2020浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题一 4 第4讲 不等式
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第 4 讲 不等式
不等式的解法
[核心提炼]
1．一元二次不等式的解法
先化为一般形式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，
最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法
(1)
f（x）
g（x）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)
f（x）
g（x）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0.
[典型例题]
(1)已知函数 f(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式 f(x)＞0 的解集是(－1，3)，则不等式 f(－
2x)＜0 的解集是( )
A.(－∞，－3
2)∪(1
2，＋∞)
B.(－3
2，
1
2)
C.(－∞，－1
2)∪(3
2，＋∞)
D.(－1
2，
3
2)
(2)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是________．
【解析】 (1)由 f(x)＞0，得 ax2＋(ab－1)x－b＞0，又其解集是(－1，3)，
所以 a＜0，且{1－ab
a ＝2，
－b
a＝－3，
解得 a＝－1 或
1
3(舍去)，
所以 a＝－1，b＝－3，所以 f(x)＝－x2＋2x＋3，
所以 f(－2x)＝－4x2－4x＋3，
由－4x2－4x＋3＜0，得 4x2＋4x－3＞0，
解得 x＞
1
2或 x＜－
3
2，故选 A.
(2)当 a＝2 时，不等式化为－4<0，恒成立；
当 a≠2 时，
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由条件知{a－2 < 0
Δ＝4（a－2）2＋16（a－2） < 0，
解得－2
1 的解集为( )
A.(1
2，1 ) B．(－∞，1)
C.(－∞，
1
2)∪(1，＋∞) D.(1
2，2 )
解析：选 A.原不等式等价于
x
2x－1－1>0，即
x－（2x－1）
2x－1 >0，整理得
x－1
2x－1<0，
不等式等价于(2x－1)(x－1)<0，解得
1
21(a>0，a≠1)的解集为(－a，2a)，
且函数 f(x)＝ (1
a )x2＋2mx－m
－1的定义域为 R，则实数 m 的取值范围为________．
解析：当 a>1 时，由题意可得 x2－ax－2a2>0 的解集为(－a，2a)，这显然是不可能的．当
00，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c，或 ax＋b≤－c，然后根
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据 a，b 的取值求解即可；
②若 c<0，则|ax＋b|≤c 的解集为∅，|ax＋b|≥c 的解集为 R.
(2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法
①令每个绝对值符号里的一次式为 0，求出相应的根；
②把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；
③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上
的解集；
④这些解集的并集就是原不等式的解集．
2．绝对值不等式的性质(三角不等式)
(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是
用此定理求函数的最值时．
(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．
[典型例题]
(1)(2019·绍兴市诸暨市高考二模)已知 f(x)＝x 2＋3x，若|x－a|≤1，则下列不等式一
定成立的是( )
A．|f(x)－f(a)|≤3|a|＋3
B．|f(x)－f(a)|≤2|a|＋4
C．|f(x)－f(a)|≤|a|＋5
D．|f(x)－f(a)|≤2(|a|＋1)2
(2)(2019·新高考研究联盟第一次联考)已知函数 f(x)＝|x2－a|＋|x－b|(a，b∈R)，当 x∈[－
2，2]时，记 f(x)的最大值为 M(a，b)，则 M(a，b)的最小值为________．
【解析】 (1)因为|x－a|≤1，所以 a－1≤x≤a＋1，
因为 f(x)是二次函数，
所以 f(x)在区间[a－1，a＋1]上单调时，|f(x)－f(a)|取得最大值为|f(a＋1)－f(a)|或|f(a－1)－
f(a)|，而|f(a＋1)－f(a)|＝|(a＋1)2＋3(a＋1)－a2－3a|＝|2a＋4|≤2|a|＋4，
|f(a－1)－f(a)|＝|(a－1)2＋3(a－1)－a2－3a|＝|－2a－2|＝|2a＋2|≤2|a|＋2.
所以|f(x)－f(a)|≤2|a|＋4，故选 B.
(2)法一：根据对称性，不妨设 b≤0，x∈[0，2]，所以 f(x)＝|x 2－a|＋x－b，所以 M(a，
b)≥|x2－a|＋x－b≥|x2－a|＋x.
令 g(x)＝|x2－a|＋x，x∈[0，2]
①当 a≤0 时，g(x)＝x2＋x－a，g(x)max＝6－a≥6；
②当 0＜a＜4 时，g(x)＝{－x2＋x＋a，x ∈ [0， a]，
x2＋x－a，x ∈ [ a，2]
所以当 0＜a＜
1
4时，g(x)max＝max{ a，6－a}＝6－a＞
23
4 ；
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当
1
4≤a＜4 时，
g(x)max＝max{1
4＋a，6－a}
＝{1
4＋a，
23
8 ≤ a＜4，
6－a，
1
4＜a＜23
8 .
所以 g(x)max≥
25
8 .
③当 a≥4 时，g(x)＝－x2＋x＋a，g(x)max＝
1
4＋a≥
17
4 ；
综合①②③得 M(a，b)min＝
25
8 ，当且仅当 a＝
23
8 ，b＝0 时取到．
法二：f(x)＝max{|x2＋x－a－b|，|x2－x－a＋b|}，令 f1(x)＝|x2＋x－a－b|，f2(x)＝|x2－x－a
＋b|，
g1(x)＝x2＋x－a－b，g2(x)＝x2－x－a＋b，
根据图象可知：f1(x)max
＝max{|6－a－b|，|－1
4－a－b|}，
f2(x)max＝max{|6－a＋b|，|－1
4－a＋b|}.
所以 2f1(x)max≥|6－a－b|＋|－1
4－a－b|≥|（6－a－b）－(－1
4－a－b)|＝
25
4 ，
同理：2f2(x)max≥|6－a＋b|＋|－1
4－a＋b|≥|（6－a＋b）－(－1
4－a＋b)|＝
25
4 ，
当且仅当{（6－a－b）＝－(－1
4－a－b)
（6－a＋b）＝－(－1
4－a＋b)，即{a＝23
8
b＝0
时取等号，
所以 M(a，b)min＝
25
8 .
【答案】 (1)B (2)
25
8
(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原
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函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决是常用的思维方法．
(2)对于求 y＝|x－a|＋|x－b|或 y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方
便．形如 y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如 y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最
小值．
[对点训练]
1．(2019·宁波市六校联盟模拟)已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.当 a＝－4 时，则不等式
f(x)≥6 的解集为________；若 f(x)≤|x－3|的解集包含[0，1]，则实数 a 的取值范围是
________．
解析：当 a＝－4 时，f(x)≥6，即|x－4|＋|x－2|≥6，
即{x ≤ 2
4－x＋2－x ≥ 6或{2 < x < 4
4－x＋x－2 ≥ 6
或{x ≥ 4
x－4＋x－2 ≥ 6，
解得 x≤0 或 x≥6.
所以原不等式的解集为(－∞，0]∪[6，＋∞)．
由题可得 f(x)≤|x－3|在[0，1]上恒成立．
即|x＋a|＋2－x≤3－x 在[0，1]上恒成立，
即－1－x≤a≤1－x 在[0，1]上恒成立．
即－1≤a≤0.
答案：(－∞，0]∪[6，＋∞) [－1，0]
2．(2019·杭州学军中学高三模拟)已知 a 和 b 是任意非零实数．
(1)求
|2a＋b|＋|2a－b|
|a| 的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数 x 的取值范围．
解：(1)因为
|2a＋b|＋|2a－b|
|a| ≥
|2a＋b＋2a－b|
|a| ＝
|4a|
|a| ＝4，所以
|2a＋b|＋|2a－b|
|a| 的最小值
为 4.
(2)不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤
|2a＋b|＋|2a－b|
|a|
恒成立，
故|2＋x|＋|2－x|≤(|2a＋b|＋|2a－b|
|a| )
min.
由(1)可知，
|2a＋b|＋|2a－b|
|a| 的最小值为 4，
所以 x 的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4 的解集．
解不等式得－2≤x≤2，
故实数 x 的取值范围为[－2，2]．
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简单的线性规划问题
[核心提炼]
1．平面区域的确定方法
平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域
是各个不等式所表示的区域的交集．
2．线性目标函数 z＝ax＋by 最值的确定方法
线性目标函数 z＝ax＋by 中的 z 不是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，把目标函数化为 y
＝－
a
bx＋
z
b可知
z
b是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，要根据 b 的符号确定目标函数在什么情况
下取得最大值、什么情况下取得最小值．
[典型例题]
(1)(2019·高考浙江卷)若实数 x，y 满足约束条件{x－3y＋4 ≥ 0，
3x－y－4 ≤ 0，
x＋y ≥ 0，
则 z＝3x＋2y 的最
大值是( )
A．－1 B．1
C．10 D．12
(2)(2018· 高 考 浙 江 卷 ) 若 x ， y 满 足 约 束 条 件 {x－y ≥ 0，
2x＋y ≤ 6，
x＋y ≥ 2，
则 z ＝ x ＋ 3y 的 最 小 值 是
____________，最大值是____________．
(3)(2019·宁波高考模拟)已知 A(1，1)，B(－2，1)，O 为坐标原点，若直线 l：ax＋by＝2
与△ABO 所围成区域(包含边界)没有公共点，则 a－b 的取值范围为________．
【解析】 (1)作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线 z＝3x＋2y 过点
(2，2)时，z 取得最大值，zmax＝6＋4＝10.故选 C.
(2)由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，(1，1)，(4，－2)为顶点的三角形
及其内部区域(图略)．由线性规划的知识可知，目标函数 z＝x＋3y 在点(2，2)处取得最大值，
在点(4，－2)处取得最小值，则最小值 zmin＝4－6＝－2，最大值 zmax＝2＋6＝8.
(3)A(1，1)，B(－2，1)，O 为坐标原点，若直线 l：ax＋by＝2 与△ABO 所围成区域(包含
边界)没有公共点，
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得不等式组{a＋b＜2
－2a＋b＜2，
令 z＝a－b，
画出不等式组表示的平面区域，判断知，z＝a－b 在 M 取得最
小值，
由{a＋b＝2，
－2a＋b＝2
解得 M(0，2)，
a－b 的最小值为－2.
a－b 的取值范围是(－2，＋∞)．
故答案为(－2，＋∞)．
【答案】 (1)C (2)－2 8 (3)(－2，＋∞)
解决线性规划问题应关注的三点
(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可
行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．
(3)对目标函数 z＝Ax＋By 中 B 的符号，一定要注意 B 的正负与 z 的最值的对应，要结合
图形分析．
[对点训练]
1．(2019·嘉兴市高考模拟)已知实数 x，y 满足 {x－3 ≤ 0
y－1 ≥ 0
x－y＋1 ≥ 0
，若 ax＋y 的最大值为 10，
则实数 a＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选 C.画出满足条件的平面区域，如图所示：
由{x＝3
x－y＋1＝0，解得 A(3，4)，
令 z＝ax＋y，因为 z 的最大值为 10，
所以直线在 y 轴上的截距的最大值为 10，即直线过(0，10)，
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所以 z＝ax＋y 与可行域有交点，
当 a＞0 时，
直线经过 A 时 z 取得最大值．
即 ax＋y＝10，将 A(3，4)代入得：
3a＋4＝10，解得 a＝2，当 a≤0 时，直线经过 A 时 z 取得最大值，
即 ax＋y＝10，将 A(3，4)代入得：3a＋4＝10，解得：a＝2，与 a≤0 矛盾，
综上 a＝2.
2．在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影．由区域
{x－2 ≤ 0，
x＋y ≥ 0，
x－3y＋4 ≥ 0
中的点在直线 x＋y－2＝0 上的投影构成的线段记为 AB，则|AB|＝( )
A．2 2 B．4
C．3 2 D．6
解析：选 C.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部
分所示，
过点 C，D 分别作直线 x＋y－2＝0 的垂线，垂足分别为 A，B，
则四边形 ABDC 为矩形，又 C(2，－2)，D(－1，1)，
所以|AB|＝|CD|＝ （2＋1）2＋（－2－1）2
＝3 2.
3．(2019·温州市高考模拟)若实数 x，y 满足{y－x＋1 ≥ 0
x＋y－2 ≤ 0
x，y ≥ 0
，则 y 的最大值为________，
y＋1
x＋2
的取值范围是________．
解析：作出不等式组{y－x＋1 ≥ 0
x＋y－2 ≤ 0
x，y ≥ 0
，对应的平面区域如图：
可知 A 的纵坐标取得最大值：2.
因为 z＝
y＋1
x＋2，则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(－2，
－1)的斜率，由图象知 BD 的斜率最小，AD 的斜率最大，则 z 的最
大为
2＋1
0＋2＝
3
2，最小为
0＋1
1＋2＝
1
3，
即
1
3≤z≤
3
2，
则 z＝
y＋1
x＋2的取值范围是[
1
3，
3
2]．
答案：2 [
1
3，
3
2]
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基本不等式及其应用
[核心提炼]
利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果 x>0，y>0，xy＝p(定值)，当 x
＝y 时，x＋y 有最小值 2 p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果 x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，
当 x＝y 时，xy 有最大值
1
4s2(简记为：和定，积有最大值)．
[典型例题]
(1)若 a，b∈R，ab>0，则
a4＋4b4＋1
ab 的最小值为________．
(2)(2019· 金丽衢十二校高考二模) 设 A ＝{(x ，y)|x 2 －a(2x ＋y) ＋4a 2 ＝0} ，B ＝{(x ，
y)||y|≥b|x|}，对任意的非空实数 a，均有 A⊆B 成立，则实数 b 的最大值为________．
【解析】 (1)因为 ab＞0，所以
a4＋4b4＋1
ab ≥
2 4a4b4＋1
ab ＝
4a2b2＋1
ab ＝4ab＋
1
ab≥2 4ab· 1
ab
＝4，
当且仅当{a2＝2b2，
ab＝1
2
时取等号，故
a4＋4b4＋1
ab 的最小值是 4.
(2)由 x2－a(2x＋y)＋4a2＝0 得 y＝
1
ax2－2x＋4a，
则
|y|
|x|＝|
x
a＋
4a
x －2|，
当 ax＞0 时，
x
a＋4a
x ≥2 4＝4，
所以|
x
a＋
4a
x －2|≥|4－2|＝2，即
|y|
|x|≥2，
当 ax＜0 时，
x
a＋
4a
x ≤－2 4＝－4，
所以|
x
a＋
4a
x －2|≥|－4－2|＝6，即
|y|
|x|≥6，
因为对任意实数 a，均有 A⊆B 成立，
即|y|≥b|x|恒成立，即
|y|
|x|≥b 恒成立，
所以 b≤2，
故答案为 2.
【答案】 (1)4 (2)2
利用不等式求最值的解题技巧
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(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从
而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分
开再利用不等式求最值．即化为 y＝m＋
A
g（x）＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，
然后运用基本不等式来求最值．
(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值
的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值．
[对点训练]
1．(2019·温州市瑞安市高考模拟)若 x＞0，y＞0，则
x
x＋2y＋
y
x的最小值为________．
解析：设y
x＝t＞0，则
x
x＋2y＋
y
x＝
1
1＋2t＋t＝
1
1＋2t＋
1
2(2t＋1)－
1
2≥2
1
1＋2t × 1＋2t
2 －
1
2＝ 2－
1
2，
当且仅当 t＝
2－1
2 ＝
y
x时取等号．
故答案为： 2－
1
2.
答案： 2－
1
2
2．(2018·高考江苏卷)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，∠ABC＝120
°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD＝1，则 4a＋c 的最小值为________．
解析：因为∠ABC＝120°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，
由三角形的面积公式可得
1
2acsin 120°＝
1
2asin 60°＋
1
2csin 60°，化简得 ac＝a＋c，又 a>0，c>0，
所以
1
a＋
1
c＝1，则 4a＋c＝(4a＋c)(1
a＋1
c )＝5＋
c
a＋
4a
c ≥5＋2 c
a·4a
c ＝9，当且仅当 c＝2a 时取等
号，故 4a＋c 的最小值为 9.
答案：9
专题强化训练
1．(2019·金华十校联考)不等式(m－2)(m＋3)＜0 的一个充分不必要条件是( )
A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2
C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3
解析：选 A.由(m－2)(m＋3)＜0 得－3＜m＜2，即不等式成立的等价条件是－3＜m＜2，
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则不等式(m－2)(m＋3)＜0 的一个充分不必要条件是(－3，2)的一个真子集，
则满足条件是－3＜m＜0.
故选 A.
2．已知关于 x 的不等式(ax－1)(x＋1)<0 的解集是(－∞，－1)∪(－1
2，＋∞)，则 a＝( )
A．2 B．－2
C．－
1
2 D.
1
2
解析：选 B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－
1
2是一元二次方程 ax2＋x(a－1)－1＝0
的两个根，所以－1×(－1
2 )＝－
1
a，所以 a＝－2，故选 B.
3．已知 x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则
1
x＋
1
3y的最小值是( )
A．2 B．2 2
C．4 D．2 3
解析：选 C.因为 lg 2x＋lg 8y＝lg 2，
所以 x＋3y＝1，
所以
1
x＋
1
3y＝(1
x＋ 1
3y)(x＋3y)＝2＋
3y
x ＋
x
3y≥4，
当且仅当
3y
x ＝
x
3y，
即 x＝
1
2，y＝
1
6时，取等号．
4．若平面区域{x＋y－3 ≥ 0，
2x－y－3 ≤ 0，
x－2y＋3 ≥ 0
夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线
间的距离的最小值是( )
A.
3 5
5 B. 2
C.
3 2
2 D. 5
解析：选 B.不等式组{x＋y－3 ≥ 0
2x－y－3 ≤ 0
x－2y＋3 ≥ 0
表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中 A(1，2)、B(2，
1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点 A 与 B，又两平行直线的斜率为
1，直线 AB 的斜率为－1，所以线段 AB 的长度就是过 A、B 两点的平行直线间的距离，易得|AB|
＝ 2，即两条平行直线间的距离的最小值是 2，故选 B.
- 12 -
5．(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数 f(x)＝
2x2－a
x－1 (a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为
6，则实数 a 的值为( )
A．2 B.3
2
C．1 D.
1
2
解 析 ： 选 B.f(x) ＝
2x2－a
x－1 ＝
2（x－1）2＋4（x－1）＋2－a
x－1 ＝ 2(x － 1) ＋
2－a
x－1＋ 4≥2
2（x－1）·2－a
x－1＋4＝2 4－2a＋4，当且仅当 2(x－1)＝
2－a
x－1⇒x＝1＋ 2－a
2 时，等号成立，所
以 2 4－2a＋4＝6⇒a＝
3
2，故选 B.
6．若不等式组{x2－2x－3 ≤ 0，
x2＋4x－（1＋a） ≤ 0的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)
C．[－4，20] D．[－4，20)
解析：选 B.不等式 x2－2x－3≤0 的解集为[－1，3]，
假设{x2－2x－3 ≤ 0，
x2＋4x－（a＋1） ≤ 0的解集为空集，则不等式 x2＋4x－(a＋1)≤0 的解集为集合
{x|x<－1 或 x>3}的子集，因为函数 f(x)＝x2＋4x－(a＋1)的图象的对称轴方程为 x＝－2，所以
必有 f(－1)＝－4－a>0⇒a<－4，则使{x2－2x－3 ≤ 0，
x2＋4x－（1＋a） ≤ 0的解集不为空集的 a 的取值范围
是 a≥－4.
7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量 x，y 满足约束条件{x－2y ≥ －2
x－y ≤ 0
x ≥ －4
，若
不等式 2x－y＋m2≥0 恒成立，则实数 m 的取值范围为( )
A．[－ 6， 6]
B．(－∞，－ 6]∪[ 6，＋∞)
C．[－ 7， 7]
D．(－∞，－ 7]∪[ 7，＋∞)
- 13 -
解析：选 D.作出约束条件{x－2y ≥ －2
x－y ≤ 0
x ≥ －4
所对应的可行域(如图中
阴影部分)，令 z＝－2x＋y，当直线经过点 A(－4，－1)时，z 取得最
大值，
即 zmax＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.
所以 m2≥7，即实数 m 的取值范围为(－∞，－ 7]∪[ 7，＋∞)，故选 D.
8．已知 b>a>0，a＋b＝1，则下列不等式中正确的是( )
A．log3a>0 B．3a－b<
1
3
C．log2a＋log2b<－2 D．3(b
a＋a
b )≥6
解析：选 C.对于 A，由 log3a>0 可得 log3a>log31，
所以 a>1，又 b>a>0，a＋b＝1，所以 a<1，两者矛盾，所以 A 不正确；
对于 B，由 3a－b<
1
3可得 3a－b<3－1，
所以 a－b<－1，可得 a＋1a>0，a＋b＝1 矛盾，所以 B 不正确；
对于 C，由 log2a＋log2b<－2 可得 log2(ab)<－2＝log2
1
4，
所以 ab<
1
4，又 b>a>0，a＋b＝1>2 ab，
所以 ab<
1
4，两者一致，
所以 C 正确；
对于 D，因为 b>a>0，a＋b＝1，
所以 3(b
a＋a
b )>3×2
b
a ×
a
b＝6，所以 D 不正确．故选 C.
9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中)已知 x，y∈R，( )
A．若|x－y2|＋|x2＋y|≤1，则(x＋
1
2)2＋(y－
1
2)2≤
3
2
B．若|x－y2|＋|x2－y|≤1，则(x－
1
2)2＋(y－
1
2)2≤
3
2
C．若|x＋y2|＋|x2－y|≤1，则(x＋
1
2)2＋(y＋
1
2)2≤
3
2
D．若|x＋y2|＋|x2＋y|≤1，则(x－
1
2)2＋(y＋
1
2)2≤
3
2
解析：选 B.对于 A，|x－y2|＋|x2＋y|≤1，由(x＋
1
2)2＋(y－
1
2)2≤
3
2化简得 x2＋x＋y2－y≤1，
二者没有对应关系；对于 B，由(x2－y)＋(y2－x)≤|x2－y|＋|y2－x|＝|x－y2|＋|x2－y|≤1，
- 14 -
所以 x2－x＋y2－y≤1，即(x－
1
2)2＋(y－
1
2)2≤
3
2，命题成立；对于 C，|x＋y2|＋|x2－y|≤1，
由(x＋
1
2)2＋(y＋
1
2)2≤3
2化简得 x2＋x＋y 2＋y≤1，二者没有对应关系；对于 D，|x＋y 2|＋|x2＋
y|≤1，化简(x－
1
2)2＋(y＋
1
2)2≤
3
2得 x2－x＋y2＋y≤1，二者没有对应关系．故选 B.
10．若关于 x 的不等式 x3－3x2－ax＋a＋2≤0 在 x∈(－∞，1]上恒成立，则实数 a 的取值
范围是( )
A．(－∞，－3] B．[－3，＋∞)
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
解析：选 A.关于 x 的不等式 x3－3x2－ax＋a＋2≤0 在 x∈(－∞，1]上恒成立，
等价于 a(x－1)≥x3－3x2＋2＝(x－1)(x2－2x－2)，
当 x＝1 时，1－3－a＋a＋2＝0≤0 成立，
当 x＜1 时，x－1＜0，
即 a≤x2－2x－2，
因为 y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3≥－3 恒成立，
所以 a≤－3，故选 A.
11．(2019·温州市高三高考模拟)若关于 x 的不等式|x|＋|x＋a|＜b 的解集为(－2，1)，则实
数对(a，b)＝________．
解析：因为不等式|x|＋|x＋a|＜b 的解集为(－2，1)，
所以{2＋|－2＋a|＝b
1＋|1＋a|＝b ，解得 a＝1，b＝3.
答案：(1，3)
12．若实数 x，y 满足 x＞y＞0，且 log2x＋log2y＝1，则
2
x＋
1
y的最小值是________，
x－y
x2＋y2
的最大值为________．
解析：实数 x，y 满足 x＞y＞0，且 log2x＋log2y＝1，则 xy＝2，
则
2
x＋
1
y≥2
2
x·
1
y＝2，当且仅当
2
x＝
1
y，即 x＝2，y＝1 时取等号，
故
2
x＋
1
y的最小值是 2，
x－y
x2＋y2＝
x－y
（x－y）2＋2xy＝
x－y
（x－y）2＋4＝
1
（x－y）＋ 4
x－y
≤
1
2 （x－y） 4
x－y
＝
1
4，当且仅当 x
－y＝
4
x－y，即 x－y＝2 时取等号，
故
x－y
x2＋y2的最大值为
1
4，故答案为 2，
1
4.
- 15 -
答案：2
1
4
13．(2019·兰州市高考实战模拟)若变量 x，y 满足约束条件{x ≥ 0
y ≥ 0
3x＋4y ≤ 12
，则 z＝2x·(1
2 )
y
的最大值为________．
解析：作出不等式组{x ≥ 0
y ≥ 0
3x＋4y ≤ 12
表示的平面区域如图中阴影
部分所示．又 z＝2x·(1
2 ) y
＝2x－y，令 u＝x－y，则直线 u＝x－y
在点(4，0)处 u 取得最大值，此时 z 取得最大值且 zmax＝24－0＝16.
答案：16
14．已知函数 f(x)＝{2－x－1，x ≤ 0
－x2＋x，x > 0 ，则关于 x 的不等式 f(f(x))≤3 的解集为________．
解析：令 f(t)≤3，若 t≤0，则 2 －t －1≤3，2 －t ≤4，解得－2≤t≤0；若 t>0，则－t 2＋
t≤3 ， t2 － t ＋ 3≥0 ， 解 得 t>0 ， 所 以 t≥ － 2 ， 即 原 不 等 式 等 价 于 {2－x－1 ≥ －2
x ≤ 0 或
{－x2＋x ≥ －2
x > 0 ，解得 x≤2.
答案：(－∞，2]
15．(2019·宁波市九校联考)已知 f(x)＝|x＋
1
x－a|＋|x－1
x－a|＋2x－2a(x＞0)的最小值为
3
2，
则实数 a＝________．
解析：f(x)＝|x＋
1
x－a|＋|x－
1
x－a|＋2x－2a≥|(x＋
1
x－a)－(x－
1
x－a)|＋2x－2a
＝|
2
x|＋2x－2a
＝
2
x＋2x－2a
≥2 2
x·2x－2a
＝4－2a.
当且仅当
2
x＝2x，即 x＝1 时，上式等号成立．
由 4－2a＝
3
2，解得 a＝
5
4.
答案：
5
4
16．(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)若|x2＋|x－a|＋3a|≤2 对 x∈[－1，1]恒成立，则实数 a
的取值范围为________．
- 16 -
解析：|x2＋|x－a|＋3a|≤2 化为－2－x2≤|x－a|＋3a≤2－x2，画出图象，可知，其几何意
义为顶点为(a，3a)的 V 字型在 x∈[－1，1]时，始终夹在 y＝－2－x2，y＝2－x2 之间，如图 1，
图 2 所示，
为两种临界状态，首先就是图 1 的临界状态，此时 V 字形右边边界 y＝x＋2a 与 y＝－2－
x2 相切，联立直线方程和抛物线方程可得 x2＋x＋2a＋2＝0，此时 Δ＝0⇒1－4(2a＋2)＝0⇒a＝
－7
8，而图 2 的临界状态显然 a＝0，
综上得，实数 a 的取值范围为[－7
8，0].
答案：[－7
8，0]
17．(2019·温州模拟)已知 a，b，c∈R，若|acos2x＋bsin x＋c|≤1 对 x∈R 成立，则|asin x＋b|
的最大值为________．
解析：由题意，设 t＝sin x，t∈[－1，1]，则|at2－bt－a－c|≤1 恒成立，
不妨设 t＝1，则|b＋c|≤1；t＝0，则|a＋c|≤1，t＝－1，则|b－c|≤1，
若 a，b 同号，则|asin x＋b|的最大值为
|a＋b|＝|a＋c＋b－c|≤|a＋c|＋|b－c|≤2；
若 a，b 异号，则|asin x＋b|的最大值为
|a－b|＝|a＋c－b－c|≤|a＋c|＋|b＋c|≤2；
综上所述，|asin x＋b|的最大值为 2，
故答案为 2.
答案：2
18．(2019·丽水市第二次教学质量检测)已知函数 f(x)＝ 4－|ax－2|(a≠0)．
(1)求函数 f(x)的定义域；
(2)若当 x∈[0，1]时，不等式 f(x)≥1 恒成立，求实数 a 的取值范围．
解：(1)要使函数有意义，需 4－|ax－2|≥0，即
|ax－2|≤4，|ax－2|≤4⇔－4≤ax－2≤4⇔－2≤ax≤6.
当 a>0 时，函数 f(x)的定义域为{x|－
2
a≤x≤
6
a}；
- 17 -
当 a<0 时，函数 f(x)的定义域为{x|
6
a≤x≤－
2
a}．
(2)f(x)≥1⇔|ax－2|≤3，记 g(x)＝|ax－2|，因为 x∈[0，1]，
所以需且只需{g（0） ≤ 3
g（1） ≤ 3⇔{2 ≤ 3
|a－2| ≤ 3⇔－1≤a≤5，
又 a≠0，所以－1≤a≤5 且 a≠0.
19．(2019·丽水市高考数学模拟)已知函数 f(x)＝
|x＋a|
x2＋1 (a∈R)．
(1)当 a＝1 时，解不等式 f(x)>1；
(2)对任意的 b∈(0，1)，当 x∈(1，2)时，f(x)>
b
x恒成立，求 a 的取值范围．
解：(1)f(x)＝
|x＋1|
x2＋1 >1⇔x2＋1<|x＋1|⇔{x＋1 ≥ 0
x2＋1 < x＋1或{x＋1 < 0
x2＋1 < －（x＋1）⇔0
b
x⇔|x＋a|>b(x＋
1
x)⇔x＋a>b(x＋1
x)或 x＋a<－b(x＋
1
x)⇔a>(b－1)x＋
b
x或 a<
－[(b＋1)x＋
b
x]对任意 x∈(1，2)恒成立．
所以 a≥2b－1 或 a≤－(
5
2b＋2)对任意 b∈(0，1)恒成立．
所以 a≥1 或 a≤－
9
2.
