高中数学讲义微专题32 解三角形中的不等问题

高中数学讲义微专题32 解三角形中的不等问题

微专题 32 解三角形中的不等问题 一、基础知识： 1、正弦定理： ，其中 为 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具 备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1） （2） （恒等式） （3） 2、余弦定理： 变式： 此公式在已知 的情况下，配合均值不等式可得到 和 的最值 3、三角形面积公式： （1） （ 为三角形的底， 为对应的高） （2） （3） （其中 为外接圆 半径） 4、三角形内角和： ，从而可得到： （1）正余弦关系式： （2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式： 6、辅助角公式： ，其中 7、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比 第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： 其中由 利用的是余弦函数单调性，而 仅在一 2sin sin sin a b c RA B C   R ABC 2 2 2 2 2 2sin sin sin sin sinA B A B C a b ab c       cos cos sin cos sin cos sinb C c B a B C C B A     2 2 sin sin sin bc B C a A 2 2 2 2 cosa b c bc A      22 2 1 cosa b c bc A    ,a A b c bc 1 2S a h  a h 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ac B   21 1sin 2 sin 2 sin sin 2 sin sin sin2 2S ab C R A R B C R A B C     R A B C       sin sin sinA B C B C          cos cos cosA B C B C         sin sin cos sin cosA B A B B A    cos cos cos sin sinA B A B A B    2 2sin cos sina A b B a b A     tan b a  sin sin cos cosa b A B A B A B       cos cosA B A B   sin sinA B A B   个三角形内有效。 8、解三角形中处理不等关系的几种方法 （1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而 将问题转化为求函数的值域 （2）利用均值不等式求得最值 二、例题精析： 例 1：△ 各角的对应边分别为 ，满足 ，则角 的范围是 A． B． C． D． 思路：从所给条件入手，进行不等式化简： ，观察到余弦定理公式特征，进 而 利 用 余 弦 定 理 表 示 ： ， 可 解 得 ： 答案：A 例 2：在 中，角 所对的边分别为 ，已知 （1）求 的大小 （2）若 ，求 的取值范围 解：（1）由条件 可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角” （2）思路：考虑在 中，已经已知 ，从而可求出外接圆半径 ，进而 与 也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”， 但不易利用 这个条件，考虑利用角来解决 解： ABC cba ,, 1b c a c a b   A (0, ]3  (0, ]6  [ , )3   [ , )6   1b c a c a b          2 2 2b a b c a c a c a b b c a bc           cos A 2 2 2b c a bc   2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc     0, 3A     ABC , ,A B C , ,a b c sin3cos a c CA  A 6a  b c sin3cos a c CA  sin sin 1sin sin3cos 3cos a c A C C CA A     tan 3A  3A   ABC ,A a R ,B C ,b c 60A   4 3sin sin sin b c a B C A   4 3sin ,b B  4 3sinc C 3A  2 2 3 3B C C B       例 3：在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且 （1）求角 （2）求 的取值范围 解：（1）方法一：使用余弦定理 由余弦定理得： 方法二：观察等式 齐次，考虑使用正弦定理 （2） 为锐角三角形 小炼有话说：要注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而 用 代换，所以 满   24 3 sin sin 4 3 sin sin 3b c B C B B             3 1 3 14 3 sin cos sin 12 sin cos 12sin2 2 2 2 6B B B B B B                      20 3B   5 1, ,sin ,16 6 6 6 2B B                        6,12b c   ABC , ,A B C , ,a b c 2 cos 2b C a c  B sin sinA C 2 2 2 2 cos 2 2 22 a b cb C a c b a cab        2 2 2 2 2 2b c a ac b a c ac         2 2 2 2 cosb a c ac B   1cos 2 3B B     , ,a b c 2 cos 2 2sin cosC 2sinA sinCb C a c B      2sin cos 2sin sin sin 2sin cosB C B C C C C B      1cos 2 3B B     2 2 3 3A C C A      22 3 1 3 1sin sin sin cos sin sin cos sin3 2 2 2 2A A A A A A A A              3 1 cos2 1 1sin2 sin 24 4 2 6 4 AA A          ABC , , 0, 2A B C      0 2 2 6 20 3 2 A A A                52 ,6 6 6A         1sin 2 ,16 2A             1 3sin sin ,2 4A C      C A C 足锐角的条件也由 来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有 范围，则这个范围由主元承担。 例 4：在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， 且 （1）当 时，求 的值 （2）若角 为锐角，求 的取值范围 解：（1） 或 （2）思路：以“角 为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而 也刚好得 到 与 的关系式，再由 可解得 的范围 解：考虑余弦定理 为锐角， 例 5：若 的内角满足 ，则 的最小值是 思 路 ： 所 求 的 最 值 可 想 到 余 弦 定 理 用 边 进 行 表 示 ， ， 考 虑 角化边得到： ，进而消去 计算表达式的最值即可 解： 由 可得： A ABC , ,A B C , ,a b c  sin sin sinA C p B p R   21 4ac b 5 , 14p b  ,a c B p 5 5 5sin sin sin4 4 4A C B a c b      1 4ac  5 1 4 11 44 aa c cac           1 4 1 a c     B 21, 4a c pb ac b   p cosB 0 cos 1B  p    22 2 2 2 cos 2 1 cosb a c ac B a c ac B        2 2 2 21 1 cos2b p b b B    2 3 1 cos2 2p B   B 0 cos 1B   2 3 ,22p      0a c pb p    6 , 22p       ABC sin 2 sin 2sinA B C  cosC cosC 2 2 2 cos 2 a b cC ab   sin 2 sin 2sinA B C  2 2a b c  c 2 2 2 cos 2 a b cC ab   sin 2 sin 2sinA B C  2 2a b c  2 2 a bc   答案： 例 6：在锐角 中 、 的对边长分别是 、 ,则 的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 思 路 ： 本 题 所 给 条 件 为 角 的 关 系 ， 不 易 从 边 入 手 ， 所 以 将 所 求 进 行 边 化 角 ： ，只需求出 的范围即可。条件所给的是 关系，从 而 ， 利 用 减 少 角 的 个 数 ： ，代入可得： ， 根据锐角三角形求出 的范围即可。 解： 由 因为 为锐角三角形 解得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 2 3 1 24 2 2cos 2 2 2 8 4 4 a ba b a b aba b c a bC ab ab ab b a                  3 62 8 4 4 a b b a   6 4 ABC 2 ,A B   B C b c + b b c 1 1( , )4 3 1 1( , )3 2 1 2( , )2 3 2 3( , )3 4 sin 1 sin+ sin sin 1 sin b B Cb c B C B    sin sin C B ,A B sin sin cos sin cos sin sin C A B B A B B  2 ,A B   2sin sin2 2sin cos ,cos cos2 2cos 1A B B B A B B     2sin 4cos 1sin C BB   B sin 1 sin+ sin sin 1 sin b B Cb c B C B     sinsin sin cos sin cos sin sin sin A BC A B B A B B B    22 sin sin2 2sin cos ,cos cos2 2cos 1A B A B B B A B B         2 2 2sin 2sin cos sin cos2 2cos cos2 4cos 1sin sin C B B B B B B BB B       ABC 0 2 0 2 2 0 3 2 B A B C B                 6 4B   答案：B 小炼有话说：本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关 系，只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分 式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是 ，所以在求 表达式范围时将 均用 来进行表示，以便于求得值域。 例 7：已知 的角 所对的边分别是 ，且 ，若 的 外接圆半径为 ，则 面积的最大值为__________ 思路：由 可联想到余弦定理求 ，所以 ，从 而 ，所求面积可表示为 ，则只需解出 的最大值即可。由外 接 圆 半 径 及 可 得 ： ， 所 以 ， 而 ，所以有 ，所以 答案： 小炼有话说：本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出 ，在计算面积时有 三组边角可供选择： ，通常是“依角而选”，从而把目 标转向求 的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再配上均值不等式往往可 以找到最值。 例 8：设 的内角 所对的边为 ，若 成等比数列，则 的取值范围 是______________ 思路：由 成等比数列可得： ，也可视为 ，所求表达式 也可视为 。如果从角入手，则 无法与 2 3cos ,2 2B        2sin 4cos 1 1,2sin C BB    1 1 1,sin+ 3 21 sin b Cb c B      B ,A C B ABC , ,A B C , ,a b c 2 2 2 2 3a b c ab   ABC 3 2 2 ABC 2 2 2 2 3a b c ab   cosC 2 2 2 1cos 2 3 a b cC ab    2 2sin 3C  1 sin2ABCS ab C ab 3 2 2R  sinC 2 sin 4c R C  2 2 216 3a b ab   2 2 2a b ab  216 2 123 ab ab ab    1 2 212 4 22 3ABCS     4 2 C 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ac B   ab ABC , ,A B C , ,a b c , ,a b c sin sin B A , ,a b c 2b ac 2sin sin sinB A C sin sin B A b a  2 2sin sin sin sin sin sinB A C B A A B    sin sin B A 联系。所以考虑从边入手。由 可得： ，在 中，若 ，则 ，所以 ，即 ，同理，若 ， 则 ，解得： 。综上 答案： 例 9：已知△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 ，且 BC 边上的高为 ，则 的取 值范围为______． 思路：一方面由所求 出发，可用均值不等式得到 ，验证 时 存在这样的三角形，得到最小值；再从另一个角度入手 可联想到余弦定理 ， 而 由 题 目 中 的 底 和 高 可 得 ，所以有： ，只需求得 的 范围即可，考虑 ， ， 所以 ，综上： 答案： 小炼有话说： （1）在解三角形中，能够从所给式子中发现定理的影子，可帮助你迅速确定解题方向，本题 没有选择边化角，而是抓住余弦定理的影子为突破口，然后再去寻找条件能否把多余的元消 去（比如本题中的 ），从而整理出一个可操作的表达式 （2）最后运用辅角公式时，辅助角并不是特殊角。这种情况下可用 代替俯角，并用 的一 个三角函数值刻画其大小。本题可通过作图大致观察到 的范围，从而确定 的范围能 经过 ，所以 能够取到 2b ac 2bc a ABC a b c  c a b  2b a ba   2 1 51 0 1 2 b b b a a a           c b a  2ba b c a b a     5 1 12 b a    sin 5 1 5 1,sin 2 2 B b A a        5 1 5 1,2 2        , ,a b c a b c c b b c c b 2 2b c b c c b c b    b c 2 2b c b c c b bc   2 2 2 2 cosa b c bc A   2 21 1 sin sin2 2ABCS a bc A a bc A    2 2 cos sin 2 cos sin 2cosb c a bc A bc A bc A A Ac b bc bc       sin 2cosA A  1 2sin 2cos 5 sin cos 5sin 5 5 A A A A A         tan 2  sin 2cos 5A A  2, 5b c c b      2, 5   2a   A A  2  5 例 10 ： （ 2014 ， 重 庆 ） 已 知 的 内 角 满 足 ， 面 积 满 足 ， 记 分 别 是 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 本 题 需 判 断 的 式 子 比 较 多 ， 先 从 条 件 出 发 向 所 求 靠 拢 。 化 简 已 知 条 件 可 得 ， 即 ， 联 想 到 面 积 公 式 及 可 得 ： ， 从 而 可 用 进 行 表 示 求 出 范 围 ， 另 一 方 面 可 由 ，利用不等式的传递性即可求出 的范围 解： 即 由正弦定理可得： 所以由 可得： ，所以 均不正确 正确 ABC , ,A B C   1sin2 sin( ) sin 2A A B C C A B       S 1 2S  , ,a b c , ,A B C   8bc b c    16 2ab a b  6 12abc  12 24abc    1sin2 sin( ) sin 2A A B C C A B       14sin sin sin 2A B C  1sin sin sin 8A B C  22 sin sin sinS r A B C 1 2S  211 2 2 2 24 r r     abc r  b c a bc b c abc      bc b c   1sin2 sin( ) sin 2A A B C C A B           1sin2 sin 2 sin 2 2A B C       1sin2 sin2 sin2 2A B C      1sin2 sin2 sin 2 2 2A B A B     1sin2 sin2 sin2 cos2 sin2 cos2 2A B A B B A         1sin2 1 cos2 sin2 1 cos2 2A B B A     2 2 12sin2 sin 2sin2 sin 2A B B A   2 2 14sin cos sin 4sin cos sin 2A A B B B A     1sin sin sin cos sin cos 8A B A B B A     1sin sin sin 8A B A B   1sin sin sin 8A B C  2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C   2 21 1 1sin 2 sin 2 sin sin 2 sin sin sin2 2 4ABCS ab C R A R B C R A B C R      1 2S  211 2 2 2 24 R R     3 38 sin sin sin 8,16 2abc R A B C R        ,C D b c a    8bc b c abc    A 同理 ， 不正确 三、近年好题精选 1、（2016，上海十校联考）设锐角 的三内角 所对边的边长分别为 ，且 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2、（2016 江苏高三第一次联考）在 中， 是 的中点，边 （含 端点）上存在点 ，使得 ，则 的取值范围是_______ 3、（2015，新课标 I）在平行四边形 中， ， ，则 的取值 范围是_______ 4、（2016，哈尔滨六中上学期期末考试）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则 的面积最大值为_________ 5、（2014，新课标全国卷 I）已知 分别为 三个内角 的对边， 且 ，则 面积的最大值为_______ 6、（2016，洛阳 12 月月考）在 的内角 所对的边分别为 ，则下列命题正确 的是________ ① 若 ，则 ② 若 ，则 ③ 若 ，则 为锐角三角形 ④ 若 ，则 7、（2014，陕西） 的内角 的对边分别为 （1）若 成等差数列，证明： （2）若 成等比数列，求 的最小值 8、设 的内角 所对的边分别为 且 . （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的周长 的取值范围. a b c    8ab a b abc    B ABC , ,A B C , ,a b c 1, 2a B A  b  2, 3  1, 3  2,2  0,2 ABC 3, 4,AB AC N  AB AC M BM CN cos A ABCD 75A B C    2BC  AB ABC , ,A B C , ,a b c 2, 2c b a  ABC , ,a b c ABC , ,A B C 2a      2 sin sin sinb A B c b C    ABC ABC , ,A B C , ,a b c 2sin sin 2sinA B C 0 4C   2a b c  0 3C   4 4 4a b c  ABC   2a b c ab  2C  ABC , ,A B C , ,a b c , ,a b c  sin sin 2sinA C A C   , ,a b c cosB ABC CBA ,, ,,, cba bcCa  2 1cos A 1a ABC l 9、已知 和 满足： （1）求证： 是钝角三角形，并求最大角的度数 （2）求 的最小值 10、（2016，安徽六校联考）已知函数 . （1）求 的对称中心 （2）若锐角 中角 所对的边分别为 ，且 ，求 的取值范围 习题答案： 1、答案：A 解析： 由 锐 角 可 知 ： ， 解 得 ， 所 以 ，从而 2、答案： 解析： 方法一：若 存在点 ，使得 ，则 为锐角或直角 在 中 代入 ，可得： ABC 1 1 1A B C 1 1 1sin cos ,sin cos ,sin cos ,A A B B C C   ABC 2 2 2sin sin sinA B C    2cos 2 cos2 13f x x x        f x ABC , ,A B C , ,a b c   0f A  b c 2 sin sin 2B A B A   sin 2sin cosB A A  2 cos 2cosb a A A   ABC   0 2 2 0 2 0 3 2 B A A C A B A                     6 4A   2 3cos ,2 2A       2cos 2, 3b A  3,18     AC M BM CN BNC  BNC 2 2 2 0BN CN BC   2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos CN AN AC AN AC A BC AB AC AB AC A             2 2 2 2 22 cos 2 cos 0BN AN AC AN AC A AB AC AB AC A          3, 3, 42BN AN AB AC     9 9 16 12cos 9 16 24cos 04 4 A A          方法二（向量法） 以 为 原 点 ， 直 线 为 轴 建 系 ， 则 ， 设 ， 由 和 可得 3、答案： 解 析 ： 延 长 交 于 点 ， 则 在 中 ， 设 ， 则 由 正 弦 定 理 可 得 设 ， 则 由 正 弦 定 理 ： 可得： ，整理后可得： ， 所 以 ， 由 可 知 ，所以 4、答案： 解 析 ： 由 余 弦 定 理 可 得 ： ， 代 入 可 得 ： 912cos 2A  3cos 8A  3cos ,18A      A AB x   33,0 , ,02B N       4cos ,4sinC A A  0 4AM t t    cos , sinM t A t A   3cos 3, sin , 4cos , 4sin2BM t A t A CN A A              3cos 3 4cos sin 4sin 02BM CN BM t A A t A A               1 55cos 83 8A t       0,4t   cos 1,1A  3cos ,18A      6 2, 6 2  ,BA CD E ADE 105 , 45 , 30DAE ADE E        AD x sin sin sin AD AE DE E ADE EAD  6 22 , 2AE x DE x  CD m sin sin CE BC B E 6 2 22 sin75 sin30 m x   6 2 6 22m x   6 2 2AB BE AE CE AE x       6 2 6 22m x    0,2x   6 2, 6 2AB    2 2 2 2 2 2 cosc a b ab C   2, 2c b a  ，即 ，所以有： 所以当 时， 有最大值为 5、答案： 解析：由正弦定理可得： 且 即 6、答案：①②③ 解析：① 由正弦定理可知： ，由余弦定理可得 ，整 理可得： ，所以 ② 从而 ，从而 ③ ， 所 以 2 2 24 2 2 2 cosa a a C   2 2 3 4cos 2 2 aC a  4 2 2 2 2 4 2 4 1 2 2 24 16 1sin 1 cos 24 162 2 2 8 4ABC a aS ab C a C a a aa              221 12 1284 a    12a  ABCS 2 2 3          2 sin sin sin 2b A B c b C b a b c b c         2 22 2ab b a b c bc      2 2 2 24 4b c bc b c bc         2 2 24 2 cosa b c bc A    1cos 2 3A A     1 3sin2 4ABCS bc A bc   2 2 4b c bc   2 2 2b c bc  2 4bc bc   4bc  3ABCS  22ab c 2 2 2 2 cos2 abc a b ab C    2 2 1 1 1 3 22cos 12 2 4 4 4 2 aba b a bC ab b a              0 4C   2 2 2 2 2 2 2 23 2 3 3 14cos 2 2 8 8 4 a ba ba b c a ab b a bC ab ab ab b a                   3 1 3 1 1cos 28 4 8 4 2 a b a bC b a b a            0, 3C         2 24 4 4 2 2 2 2 22 0a b c a b c a b       ， 即 ， 则 ，所以 最大角为锐角。即 是锐角三角形 ④ 取 满足 ，则 ，不符题意 7、解析：（1） 成等差数列 ，由正弦定理可得： （2） 成等比数列 由余弦定理可得： 等号成立当且仅当 的最小值为 8、解析：（1） （2）       2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 0a b c a b c a b c        2 2 2 0a b c   2 2 2 cos 02 a b cC ab    ABC ABC 2, 1a b c     2a b c ab  3 2C    , ,a b c 2b a c   2sin sin sinB A C   B A C      sin sin 2sin 2sinA C A C A C         , ,a b c 2b ac  2 2 2 2 2 1 1 1cos 1 2 12 2 2 2 2 a c b a c ac a c a cB ac ac c a c a                     a c cosB 1 2 1 1cos sin cos sin sin2 2a C c b A C C B      1sin cos sin sin2A C C A C    1sin cos sin sin cos sin cos2A C C A C C A    1cos 2A  3A   1 2 sin sin sin 3 3 2 b c a B C A    2 2sin , sin 3 3 b B c C    21 sin sin 3 l a b c B C       解得： 9、解析：（1）不妨设 ，由 可得： 若 ，则 ，三式相加可得： ， 等式显然不成立 若 ，则 ，显然不成立  sin sin sin sin sin sin 3B C B A B B B           1 3 3 3sin sin cos sin cos2 2 2 2B B B B B     3sin 6B      20 3, 2 23 0 3 3 B A A B C C B                   20, 3B     5,6 6 6B         3sin sin , 32B C        2,3l  A B C  1 1 1 sin cos sin cos sin cos A A B B C C      1 1 1 cos cos2 cos cos2 cos cos2 A A B B C C                         0, 2A     , 0, 2B C     1 1 1 2 2 2 A A B B C C                1 1 1 3 3 2 2A B C A B C            2A  1 1cos sin 1 02A A    ，此时 ，三式相加可得： ，解得： （2）由（1）可得： 且 （在 处取得） 10、解析：（1） 对称中心为： 对称中心为： （2）由已知可得： ,2A       1 1 1 2 2 2 A A B B C C                1 1 12A B C A B C        2A A       3 4A  3 4C B  0, 4B     2 2 2sin sin sinA B C   2 3 1 cos2 1 cos2sin 4 2 2 B C     3 1 cos2 cos 22 2 4B B              3 1 3 2cos2 sin2 sin 22 2 2 2 4B B B          0, 4B     32 ,4 4 4B         2sin 2 ,14 2B             2 2 2 min 3 2sin sin sin 2A B C     8B    1 32 cos2 sin 2 cos2 12 2f x x x x        3sin 2 cos2 1 2sin 2 16x x x              2 6 12 2 kx k x k Z          ,112 k      12sin 2 1 0 sin 26 6 2A A                 （舍）或 因为 为锐角三角形 2 6 6A    52 6 6 3A A      3 1sin cos sinsin 3 13 2 2 sin sin sin 2tan 2 C C Cb B c C C C C           ABC 0 2 ,2 6 20 3 2 C C B C                    3tan 3C  1 ,22 b c     