2020年高中数学第三章导数及其应用3
3.3.2 函数的极值与导数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A. B．－ C．－ln 2 D．ln 2
解析：y′＝2x＋x·2xln 2＝0，∴x＝－.
答案：B
2．函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的极大值是( )
A.＋ B．－＋
C.＋ D．1＋
解析：f ′(x)＝cos x＋，x∈(0，π)，
由f ′(x)＝0得cos x＝－，x＝.
且x∈时f ′(x)>0；x∈时f ′(x)<0，
∴x＝时，
f(x)有极大值f＝＋.
答案：C
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )
A．11或18 B．11 C．18 D．17或18
解析：∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，
∴f(1)＝10，且f ′(1)＝0，
即
解得或
而当时，函数在x＝1处无极值，
故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，
∴f(2)＝18.故选C.
答案：C
6
4.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：依题意，记函数y＝f ′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a
0；当x10，
故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝c.
答案：c
7．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．
解析：f ′(x)＝3x2－6b.
6
当b≤0时，f ′(x)≥0恒成立，函数f(x)无极值．
当b>0时，令3x2－6b＝0得x＝±.
由函数f(x)在(0,1)内有极小值，可得0<<1，
∴00，故－2是g(x)的极值点．
当－21时，g ′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．
所以g(x)的极值点为－2.
10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解析：(1)f ′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f ′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f ′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f ′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
6
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f ′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
[B组 能力提升]
1．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是( )
解析：因为[f(x)ex]′＝f ′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f ′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f ′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f ′(－1)>0，不满足f ′(－1)＋f(－1)＝0.
答案：D
2．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
解析：三次函数过原点，可设f(x)＝x3＋bx2＋cx，则f ′(x)＝3x2＋2bx＋c.由题设有
解得b＝－6，c＝9.∴f(x)＝x3－6x2＋9x，f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)·(x－3)．当x＝1时，函数f(x)取得极大值4，当x＝3时，函数取得极小值0，满足条件．
答案：B
3．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
解析：f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝1处取得极值，所以1是f′(x)＝0的根，将x＝1代入得a＝3.
答案：3
4．设f(x)＝，则f(x)的极大值点和极小值点分别是________．
解析：对f(x)求导得f′(x)＝. ①
若f′(x)＝0，
则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
结合①，可知
6
x
(－∞，)
(＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
答案：，
5．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解析：(1)f ′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a<0时，对x∈R，有f ′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f ′(x)>0，解得x<－或x>，
由f ′(x)<0，解得－0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f ′(x)＝3x2－3.
由f ′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知m的取值范围是(－3,1)．
6．已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)求函数f(x)的极值．
(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解析：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)．
令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.
6
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
所以f(x)在x＝1处取得极小值，又f(1)＝1，
所以f(x)的极小值为1，无极大值．
(2)k(x)＝f(x)－h(x)
＝x－2ln x－a(x＞0)，
所以k′(x)＝1－，令k′(x)＞0，
得x＞2，令k′(x)＜0，得0＜x＜2，
所以k(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
要使函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，
则需
所以2－2ln 2＜a≤3－2ln3。
6
