高中数学:2_1《数列的概念》测试(新人教A版必修5)

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高中数学:2_1《数列的概念》测试(新人教A版必修5)

基础过关 第1课时 数列的概念 ‎1.数列的概念:数列是按一定的顺序排列的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数N*或其子集{1,2,3,……n}的函数f(n).数列的一般形式为a1,a2,…,an…,简记为{an},其中an是数列{an}的第 项.‎ ‎2.数列的通项公式 一个数列{an}的 与 之间的函数关系,如果可用一个公式an=f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式. ‎ ‎3.在数列{an}中,前n项和Sn与通项an的关系为:‎ ‎ ‎ ‎4.求数列的通项公式的其它方法 ‎⑴ 公式法:等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法.‎ ‎⑵ 观察归纳法:先观察哪些因素随项数n的变化而变化,哪些因素不变;初步归纳出公式,再取n的特珠值进行检验,最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明.‎ ‎⑶ 递推关系法:先观察数列相邻项间的递推关系,将它们一般化,得到的数列普遍的递推关系,再通过代数方法由递推关系求出通项公式.‎ 典型例题 ‎ ‎ 例1. 根据下面各数列的前n项的值,写出数列的一个通项公式. ‎ ‎⑴ -,,-,…;‎ ‎⑵ 1,2,6,13,23,36,…;‎ ‎⑶ 1,1,2,2,3,3,‎ 解: ⑴ an=(-1)n ‎⑵ an=‎ ‎(提示:a2-a1=1,a3-a2=4,a4-a3=7,a5-a4=10,…,an-an-1=1+3(n-2)=3n-5.各式相加得 ‎⑶ 将1,1,2,2,3,3,…变形为 ‎∴‎ 变式训练1.某数列{an}的前四项为0,,0,,则以下各式:‎ ‎① an=[1+(-1)n] ② an=‎ ‎③ an= ‎ 其中可作为{an}的通项公式的是 ( )‎ A.① B.①②‎ C.②③ D.①②③‎ 解:D ‎ 例2. 已知数列{an}的前n项和Sn,求通项.‎ ‎⑴ Sn=3n-2‎ ‎⑵ Sn=n2+3n+1‎ 解 ⑴ an=Sn-Sn-1 (n≥2) a1=S1‎ ‎ 解得:an=‎ ‎ ⑵ an= ‎ 变式训练2:已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn-1)=n,(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 .‎ 解:当n=1时,a1=S1=11;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=10n-10n-1=9·10 n-1.故an=‎ 例3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系,探求其通项公式.‎ ‎⑴ a1=1,an=2an-1+1 (n≥2)‎ ‎⑵ a1=1,an= (n≥2)‎ ‎⑶ a1=1,an= (n≥2)‎ 解:⑴ an=2an-1+1(an+1)=2(an-1+1)(n≥2),a1+1=2.故:a1+1=2n,∴an=2n-1.‎ ‎⑵an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+33+3+1=.‎ ‎(3)∵‎ ‎∴an=‎ ‎ ‎ 变式训练3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),求该数列的通项公式.‎ 解:方法一:由an+1=得 ‎,∴{}是以为首项,为公差的等差数列.‎ ‎∴=1+(n-1)·,即an=‎ 方法二:求出前5项,归纳猜想出an=,然后用数学归纳证明.‎ 例4. 已知函数=2x-2-x,数列{an}满足=-2n,求数列{an}通项公式.‎ 解:‎ 得 变式训练4.知数列{an}的首项a1=5.前n项和为Sn且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).‎ ‎(1) 证明数列{an+1}是等比数列;‎ ‎(2) 令f (x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f (x)在点x=1处导数f 1 (1).‎ 解:(1) 由已知Sn+1=2Sn+n+5,∴ n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4,两式相减,得:‎ Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1=2an+1‎ 从而an+1+1=2(an+1)‎ 当n=1时,S2=2S1+1+5,∴ a1+a2=‎2a1+6,‎ 又a1=5,∴ a2=11‎ ‎∴ =2,即{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列.‎ ‎(2) 由(1)知an=3×2n-1 ‎ ‎∵ =a1x+a2x2+…+anxn ‎∴ =a1+‎2a2x+…+nanxn-1‎ 从而=a1+‎2a2+…+nan ‎=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1)‎ ‎=3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+…+n)‎ ‎=3[n×2n+1-(2+…+2n)]-‎ ‎=3(n-1)·2n+1-+6‎ 归纳小结 ‎1.根据数列的前几项,写出它的一个通项公式,关键在于找出这些项与项数之间的关系,常用的方法有观察法、通项法,转化为特殊数列法等.‎ ‎2.由Sn求an时,用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件,a1应由a1=S1来确定,最后看二者能否统一.‎ ‎3.由递推公式求通项公式的常见形式有:an+1-an=f(n),=f(n),an+1=pan+q,分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).‎
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