“甲被选中”，则 A={ 甲乙，甲 丙，甲丁，甲戊 } ，包含基本事件数 m=4. 所以概率为 P= (2) 选 B. 因为 f(x )= B 点坐标为 (1 ， 0) ， 所以 C 点坐标为 (1 ， 2) ， D 点坐标为 (-2 ， 2) ， A 点坐标 为 (-2 ， 0) ，故矩形 ABCD 的面积为 2×3=6 ，阴影部分 的面积为 ×3×1= ，故 (3) 设 “ 第 1 次摸出红球 ” 为事件 A ， “ 第 2 次摸出红球 ” 为事件 B ，则 “ 第 1 次和第 2 次都摸出红球 ” 为事件 AB ，所求事件为 B|A. 事件 A 发生的概率为 P(A)= 事件 AB 发生的概率为 P(AB)= 由条件概率的计算公式可得，所求事件的概率为 答案： 【 一题多解 】 本题还可用以下方法求解： 因为已知第一次摸出的球为红球，故第二次摸球等价 于从 3 个红球、 2 个白球中任取一个球，故所求概率 P= 答案： 【 方法规律 】 1. 利用古典概型求概率的关键及注意点 (1) 关键：正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识 . (2) 注意点：对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏 . 2. 几何概型的适用条件及求解关键 (1) 适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解 . (2) 求解关键：构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域 . 3. 条件概率的求法 (1) 利用定义，分别求 P(A) 和 P(AB) ，得 P(B|A)= 这是通用的求条件概率的方法 . (2) 借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事 件数 n(A ) ，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基 本事件数，即 n(AB ) ，得 P(B|A)= 【 题组过关 】 1.(2016 · 全国卷 Ⅰ) 为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 将 4 种颜色的花任选 2 种种在花坛中，余 下的 2 种花种在另一个花坛中，有 6 种种法，其中红色 和紫色的花不在同一花坛的种数有 4 种，故概率为 2. 已知 a∈{-2 ， 0 ， 1 ， 3 ， 4} ， b∈{1 ， 2} ，则函数 f(x )=(a 2 -2)x+b 为增函数的概率是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 因为 f(x )=(a 2 -2)x+b 为增函数，所以 a 2 - 2>0 ，又 a ∈ {-2 ， 0 ， 1 ， 3 ， 4} ，所以 a ∈ {-2 ， 3 ， 4} ， 又 b ∈ {1 ， 2} ，所以函数 f(x ) 为增函数的概率是 3.(2016 · 山东高考 ) 在 [-1 ， 1] 上随机地取一个数 k ，则事件 “ 直线 y= kx 与圆 (x-5) 2 +y 2 =9 相交 ” 发生的概率为 ______. 【 解析 】 若直线 y= kx 与圆 (x-5) 2 +y 2 =9 相交，则有圆 心到直线的距离 d= 即 所以所求概率 答案： 【 加固训练 】 1.(2016 · 贵阳二模 ) 若 k∈[-3 ， 3] ，则 k 的值使得过 A(1 ， 1) 可以作两条直线与圆 (x-k) 2 +y 2 =2 相切的概率等于 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 由题可知点在圆外，过该点可作两条直 线与圆相切 . 故使圆心与点 A 的距离大于半径即可，即 (1-k) 2 +1>2 ，解得 k<0 或 k>2 ，所以所求 k ∈ [-3 ， 0) ∪ (2 ， 3] ，所求概率 P= 2.(2016 · 唐山一模 ) 甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为 350 个、 700 个、 1050 个，现用分层抽样的方法随机抽取 6 个零件进行检验 . (1) 求从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的件数 . (2) 从抽取的 6 个零件中任意取出 2 个，已知这 2 个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的概率 . 【 解析 】 (1) 由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件数分别为 1 ， 2 ， 3. (2) 记抽取的 6 个零件为 a 1 ， b 1 ， b 2 ， c 1 ， c 2 ， c 3 . 事件 “ 这 2 个零件都不是甲车床加工的 ” 可能结果为 (b 1 ， b 2 ) ， (b 1 ， c 1 ) ， (b 1 ， c 2 ) ， (b 1 ， c 3 ) ， (b 2 ， c 1 ) ， (b 2 ， c 2 ) ， (b 2 ， c 3 ) ， (c 1 ， c 2 ) ， (c 1 ， c 3 ) ， (c 2 ， c 3 ) ，共 10 种可能； 事件 “ 其中至少有一个是乙车床加工的 ” 可能结果为 (b 1 ， b 2 ) ， (b 1 ， c 1 ) ， (b 1 ， c 2 ) ， (b 1 ， c 3 ) ， (b 2 ， c 1 ) ， (b 2 ， c 2 ) ， (b 2 ， c 3 ) ，共 7 种可能 . 故所求概率为 P=0.7. 热点考向二 　互斥事件、对立事件及相互独立事件的概率 命题解读：互斥事件、对立事件常与古典概型相结合考查，相互独立事件主要考查事件同时发生的概率的求法，难度不大，各种题型都有可能出现 . 【 典例 2】 (1) 某个部件由两个 电子元件按如图方式连接而成， 元件 1 或元件 2 正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命 ( 单位：小时 ) 均服从正态分布 N(1000 ， 50 2 ) ，且各个元件能否正常工作相互独立 . 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 ________. (2)(2016 · 昆明一模 ) 在一块耕地上种植一种作物，每 季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上 的产量均有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： 作物产量 (kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市场价格 ( 元 /kg) 6 10 概率 0.4 0.6 ① 设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列； ②若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率 . 【 解题导引 】 (1) 由题意可知，只要元件 1 和元件 2 中有一个正常工作，则该部件就能正常工作，故可利用互斥事件的概率公式求解 . (2)① 利用 “ 利润 = 产量 × 市场价格 - 成本 ” ，计算出不同的利润，再求出各自的概率即可列出分布列；②由①可知第 i 季利润不少于 2000 元的概率，将问题转化为独立重复试验概率求解问题 . 【 规范解答 】 (1) 由正态分布知元件 1 ， 2 的平均使用寿 命为 1000 小时，设元件 1 ， 2 的使用寿命超过 1000 小时 分别记为事件 A ， B ，显然 P(A)=P(B)= 所以该部件的 使用寿命超过 1000 小时的事件为 所以其 概率 P= 答案： (2)① 设 A 表示事件 “ 作物产量为 300kg ” ， B 表示事件 “ 作物市场价格为 6 元 /kg ” ， 由题设知 P(A)=0.5 ， P(B)=0.4 ， 因为利润 = 产量 × 市场价格 - 成本， 所以 X 所有可能的取值为 500×10-1000=4000 ， 500×6-1000=2000 ， 300×10-1000=2000 ， 300×6-1000=800. P(X=4000)=P( )P( )=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3 ， P(X=2000)=P( )P(B)+P(A)P( ) =(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5 ， P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2 ， 所以 X 的分布列为 X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2 ② 设 C i 表示事件 “ 第 i 季利润不少于 2000 元 ” (i=1 ， 2 ， 3) ， 由题意知 C 1 ， C 2 ， C 3 相互独立，由①知， P(C i )=P(X=4000)+P(X=2000) =0.3+0.5=0.8(i=1 ， 2 ， 3) ， 3 季的利润均不少于 2000 元的概率为 P(C 1 C 2 C 3 )=P(C 1 )P(C 2 )P(C 3 )=0.8 3 =0.512 ； 3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为 =3×0.8 2 ×0.2=0.384 ， 所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.512+0.384=0.896. 【 母题变式 】 1. 若将本例 (1) 中部件构成图变为如图，其中元件 3 服从的正态分布与元件 1 ，元件 2 相同， 元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，则结果如何？ 【 解析 】 设元件 1 ， 2 ， 3 的使用寿命超过 1000 小时的事 件分别记为 A ， B ， C ，显然 P(A)=P(B)=P(C)= 所以该 部件的使用寿命超过 1000 小时的事件为： 所以该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 2. 若将本例 (1) 的条件变为一个电路如图所示， A ， B ， C ， D ， E ， F 为 6 个开关，其闭合的概率都是 且是相 互独立的，则灯亮的概率是多少？ 【 解析 】 设 A 与 B 中至少有一个不闭合的事件为 T ， E 与 F 至少有一个不闭合的事件为 R ， C ， D 不闭合的事件分别 为 C ， D ，则 P(T)=P(R)= 所以灯亮的概率 P=1-P(T) · P(R) · P(C) · P(D)= 【 方法规律 】 求复杂事件概率的方法及注意点 (1) 直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解 . (2) 间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解 . 对于 “ 至少 ”“ 至多 ” 等问题往往也用这种方法求解 . (3) 注意点：注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同 . 【 题组过关 】 1.(2016 · 南昌二模 ) 现有编号从一到四的四个盒子， 甲把一个小球随机放入其中一个盒子，但有 的概率 随手扔掉，然后让乙按编号顺序打开每一个盒子，直 到找到小球为止 ( 或根本不在四个盒子里 ). 假设乙打开 前两个盒子没有小球，则小球在最后一个盒子里的概 率为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 不妨在原有的 4 个盒子的基础上增加一 个盒子，且第 5 个盒子不能打开， 小球被随手扔掉可看做放入第 5 个盒子 . 此时小球在第五个盒子里的概率都是 由于小球不 在第一、第二个盒子里， 就只能在第三、四、五个盒子里，又因为在每个盒子 里的概率相等， 所以这个小球在最后一个盒子里的概率为 2.(2016 · 贵阳一模 ) 在某中学举办的校园文化周活动中，从周一到周五的五天中，每天安排一项内容不同的活动供学生选择参加，要求每位学生必须参加三项活动，其中甲同学必须参加周一的活动，不参加周五的活动，其余三天的活动随机选择两项参加，乙同学和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加 . (1) 求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率 . (2) 设 X 表示甲、乙、丙三名同学选择周三的活动的人数之和，求 X 的分布列 . 【 解析 】 (1) 设 A 表示事件 “ 甲同学选周三的活动 ” ， B 表示事件 “ 乙同学选周三的活动 ” ，则 P(A)= 因为事件 A ， B 相互独立， 所以甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的 概率为 (2) 设 C 表示事件 “ 丙同学选周三的活动 ” ，则 P(C)= X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3. 所以 X 的分布列为 【 加固训练 】 1. 现有 10 道题，其中 6 道甲类题， 4 道乙 类题，张同学从中任选 3 道题作答 . 已知所选的 3 道题中 有 2 道甲类题， 1 道乙类题 . 设张同学答对每道甲类题的 概率都是 答对每道乙类题的概率都是 且各题答 对与否相互独立，则张同学恰好答对 2 道题的概率为 __________. 【 解析 】 设张同学答对甲类题的数目为 x ，答对乙 类题的数目为 y ，答对题的总数为 X ，则 X= x+y . 所以 P(X=2)= P(x =2 ， y=0)+P(x=1 ， y=1)= 答案： 2.(2016 · 汉中二模 ) 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某 个用人单位的职位， 3 人能被选中的概率分别为 且各自能否被选中互不影响 . (1) 求 3 人同时被选中的概率 . (2)3 人中有几人被选中的情况最容易出现？ 【 解析 】 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A ， B ， C ，则 (1)3 人同时被选中的概率为 P 1 =P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= (2)3 人中有 2 人被选中的概率为 P 2 = 3 人中只有 1 人被选中的概率为 3 人均未被选中的概率为 P 4 = 由于 P 3 >P 2 >P 1 =P 4 ，即 P 3 最大 . 综上可知， 3 人中只有 1 人被选中的情况最容易出现 . 热点考向三 　离散型随机变量的分布列 命题解读：离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，试题类型有选择题，也有填空题，但更多的是解答题，难度中档 . 命题角度一　超几何分布 【 典例 3】 (2016 · 兰州一模 ) 袋中装有大小相同的 8 个小球，其中 5 个白球的编号分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 3 个黑球的编号分别为 1 ， 2 ， 3 ，从袋中任意取出 3 个球 . (1) 求取出的 3 个球编号都不相同的概率 . (2) 记 X 为取出的 3 个球中编号的最大值，求 X 的分布列与数学期望 . (3) 记每次取出的 3 个球所得的分数为 Y ，其中 Y=2X+1(X 为取出的 3 个球中编号的最大值 ) ，求 Y 的数学期望 . 【 解题导引 】 (1) 因为一共取出 3 个球，故由题意可知 编号都不相同的对立事件是 3 个球中有两个球的编号相 同，所以先利用排列、组合知识求出所求事件的对立 事件的概率，然后转化为所求即可 .(2) 先根据小球编 号情况确定 X 的所有可能取值，分析其每个值对应事件 的性质和类型，利用排列、组合的知识求出相应的概 率，然后列表即得分布列，最后代入数学期望的计算公式求值即可 .(3) 根据两个变量之间的关系确定两个变量的数学期望之间的关系，然后直接利用 (2) 的结果表示所求 . 【 规范解答 】 (1) 记 “ 取出的 3 个球编号都不相同 ” 为 事件 A ， “ 取出的 3 个球中恰有两个球编号相同 ” 为事 件 B ，则由题意知，事件 A 与事件 B 互为对立事件 . 事件 B 表示从 3 对编号相同的小球中选取一对，再从其 余的 6 个小球中任选一个即可，故 P(B)= 所以 P(A)=1-P(B)= (2) 由题意，知 X 表示取出的 3 个球中编号的最大值， 故 X 的所有可能取值为 2 ， 3 ， 4 ， 5. 所以 X 的分布列为 故其数学期望为 E(X)= (3) 由已知得 Y=2X+1 ，所以 E(Y)=2E(X)+1= 命题角度二　与独立重复试验有关的分布列 【 典例 4】 (2016 · 山东高考 ) 甲、乙两人组成 “ 星队 ” 参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语， 在一轮活动中，如果两人都猜对，则 “ 星队 ” 得 3 分； 如果只有一个人猜对，则 “ 星队 ” 得 1 分；如果两人都 没猜对，则 “ 星队 ” 得 0 分 . 已知甲每轮猜对的概率 是 乙每轮猜对的概率是 每轮活动中甲、乙猜对 与否互不影响 . 各轮结果亦互不影响 . 假设 “ 星队 ” 参 加两轮活动，求： (1) “ 星队 ” 至少猜对 3 个成语的概率 . (2) “ 星队 ” 两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 E(X). 【 解题导引 】 (1) 要弄清 “ 至少猜对 3 个 ” 所包含的事件 . (2) 找全两轮得分之和为 X 的可能值，然后计算每种可能值的概率 . 【 规范解答 】 (1) 由题意， “ 星队 ” 至少猜对 3 个成语包含 “ 甲对一乙对二 ” 与 “ 甲对二乙对一 ”“ 甲乙全对 ” ， (2) “ 星队 ” 两轮得分之和 X 的可能值为： 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6. 可得随机变量 X 的分布列为 【 规律方法 】 求解随机变量分布列问题的两个关键点 (1) 求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率 . (2) 求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列 . 若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解 . 【 题组过关 】 1.(2016 · 平顶山二模 ) 随着人口老龄化的到来，我国 的劳动力人口在不断减少， “ 延迟退休 ” 已经成为人 们越来越关注的话题，为了了解公众对 “ 延迟退休 ” 的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取 了 50 人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄 [20 ， 25) [25 ， 30) [30 ， 35) [35 ， 40) [40 ， 45) 人数 4 5 8 5 3 年龄 [45 ， 50) [50 ， 55) [55 ， 60) [60 ， 65) [65 ， 70) 人数 6 7 3 5 4 年龄在 [25 ， 30) ， [55 ， 60) 的被调查者中赞成人数分别是 3 人和 2 人，现从这两组的被调查者中各随机选取 2 人，进行跟踪调查 . (1) 求年龄在 [25 ， 30) 的被调查者中选取的 2 人都是赞成的概率 . (2) 求选中的 4 人中，至少有 3 人赞成的概率 . (3) 若选中的 4 人中，不赞成的人数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 【 解析 】 (1) 设 “ 年龄在 [25 ， 30) 的被调查者中选取 的 2 人都是赞成 ” 为事件 A ，所以 (2) 设 “ 选中的 4 人中，至少有 3 人赞成 ” 为事件 B ， 所以 (3)X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3. 所以 P(X=0)= 所以 X 的分布列是 所以 E(X)= 2.(2016 · 芜湖二模 )2015 年 12 月 6 日宁安高铁正式通车 后，极大地方便了沿线群众的出行生活 . 小明与小强都 是在芜湖工作的马鞍山人，他们每周五下午都乘坐高 铁从芜湖返回马鞍山 . 因为工作的需要，小明每次都要 在 15 ： 30 至 18 ： 30 时间段出发的列车中任选一车次乘 坐；小强每次都要在 16 ： 00 至 18 ： 30 时间段出发的列 车中任选一车次乘坐 .( 假设两人选择车次时都是等可能地随机选取 ) (1) 求 2016 年 1 月 8 日 ( 周五 ) 小明与小强乘坐相同车次回马鞍山的概率 . (2) 记随机变量 X 为小明与小强在 1 月 15 日 ( 周五 ) ， 1 月 22 日 ( 周五 ) ， 1 月 29 日 ( 周五 ) 这 3 天中乘坐的车次相同的次数，求随机变量 X 的分布列与数学期望 . 附： 2016 年 1 月 1 日至 1 月 31 日每周五下午芜湖站至马鞍山东站的高铁时刻表 . 车次 芜湖发车 到达马鞍山东 耗时 G7174 13 ： 37 14 ： 02 25 分钟 G7178 15 ： 05 15 ： 24 19 分钟 D5606 15 ： 37 16 ： 02 25 分钟 D5608 17 ： 29 17 ： 48 19 分钟 G7088 18 ： 29 18 ： 48 19 分钟 【 解析 】 (1) 设“ 2016 年 1 月 8 日 ( 周五 ) 小明与小强两人 乘坐同一趟列车回马鞍山”为事件 A ，由题意，小明可 选择的列车有 3 趟，小强可选择的列车有 2 趟，其中两 人可以同时乘坐的有 2 趟 . 所以 P(A)= (2) 随机变量 X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3. 由题， X ～ 随机变量 X 的分布列为： 【 加固训练 】 (2016 · 湛江二模 ) 甲、乙两人轮流投 篮，每人每次投一球 . 约定甲先投且先投中者获胜，一 直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 . 设甲每 次投篮投中的概率为 乙每次投篮投中的概率为 且各次投篮互不影响 .(1) 求甲获胜的概率 . (2) 求投篮结束时甲的投篮次数 ξ 的分布列与期望 . 【 解析 】 设 A k ， B k 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中， 则 P(A k )= P(B k )= (k=1 ， 2 ， 3). (1) 记 “ 甲获胜 ” 为事件 C ， 则 P(C)= (2) 投篮结束时甲的投篮次数 ξ 的可能值为 1 ， 2 ， 3 ξ 的分布列为 期望