- 2021-06-30 发布 |
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文档介绍
高中数学:2_1《数列的概念》测试(新人教A版必修5)
基础过关 第1课时 数列的概念 1.数列的概念:数列是按一定的顺序排列的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数N*或其子集{1,2,3,……n}的函数f(n).数列的一般形式为a1,a2,…,an…,简记为{an},其中an是数列{an}的第 项. 2.数列的通项公式 一个数列{an}的 与 之间的函数关系,如果可用一个公式an=f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式. 3.在数列{an}中,前n项和Sn与通项an的关系为: 4.求数列的通项公式的其它方法 ⑴ 公式法:等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法. ⑵ 观察归纳法:先观察哪些因素随项数n的变化而变化,哪些因素不变;初步归纳出公式,再取n的特珠值进行检验,最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明. ⑶ 递推关系法:先观察数列相邻项间的递推关系,将它们一般化,得到的数列普遍的递推关系,再通过代数方法由递推关系求出通项公式. 典型例题 例1. 根据下面各数列的前n项的值,写出数列的一个通项公式. ⑴ -,,-,…; ⑵ 1,2,6,13,23,36,…; ⑶ 1,1,2,2,3,3, 解: ⑴ an=(-1)n ⑵ an= (提示:a2-a1=1,a3-a2=4,a4-a3=7,a5-a4=10,…,an-an-1=1+3(n-2)=3n-5.各式相加得 ⑶ 将1,1,2,2,3,3,…变形为 ∴ 变式训练1.某数列{an}的前四项为0,,0,,则以下各式: ① an=[1+(-1)n] ② an= ③ an= 其中可作为{an}的通项公式的是 ( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③ 解:D 例2. 已知数列{an}的前n项和Sn,求通项. ⑴ Sn=3n-2 ⑵ Sn=n2+3n+1 解 ⑴ an=Sn-Sn-1 (n≥2) a1=S1 解得:an= ⑵ an= 变式训练2:已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn-1)=n,(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 . 解:当n=1时,a1=S1=11;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=10n-10n-1=9·10 n-1.故an= 例3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系,探求其通项公式. ⑴ a1=1,an=2an-1+1 (n≥2) ⑵ a1=1,an= (n≥2) ⑶ a1=1,an= (n≥2) 解:⑴ an=2an-1+1(an+1)=2(an-1+1)(n≥2),a1+1=2.故:a1+1=2n,∴an=2n-1. ⑵an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+33+3+1=. (3)∵ ∴an= 变式训练3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),求该数列的通项公式. 解:方法一:由an+1=得 ,∴{}是以为首项,为公差的等差数列. ∴=1+(n-1)·,即an= 方法二:求出前5项,归纳猜想出an=,然后用数学归纳证明. 例4. 已知函数=2x-2-x,数列{an}满足=-2n,求数列{an}通项公式. 解: 得 变式训练4.知数列{an}的首项a1=5.前n项和为Sn且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*). (1) 证明数列{an+1}是等比数列; (2) 令f (x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f (x)在点x=1处导数f 1 (1). 解:(1) 由已知Sn+1=2Sn+n+5,∴ n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4,两式相减,得: Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1=2an+1 从而an+1+1=2(an+1) 当n=1时,S2=2S1+1+5,∴ a1+a2=2a1+6, 又a1=5,∴ a2=11 ∴ =2,即{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列. (2) 由(1)知an=3×2n-1 ∵ =a1x+a2x2+…+anxn ∴ =a1+2a2x+…+nanxn-1 从而=a1+2a2+…+nan =(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1) =3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+…+n) =3[n×2n+1-(2+…+2n)]- =3(n-1)·2n+1-+6 归纳小结 1.根据数列的前几项,写出它的一个通项公式,关键在于找出这些项与项数之间的关系,常用的方法有观察法、通项法,转化为特殊数列法等. 2.由Sn求an时,用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件,a1应由a1=S1来确定,最后看二者能否统一. 3.由递推公式求通项公式的常见形式有:an+1-an=f(n),=f(n),an+1=pan+q,分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).查看更多