2019届高三数学（文）二轮复习查漏补缺课时练习：（三十六）　第36讲　基本不等式

2019届高三数学（文）二轮复习查漏补缺课时练习：（三十六）　第36讲　基本不等式

课时作业(三十六)　第36讲　基本不等式 时间 / 30分钟　分值 / 80分 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 基础热身 ‎1.已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,则ab的最大值为 (　　)‎ A. 1 B. ‎1‎‎4‎ C. ‎1‎‎2‎ D. ‎‎2‎‎2‎ ‎2.设x>0,y>0,且x+y=3,则2x+2y的最小值是 (　　)‎ A. 8 B. 6 C. 3‎2‎ D. 4‎‎2‎ ‎3.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是 (　　)‎ A. a+b≥2ab ‎ B. ab+ba≥2‎ C. ab‎+‎ba≥2 ‎ D. a2+b2>2ab ‎4.[2018·河南平顶山一模] 若对于任意的x>0,不等式xx‎2‎‎+3x+1‎≤a恒成立,则实数a的取值范围为 (　　)‎ A.‎1‎‎5‎,+∞ B.‎1‎‎5‎,+∞‎ C.-∞,‎1‎‎5‎ D.-∞,‎‎1‎‎5‎ ‎5.[2018·北京朝阳区二模] 已知x>0,y>0,且满足x+y=4,则lg x+lg y的最大值为　　　　. ‎ 能力提升 ‎6.已知向量a=(1,x2),b=(-2,y2-2),若a,b共线,则xy的最大值为 (　　)‎ A.‎2‎‎2‎ B.1 C.‎2‎ D.2‎‎2‎ ‎7.[2018·广西南宁二中月考] 已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则‎1‎x+‎1‎‎3y的最小值是 (　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎8.设a>0,b>2,且a+b=3,则‎2‎a+‎1‎b-2‎的最小值是 (　　)‎ A. 6 B. 2‎‎2‎ C. 4‎2‎ D. 3+2‎‎2‎ ‎9.[2018·东北三省四市教研联合体模拟] 在首项与公比相等的等比数列{an}中,aman‎2‎=a‎4‎‎2‎(m,n∈N*),则‎2‎m+‎1‎n的最小值为 (　　)‎ A.1 B.‎‎3‎‎2‎ C.2 D.‎‎9‎‎2‎ 图K36-1‎ ‎10.《几何原本》第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图K36-1所示的图形,点F在半圆O上,点C在半径OB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为 (　　)‎ A. a+b‎2‎≥ab(a>0,b>0)‎ B. a2+b2≥2ab(a>0,b>0)‎ C. ‎2aba+b≤ab(a>0,b>0)‎ D. a+b‎2‎≤a‎2‎‎+‎b‎2‎‎2‎(a>0,b>0)‎ ‎11.已知x>0,y>0,且2x·4y=4,则xy的最大值为　　　　. ‎ ‎12.若a>b>0,则a2+‎1‎‎4b(a-b)‎的最小值是　　　　. ‎ ‎13.[2018·天津和平区二模] 已知ab>0,a+b=3,则b‎2‎a+2‎+a‎2‎b+1‎的最小值为　　　　. ‎ ‎14.[2018·河北保定一模] 已知实数x,y满足‎2x-y-2≥0,‎x+2y+2≥0,‎x-y≥0,‎若z=3x-2y取得最小值时的最优解(x,y)满足ax+by=2(ab>0),则a+4bab的最小值为　　　　. ‎ 难点突破 ‎15.(5分)某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为400平方米的三级污水处理池,如图K36-2所示,池外圈造价为每米200元,中间两条隔墙造价为每米250元,池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖).若使污水池的总造价最低,则污水池的长和宽分别为 (　　)‎ 图K36-2‎ A. 40米,10米 B. 20米,20米 C. 30米,‎40‎‎3‎ 米 D. 50米,8米 ‎16.(5分)[2018·天津重点中学联考] 已知a,b∈R,且a是2-b与-3b的等差中项,则‎4ab‎2|a|+|b|‎的最大值为　　　　. ‎ 课时作业(三十六)‎ ‎1.B　[解析] 因为a,b∈(0,+∞),所以1=a+b≥2ab,所以ab≤‎1‎‎4‎,当且仅当a=b=‎1‎‎2‎时等号成立.‎ ‎2.D　[解析] 因为x>0,y>0,且x+y=3,所以2x+2y≥2‎2‎x‎·‎‎2‎y=2‎2‎x+y=2‎2‎‎3‎=4‎2‎,当且仅当x=y=‎3‎‎2‎时,2x+2y取得最小值4‎2‎.‎ ‎3.C　[解析] 因为ab和ba同号,所以ab‎+‎ba=ab+ba≥2,当且仅当|a|=|b|时等号成立.‎ ‎4.A　[解析] 由x>0,得xx‎2‎‎+3x+1‎=‎1‎x+‎1‎x+3‎≤‎1‎‎2x·‎‎1‎x+3‎=‎1‎‎5‎,当且仅当x=1时等号成立,则a≥‎1‎‎5‎.‎ ‎5.2lg 2　[解析] 因为x+y=4,x>0,y>0,所以xy≤x+y‎2‎2=4,当且仅当x=y=2时等号成立,因此lg x+lg y=lg xy≤lg 4=2lg 2.‎ ‎6.A　[解析] 依题意得2x2+y2=2,因此2=2x2+y2≥±2‎2‎xy,从而-‎2‎‎2‎≤xy≤‎2‎‎2‎,故选A.‎ ‎7.A　[解析] 因为x>0,y>0,且lg 2x+lg 8y=lg 2x+3y=lg 2,所以x+3y=1,则‎1‎x+‎1‎‎3y=x+3yx+x+3y‎3y=2+‎3yx+x‎3y≥2+2‎3yx‎·‎x‎3y=4当且仅当‎3yx=x‎3y,即x=3y=‎1‎‎2‎时取等号.故选A.‎ ‎8.D　[解析] ∵a>0,b>2,且a+b=3,∴a+b-2=1,∴‎2‎a+‎1‎b-2‎=‎2‎a‎+‎‎1‎b-2‎(a+b-2)=2+1+‎2(b-2)‎a+ab-2‎≥3+2‎2‎,当且仅当a=‎2‎(b-2),即b=1+‎2‎,a=2-‎2‎时取等号,则‎2‎a+‎1‎b-2‎的最小值是3+2‎2‎,故选D.‎ ‎9.A　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由题意可得a1=q,∵aman‎2‎=a‎4‎‎2‎,∴a1·qm-1·(a1·qn-1)2=(a1·q3)2,即qm·q2n=q8,因此m+2n=8.∴‎2‎m+‎1‎n=(m+2n)‎2‎m+‎1‎n×‎1‎‎8‎=2+mn+‎4nm+2×‎1‎‎8‎≥(4+4)×‎1‎‎8‎=1,当且仅当m=2n=4时取等号,故选A.‎ ‎10.D　[解析] 由图可知OF=‎1‎‎2‎AB=a+b‎2‎,OC=a-b‎2‎.在Rt△OCF中,由勾股定理可得CF=a+b‎2‎‎2‎‎+‎a-b‎2‎‎2‎=a‎2‎‎+‎b‎2‎‎2‎.∵CF≥OF,∴a‎2‎‎+‎b‎2‎‎2‎≥a+b‎2‎(a>0,b>0).故选D.‎ ‎11.‎1‎‎2‎　[解析] ∵x>0,y>0,且2x·4y=4,∴2x·4y=2x+2y=22,∴x+2y=2,∴xy=‎1‎‎2‎x·2y≤‎1‎‎2‎x+2y‎2‎2=‎1‎‎2‎,当且仅当x=1,y=‎1‎‎2‎时取等号,∴xy的最大值为‎1‎‎2‎.‎ ‎12.2　[解析] ∵a>b>0,∴a2+‎1‎‎4b(a-b)‎≥a2+‎1‎‎(b+a-b‎)‎‎2‎=a2+‎1‎a‎2‎≥2a‎2‎‎·‎‎1‎a‎2‎=2,当且仅当a=1,b=‎1‎‎2‎时取等号,故所求最小值为2.‎ ‎13.‎3‎‎2‎　[解析] ∵ab>0,a+b=3,∴a+2+b+1=6.则b‎2‎a+2‎+a‎2‎b+1‎=‎1‎‎6‎[(a+2)+(b+1)]b‎2‎a+2‎+a‎2‎b+1‎=‎1‎‎6‎a2+b2+b‎2‎‎(b+1)‎a+2‎+a‎2‎‎(a+2)‎b+1‎≥‎1‎‎6‎(a2+b2+2ab)=‎1‎‎6‎(a+b)2=‎3‎‎2‎,当且仅当b(b+1)=a(a+2),即b=‎5‎‎3‎,a=‎4‎‎3‎时取等号.‎ ‎14.9　[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示,‎ 由图可知,当直线z=3x-2y经过点A(2,2)时,z取得最小值,此时最优解为(2,2),则2a+2b=2,即a+b=1,∴a+4bab=‎1‎b+‎4‎a=‎1‎b+‎4‎a(a+b)=5+ab+‎4ba≥5+2ab‎·‎‎4ba=9,当且仅当a=2b时取等号,则a+4bab的最小值为9.‎ ‎15.C　[解析] 设总造价为y元,污水池的长为x米,则宽为‎400‎x 米,总造价y=‎2x+2·‎‎400‎x×200+2×250·‎400‎x+80×400=400x+‎‎900‎x+32 000≥400×2x·‎‎900‎x+32 000=56 000(元),当且仅当x=‎900‎x,即x=30时等号成立,此时污水池的宽为‎40‎‎3‎ 米.‎ ‎16.‎4‎‎9‎　[解析] ∵a是2-b与-3b的等差中项,∴2a=2-b-3b,可得a+2b=1.当ab<0时,‎4ab‎2|a|+|b|‎<0,当ab>0时,‎4ab‎2|a|+|b|‎>0,∴要使‎4ab‎2|a|+|b|‎有最大值,则ab>0.不妨设a>0,b>0(a<0,b<0时情况一样),则‎4ab‎2|a|+|b|‎=‎4ab‎2a+b=‎1‎‎(‎1‎‎2b+‎1‎‎4a)(a+2b)‎=‎1‎‎5‎‎4‎‎+a‎2b+‎b‎2a≤‎1‎‎5‎‎4‎‎+2‎a‎2b‎·‎b‎2a=‎1‎‎5‎‎4‎‎+1‎=‎4‎‎9‎,当且仅当a‎2b=b‎2a,即a=b=‎1‎‎3‎时等号成立,故‎4ab‎2|a|+|b|‎的最大值为‎4‎‎9‎.‎