2020高中数学 课时分层作业2 正弦定理（2）新人教A版必修5
课时分层作业(二) 正弦定理(2)
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．在△ABC中，若＝，则C的值为( )
【导学号：91432022】
A．30° B．45°
C．60° D．90°
B [由正弦定理得，＝＝，则cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.]
2．在△ABC中，b＋c＝＋1，C＝45°，B＝30°，则( )
A．b＝1，c＝ B．b＝，c＝1
C．b＝，c＝1＋ D．b＝1＋，c＝
A [∵＝＝＝＝2，∴b＝1，c＝.]
3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( )
【导学号：91432023】
A. B.
C. D．1
B [在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.]
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝( )
A. B.
C. D．－
B [由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
所以sin A＝sin Bsin A，故sin B＝.]
5．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于( )
【导学号：91432024】
- 5 -
A. B.
C. D．2
B [由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得＝2R＝＝＝.]
二、填空题
6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________(填序号)．
①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．
④ [①中a＝bsin A，有一解；②中csin B
b，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．]
7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________.
【导学号：91432025】
2 [在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2.]
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
[在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.]
三、解答题
9．在△ABC中，求证：＝.
【导学号：91432026】
[证明] 因为＝＝＝2R，
所以左边＝
- 5 -
＝＝＝＝右边．
所以等式成立．
10．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a、b及△ABC的内切圆半径．
[解] 由正弦定理知＝，
∴＝.
即sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
又∵a≠b且A，B∈(0，π)，
∴2A＝π－2B，即A＋B＝.
∴△ABC是直角三角形且C＝，
由 得a＝6，b＝8.
∴内切圆的半径为r＝＝＝2.
[冲A挑战练]
1．在△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是( )
【导学号：91432027】
A．[3，6] B．(2,4)
C．(3，4) D．(3,6]
D [∵A＝，∴B＋C＝π.
∴AC＋AB＝(sin B＋sin C)
＝
＝2
＝6sin，
∴B∈，∴B＋∈，
∴sin∈，
- 5 -
∴AC＋AB∈(3,6]．]
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
C [∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0，
∴tan A＝，
又∵A∈(0，π)，∴A＝，
由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C，即sin C＝1，∴C＝，B＝.]
3．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________.
【导学号：91432028】
(1，] [∵a＋b＝cx，∴x＝＝＝sin A＋cos A＝sin.
∵A∈，∴A＋∈，
∴sin∈，∴x∈(1，]．]
4．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________.
[由正弦定理，得＝，即sin C＝＝＝.
可知C为锐角，∴cos C＝＝.
∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝.]
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C.
(1)求角C的大小；
(2)求sin A－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小
【导学号：91432029】
[解] (1)由正弦定理及已知条件得sin Csin A＝sin Acos C．因为00，从而sin C＝cos C，则C＝.
(2)由(1)知，B＝－A，于是sin A－cos＝sin A－cos(π－A)＝sin A＋cos A＝2sin.
因为0
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