高中同步数学教案第2章 不等式

高中同步数学教案第2章 不等式

‎ 第2章 不等式 ‎ ‎2、1 不等式的性质 ‎1、比较两个实数大小的基本方法：作差 ‎ ‎ 例1：比较与的大小。‎ 例2：已知、、、均为正实数，且，比较与的大小。‎ ‎2、不等式的基本性质：‎ 性质1：如果，那么。‎ 证明：。‎ ‎　　　‎ ‎（性质1称为不等式的传递性）‎ 性质2：如果，那么。‎ 证明：。‎ ‎（性质2称为不等式的加法性质）‎ 性质3：如果，那么；‎ ‎ 如果，那么。‎ 证明：；‎ ‎　　　。‎ ‎（性质3称为不等式的乘法性质）‎ 性质4：如果，那么。‎ 证明：。‎ ‎（性质4说明：同向不等式可以相加，不等号方向不变）‎ 性质5：如果，那么。‎ 证明：。‎ ‎（性质5说明：两边均为正实数的同向不等式可以相乘，不等号方向不变）‎ 性质6：如果那么。‎ 证明：。‎ 推论：如果，那么。‎ ‎（性质6称为不等式的倒数性质）‎ 性质7：如果，那么。‎ 证明：。‎ ‎（性质7称为不等式的乘方性质）‎ 性质8：如果，那么。‎ 证明：用反证法。设，那么有或。‎ 当时，由性质7可知；当时，得与矛盾，‎ ‎ 所以原结论成立。‎ ‎（性质8称为不等式的开方性质）‎ ‎3、一次不等式的解法 例3：解关于的不等式：。‎ 解：移项整理得：。‎ （1） 当即时，不等式恒成立，‎ 所以不等式的解集为；‎ ‎　　（2）当，即时，则；‎ ‎（3）当，即时，则。‎ 综上知：不等式解集为：‎ ‎ 时，解集为；‎ ‎ 时，解集为；‎ ‎ 时，解集为。‎ 说明：对于含参的一元一次不等式，可化为的形式。‎ 一般地，不等式的解为：‎ 时，；‎ 时，解集为，解集为；‎ 时，。‎ 例4：不等式组的解集不是空集，求实数的取值范围。‎ 解：（1）当时，不等式解集为，‎ ‎ 不等式解集为，‎ ‎ 所以不等式组解集为，‎ ‎ 所以满足题意；‎ ‎（2）当时，由，解集不为空集；‎ ‎（3）当时，由，‎ ‎ 由不等式组解集不为空集，‎ ‎ 得 ，即，所以。‎ 综上知，实数的取值范围为。‎ ‎4、不等式性质的应用 例5：已知实数满足，求的取值范围。‎ 某同学的解法如下：‎ 解： 由（1）得，‎ ‎ （2）＋（3）得：，则　（4）。‎ ‎ （1）＋（4） 得。‎ 请问：该同学的解法是否正确？若不正确，请给出正确解法。‎ ‎ ‎ 例6：设，。‎ （1） 证明：介于、之间；‎ （2） ‎、哪个更接近于。‎ 练习巩固 ‎1、“”、“”同时成立，则应满足的条件是 。‎ ‎2、已知，试比较与的大小。‎ ‎3、已知，试比较与的大小。‎ ‎4、解关于的不等式：；　　　　　　　　　　　　‎ ‎5、设，比较与的大小。‎ 作业研究：‎ ‎1、判断下列命题的真假，并说明理由。‎ ‎（1）若那么；‎ ‎（2）若那么；‎ ‎（3）若,那么；‎ ‎（4）若，那么；‎ ‎（5）若，那么；‎ ‎（6）若，那么。‎ ‎2、求证：若，那么。‎ ‎3、已知且。求证：。‎ ‎4、解下列关于的不等式：（1）；　 （2）；‎ ‎5、已知，求：‎ ‎（1）的取值范围；　　　（2）的取值范围。‎ 作业：《导学先锋》 上完课再交 双休日作业：《导学先锋》‎ ‎2、2 一元二次不等式的解法 ‎1、一元二次不等式的一般形式是：‎ ‎ 或。‎ ‎ 解一元二次不等式就是求使不等式成立的的范围，可借助一元二次函数图像求解。‎ ‎2、一元二次不等式的解法举例：‎ ‎ 例1：解下列不等式：‎ ‎（1）；　　　　　（2）；‎ ‎（3）；　　　 　（4）。‎ 解：（1）求不等式的解集，‎ 可以看作为求二次函数取正值时变量的取值范围。‎ 由，可得到二次函数与轴交点的横坐标为和，又二次函数的图像开口向上，‎ 容易看出，当或时，此函数的图像在轴的上方。‎ 也容易看出，当时，图像在轴的下方。‎ 从而可以得得到：不等式的解集为，‎ 不等式的解集为。‎ ‎（2）方程的两根为，‎ 又二次函数的开口向下，‎ 所以不等式的解集为。‎ ‎（3）解集为：； ‎ ‎（4）解集为。‎ 例2：解下列不等式：‎ ‎（1）； 　　　　（2）；‎ ‎（3）；　　　　（4）。‎ 解：（1）方程没有实数根，二次函数的图像开口向上，‎ 所以不等式的解集为。‎ ‎（2）方程没有实数根，二次函数的图像开口向上，‎ 所以不等式的解集为。‎ ‎（3）方程的实根为，二次函数的图像开口向上，‎ 所以不等式的解集为。‎ ‎（4）。‎ ‎3、一元二次不等式的解法总结：‎ ‎ 借助二次函数的图像可以方便地得出一元二次不等式的解集。‎ 设（当时，可转化为型），记方程的根的判别式为“”，当时方程的两实根为，且，当时方程有两相等实根记为。‎ 则一元二次不等式的解集情况如下表：‎ 类型　‎ ‎　‎ 解一元二次不等式的一般步骤：‎ （1） 判断的正负；‎ （2） 若有根，求出根；‎ （3） 写出不等式解集。‎ 例3：解不等式组。‎ 解：由不等式知其解集为，‎ 由不等式知其解集为。‎ 所以不等式组的解集为。‎ 例4：写出一个不等式，使其解集分别为：‎ ‎（1）；　　（2）； 　（3）。‎ 解：（1）由不等式的解集为，所以，即且，所以此不等式可以为，即：。‎ ‎（2）；　　　　（3）。‎ 例5：关于的不等式的解集为，求实数的取值范围。‎ 例6：若关于的不等式的解集为，求的值。‎ 练习巩固：‎ ‎1、解下列不等式 ‎（1）；　　　　　　　　　　（2）；‎ ‎（3）；　　　　　　　（4）；‎ ‎（5）。‎ ‎2、解不等式组：‎ ‎（1）；　　　　　　　　（2）；‎ ‎（3）。‎ ‎3、写出一个一元二次不等式，使其解集分别为：‎ ‎（1）；　　　　　　（2）；‎ ‎（3）；　　　　　（4）。‎ 作业研究 ‎1、解下列不等式 ‎（1）；　　　　　　（2）。‎ ‎2、解不等式组：‎ ‎（1）；　　　 　　　（2）。‎ ‎3、关于的不等式的解集为，求实数的取值范围。‎ ‎4、若关于的不等式的解集为，求的值。‎ 作业：《导学先锋》‎ 选修课到802教室，3：35开始，勿迟到。‎ 含参一元二次不等式的解法 例1：（1）不等式对一切 ‎ 实数恒成立，求的范围。‎ ‎ （2）不等式对一切实数恒成立，求 ‎ 的范围。‎ 解：（1）； （2）。‎ 例2：设关于的不等式：的解集为， 其中。‎ ‎ 求不等式的解集。‎ 解： 。‎ 拓展思考：设关于的不等式：的解集为，分别就下列情况求不等式的解集。‎ ‎（1）；　　　　　　　（2）。‎ 答案：（1）；　　　　（2）。‎ 例3：关于的不等式组的所有整数解组成的集合为，‎ ‎ 求实数的取值范围。‎ 解：不等式的解集为，‎ 由题意：满足不等式，则。‎ 又方程的两根分别为，‎ 而，所以不等式的解集，‎ 由只含有一个整数，所以，即。‎ 说明：本例也可以借助二次函数的图像进行求解。在解只含有一个整数时，要利用数轴来说明，可以把抽象的东西变成形象的。数轴在解不等式中的应用要注意加强，可以直观地表示出不等式的解集。‎ ‎ 例4：设，‎ ‎ 。‎ ‎ 若，求实数的取值范围。‎ 解：或。‎ 例5：解关于的不等式：。‎ 解：‎ （1） 当，即或时，方程的 ‎ 两根为。‎ 所以不等式的解集为：‎ ‎（2）当，即或。‎ 当时，不等式解集为；‎ 当时，不等式解集为；‎ ‎（3）当，即时，不等式的解集为。‎ 例6：解关于的不等式：。‎ 解：（1）当时，不等式化为：，此时不等式解集为；‎ （1） 当时，方程，可化为，‎ ‎ 方程两根分别为。‎ ① ‎，二次函数的图像开口向上，，‎ 所以不等式的解集为；‎ ‎②当时，二次函数的图像开口向下：‎ ‎（ａ）当时，，不等式解集为；‎ ‎（ｂ）当时，，不等式解集为；‎ ‎（ｃ）当，，不等式解集为。‎ 综上知：时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式解集为；‎ 时，不等式解集为；‎ 时，不等式解集为；‎ 时不等式解集为。‎ 说明：对于二次项系数含有参数的一元二次不等式问题，在讨论时一定要注意二次函数的开口方向，注意讨论的层次：先注意二次项系数能否为零、再讨论方程的根、联系相应二次函数的图像，不能“乱”。‎ 练习巩固：‎ ‎1、解关于的不等式：‎ ‎（1）；　　　　　　　　　　　　　　（2）；‎ ‎（3）；　　　　　　　　　　　　（4）。‎ ‎2、已知关于的不等式的解集为，是否存在实数分别使下列结论成立？若存在，求出的取值范围，不存在，说明理由。‎ ‎（1）；　　　　　　　　　　　　　　　（2）。‎ ‎3、若不等式对于任意的实数恒成立，求实数的取值范围。‎ 作业研究：‎ ‎1、解关于的不等式：。‎ ‎2、已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集。‎ ‎3、求实数的取值范围，使得关于的不等式分别满足下列情况：‎ ‎（1）解集为；　　　　（2）解集为；　　　　　（3）至少有一个实数根。‎ ‎4、解关于的不等式：。‎ 作业：《导学先锋》‎ 作业：《导学先锋》‎ ‎ 2、3 其它不等式的解法 ‎ 1、简单高次不等式的解法：‎ ‎ 例1：解不等式。‎ ‎ 解：（数轴标根法）‎ ‎ ，‎ ‎ 即，‎ ‎ 方程的根分别为：。‎ ‎ 在数轴上将其标出：‎ ‎ ‎ ‎ 知不等式的解集为。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 2、分式不等式的解法：‎ ‎ 例2：解不等式：。‎ ‎ 解：原不等式可化为 ‎ ， 所以原不等式的解集为。‎ ‎ 例3：当为何值时，关于的方程的解是正数？是负数？‎ ‎ 解：时，解是正数；‎ ‎ 时，解为负数。‎ ‎ 例4：解下列不等式：‎ ‎ （1）；　　　　（2）。‎ ‎ 解：（1）原不等式可化为，利用数轴标根法可得解集为。‎ ‎ （2），‎ ‎ 利用数轴标根法得解集为。‎ ‎ 变式：解下列不等式：（1） （2）‎ ‎ 例5：已知不等式的解集为，求实数的值。‎ ‎ ‎ ‎ 解：原不等式可化为，‎ ‎ 由已知，解得。‎ ‎ 例6、解关于的不等式：‎ ‎ （1）； （2）。‎ ‎ 解：（1）当时，解集为；‎ ‎ 当时，解集为；‎ ‎ 当时，解集为。‎ ‎ （2）原不等式可化为，‎ ‎ 当时，解集为；‎ ‎ 当时，解集为；‎ ‎ 当时，解集为。‎ 练习巩固：‎ ‎1、写出下列不等式的解集：‎ ‎（1）的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（2）的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（3）的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（4）的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（5）的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（6）的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（7）的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。‎ ‎2、已知关于的方程。‎ ‎（1）若此方程的解为正数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若此方程的解在区间内，求实数的取值范围。‎ ‎3、若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围。‎ 作业研究：‎ ‎1、若，求不等式的解集。‎ ‎2、解关于的不等式：。‎ ‎3、解下列不等式：‎ ‎（1）；　　　　　　　　　　　（2）；‎ ‎（3）。‎ ‎4、已知集合。若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围。‎ ‎5、已知关于的不等式的解集为，求实数的值。‎ ‎6、已知集合，。若 ‎，求实数的取值范围。‎ 周末作业：‎ ‎1、《导学先锋》 ；‎ ‎2、《知识、方法、实践》每周一练（2）、（4）‎ 周六8：30开始在高一（2）教室上课。‎ ‎《课课精练》课后自己做。‎ ‎ 含绝对值不等式的解法 ‎ 1、解含绝对值不等式的基本方法:把含绝对值的不等式化为不含绝对值的不等式。‎ ‎ 2、去绝对值符号的方法：‎ ‎(1)讨论：‎ ‎(2)、绝对值的几何意义：表示数轴上实数对应的点到原点之间的距离。‎ ‎ 由此知： ；‎ ‎ 。‎ ‎ 3、含绝对值不等式的解法：‎ 例1：解不等式：‎ ‎（1）；　　　 　（2）；‎ ‎（3）； （4）‎ ‎ ‎ 解：（1）；‎ ‎ （2）；‎ ‎ （3）；‎ ‎ （4）‎ ‎ 例2：解不等式：‎ ‎（1）；　　　　（2）；　　　‎ ‎ 解：（1）；‎ ‎ （2）‎ ‎ 说明：一般地，不等式 ‎；‎ 或。‎ ‎ 例3：解不等式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）。‎ ‎ (3)‎ ‎ 解：（1）。‎ ‎ （2）。‎ 说明：解含有两个或两个以上的绝对 值不等式时，一般先找出各个绝对值的零点，这些零点将数轴分成几个相邻的子区间，然后在每一个子区间上分别解不等式，把结论并起来即得原不等式的解集。‎ ‎ ‎ ‎ 例4：解不等式：‎ ‎ (1)； （2）。‎ ‎ (3)‎ ‎ 解：（1）； （2）‎ ‎ 例5：关于的不等式与 ‎ 的解集依次为与，若，求实数的取值范围。‎ ‎ 解：由 ‎ 得 ‎ 所以。‎ ‎ 由。‎ ‎ （1）当，即时，；‎ 由知，则；‎ ‎ （2）当，即时，，‎ 由知，则。‎ ‎ 综上知：实数的取值范围为。‎ ‎ 例6：（1）已知当成立时，也成立，求的取值范围；‎ ‎ （2）关于的不等式解集不是空集，求的取值范围；‎ ‎ （3）关于的不等式恒成立，求的取值范围。‎ ‎ 解：（1）；‎ ‎ （2）；；‎ ‎ （3）。‎ ‎ 例7：如果对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎ 解：方法一：（1）当，即时，‎ ‎ 不等式变为，即。‎ ‎ 当时，不等式成立；当时，，不可能对恒成立；‎ ‎ 当时，对于恒成立，则，得。‎ ‎ 综上知。‎ ‎ （2）当，即时，‎ ‎ 不等式变为，即。‎ ‎ 当时，不等式不成立；‎ ‎ 当时，对于恒成立，则，得；‎ ‎ 当时，，不可能对恒成立。综上有。‎ ‎ 综合（1）、（2）实数的取值范围是。‎ ‎ 方法二：（1）当，即时，‎ ‎ 不等式变为，即。‎ ‎ 令，当时恒成立，‎ ‎ 所以，得；‎ （1） 当，即时，‎ ‎ 不等式变为，即。‎ ‎ 令，当时恒成立，所以，得。‎ ‎ 综合（1）、（2）实数的取值范围是。‎ 练习巩固：‎ ‎1、写出下列不等式的解集：‎ ‎（1）不等式的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（2）不等式的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（3）不等式的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（4）不等式的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（5）不等式组的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。‎ ‎2、解不等式：（1）；　　　（2）。‎ 作业研究：‎ ‎1、解不等式：‎ ‎（1）；　　　　　　　　　　（2）。‎ ‎2、若，解关于的不等式。‎ ‎3、根据下列条件分别写出实数的取值范围：‎ ‎（1）不等式的解集为，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（2）不等式的解集为，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（3）不等式的解集为，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（4）不等式的解集为，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（5）不等式的解集为，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（6）不等式的解集为，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎（7）不等式的解集为，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。‎ ‎ 作业：《导学先锋》‎ ‎2、4 基本不等式及其应用 ‎1、基本不等式 基本不等式1：对于任意实数，有，当且仅当“”时等号成立。‎ 证明：因为，当且仅当“”时等号成立，‎ 所以，所以当且仅当“”时等号成立。‎ 基本不等式2：对于任意正实数，有，当且仅当“”时等号成立。‎ 证明：因为都是正数，由基本不等式1，得 当且仅当“”时等号成立，‎ 即：，当且仅当“”时等号成立。‎ 说明：‎ ‎（1）对于两个基本不等式成立的条件是不同的，基本不等式1对任意实数都成立，而基本不等式2是对正实数而言。‎ ‎（2）算术平均数与几何平均数：‎ 对于正数，称叫做的算术平均数，叫做的几何平均数。‎ 基本不等式2的语言叙述：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。‎ ‎（3）基本不等式的推广：‎ 一般地：个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。即 当且仅当时，等号成立。‎ ‎2、基本不等式的简单应用：‎ 例1：求证：（1）在周长相等的矩形中，正方形的面积最大；‎ ‎　　　　 （2）在面积相等的矩形中，正方形的周长最小。‎ 证明：（1）设矩形的长的宽分别为，‎ ‎ 则同样周长的正方形的边长为。‎ ‎ 矩形面积，正方形面积。‎ ‎ 由基本不等式2知：因为，等号不成立）‎ ‎ 所以，即。‎ ‎ 所以在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。‎ ‎（2）设面积为的矩形的长和宽分别为，‎ 其周长为，正方形的周长为，又，即正方形周长为。‎ 由基本不等式2：，所以（当时等号成立）。‎ 所以，在面积相等的矩形中，正方形的周长最小。‎ 例2：已知，求证：，并指出等号成立的条件。‎ 证明：因为，所以同号，则，‎ 由基本不等式2：，即。‎ 当且仅当，即时等号成立。‎ 例3：求证：对于任意的实数，有，当且仅当 时等号成立。‎ 证明：由基本不等式1，得 ‎ ‎ ‎ 当且仅当时，上述三个不等式的等号都成立，把它们相加，得 ‎ ，即，‎ ‎ 当且仅当时等号成立。‎ 例4：若，且，求证：，并指出等号成立的条件。‎ 例5：若，求证：。‎ 例6：已知，，求证：。‎ 例7：已知均为正实数，且，求证：。‎ ‎ 别忘周六上午选修课，内容《数列》，时间8：30开始。‎ ‎3、极值定理：‎ 对于两正数，若为定值），则有最大值，当且仅当时取最大值；‎ 对于两正数，若为定值），则有最小值，当且仅当时取最小值。‎ 证明：因为，所以，即，当且仅当 时等号成立，所以有最大值。‎ 因为，所以，即，当且仅当时等号成立，所以有最小值。‎ 说明：极值定理在应用过程中一定要注意其前提条件：“一正”——都为正数；“二定”——（或）是定值；“三相等”——当且仅当时取等号。‎ ‎4、极值定理的简单应用：‎ 例8：求下列代数式的最小值：‎ ‎（1）；　　　　　‎ ‎（2）；‎ ‎（3） ‎ ‎（4）‎ ‎（5）。‎ 解：（1）因为，所以，当且仅当，‎ 即时等号成立。所以当时，最小值为。‎ ‎（2）因为，所以，则 ‎，当且仅当即时等号成立，所以当时，的最小值为3。‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5），‎ 因为，所以，则，‎ 当且仅当，即时等号成立。所以的最小值为。‎ 说明：应用极值定理求最值时一定要注意应用条件，验证等号成立的条件必不可缺。‎ 例9：求下列代数式的最大值：‎ ‎（1）；　　　‎ ‎（2）。‎ 解：（1）因为，所以，则，‎ 当且仅当，即时等号成立，所以时，的最大值为1。‎ ‎（2）因为，则，‎ 当，即时等号成立。又，‎ 所以当时，的最大值为1。‎ 作业研究：‎ ‎1、已知且，则下列不等式中正确的是　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；　B、；　C、；　D、。‎ ‎2、对于任意实数，下列不等式恒成立的是　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；　　　　　　B、；‎ C、；　　　　　　D、。‎ ‎3、若，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、的最小值是＿＿＿＿＿＿；‎ ‎5、的最小值是＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎6、已知，的最大值为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎7、若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿。‎ 作业：《课课精练》‎ ‎ 双休日作业：《导学先锋》‎ ‎ ‎ 基本不等式的应用 例1：对于问题：已知，且，求的最小值。有甲、乙、丙三位同学分别给出了下面的不同解法：‎ 甲同学的解法：因为，且，所以 ‎。即的最小值为。‎ ‎　　乙同学的解法：因为，所以 ‎。即的最小值为。‎ 丙同学的解法：因为，当且仅当，即时等号成立，又，所以时的最小值为。‎ 以上三位同学的解法是否正确？说明理由。若不正确，请你给出一种正确的解法。‎ 解：三位同学的解法都不正确。正确的解法如下：‎ 因为，所以。‎ 当且仅当，即，时等号成立。‎ 所以的最小值为。‎ 例2：（1）已知，且，求的最大值。‎ ‎（2）已知，且，分别求与的最小值。‎ ‎（3）已知直角三角形的周长为定值，求此三角形面积的最大值。‎ 解：（1）；‎ ‎（2），。‎ ‎（3）。‎ 例3：已知都为正数，若恒成立，求实数的取值范围。‎ 解：因为都为正数，不等式恒成立，即为 恒成立。所以不小于的最大值。令，则，因为，当且仅当时等号成立。所以，则最大值为，所以。‎ 例4：已知且，求的最大值。‎ 解：因为，所以，又，则＝。当且仅当，即时等号成立。所以的最大值是。‎ 说明：解答本题的关键是在于合理、恰当的等价变形后，利用基本不等式求解。如何“配”定值是关键。‎ 例5：如图：动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的长方形居室，如果可供建造围墙的材料是‎30米，要使居室的面积最大，问如何设计居室的边长？‎ 墙 解：设居室的宽为米，则两间的总长为米，面积 为S。则。‎ ‎。‎ 当且仅当，即时等号成立。即居室的宽为‎5米，两间总长为‎15米时，居室的面积最大为‎75平方米。‎ 例6：两位游客从同一地点出发，沿同一条路走向同一目的地。游客甲先用一半的时间以速度行走，另一半时间以速度行走；游客乙有一半的路程以速度行走，另一半路程以速度行走。问哪一位游客先到达目的地？‎ 解：设路程为，甲用时间为，则；‎ ‎ 乙用时为，则。‎ 因为，所以，则所以，即。所以甲先到达目的地。‎ 例7：建造一个容积为深为的长方形无盖水池，如果池底与池壁的造价分别为每平方米元和元，求水池的最低造价。‎ 解：设池底的长与宽分别为则，池壁面积为 平方米，设水池造价为，那么 ‎。‎ 因为，所以。当且仅当时，等号成立。即当水池的底面为正方形时，水池的造价最低为元。‎ 练习巩固：‎ ‎1、已知，则的大小关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎2、已知，将从小到大排列＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、已知，则有最＿＿＿值，是＿＿＿＿，此时＿＿＿＿＿；‎ ‎4、已知则有最＿＿＿值，是＿＿＿＿，此时＿＿＿＿＿；‎ ‎5、已知，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎6、已知不等式对任意正实数都成立，则正实数的最小值为＿＿＿。‎ 作业研究：‎ ‎1、已知都是正数，若，则的最大值为＿＿＿＿＿；‎ ‎2、已知都是正数，若则的最小值为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、设且，则的最小值为＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、的最大值为＿＿；的最大值为＿＿；‎ ‎5、的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、4；　　　　　　　B、2；　　　　　　C、；　　　　　D、不确定。‎ ‎6、已知，且则下列各式中恒成立的是　　　　　　　　　　　（　　）‎ A、；　　　B、；　　　C、；　　　D、。‎ ‎7、某汽车公司购买了一批客车投入运营。据市场分析，‎ 每辆客车营运的总利润（单位为10万元）与营运年 数为如图的二次函数图像，要使每辆客车营 运的年平均利润最大，则每辆客车的营运年数为（　　）‎ A、3年；　B、4年；　　C、5年；　　D、6年。‎ ‎8、某村要建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留的通道，沿前侧内墙保留的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大面积为多少？‎ 作业:《知识、方法、实践》每周一练（6）‎ ‎2、5 不等式的证明 不等式证明常用方法：‎ ‎（1）比较法：主要是作差比较法；‎ ‎（2）综合法：从已知条件出发，利用某些已经证明过的重要不等式和不等式的基本性质，在严密的演绎推理下，逐步推导出所要证明的不等式。综合法的实质是“由因导果”。‎ ‎（3）分析法：从要求证的不等式出发，逐步寻找欲使不等式成立的充分条件，直到所找的充分条件是已知的不等式为止。分析法的实质是“执果索因”。‎ ‎1、比较法 比较法的依据：。‎ 比较法的一般步骤：‎ ‎（1）作差 ‎（2）变形（配方，分解因式等）‎ ‎（3）确定正负，并下结论。‎ 例1：对于任意的实数，求证：。‎ 证明：因为 ‎。 ‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以， 即。‎ 拓展一：设，，求证：。‎ 证明：‎ 当时，因为，所以，则；‎ 当时，则，所以，‎ 综上知。所以。‎ 拓展二：设，求证：。‎ 证明：‎ 当时，因为，所以，则；‎ 当时，则，所以，‎ 综上知：，所以。‎ 例2：若是两个不相等的正实数，求证：。‎ 证明：略。‎ ‎2、综合法：从已知条件出发，利用某些已经证明过的重要不等式和不等式的基本性质，在严密的演绎推理下，逐步推导出所要证明的不等式。综合法的实质是“由因导果”。‎ 例3：已知，求证：‎ ‎。‎ 证明：略。‎ 例4：已知，求证：‎ ‎，当且仅当“”时等号成立。‎ 证明：略。‎ 并介绍平均不等式及推广。‎ 例5：是不全相等的正实数，且，‎ 求证：。‎ 证明：略。‎ ‎3、分析法：从要求证的不等式出发，逐步寻找欲使不等式成立的充分条件，直到所找的充分条件是已知的不等式为止。分析法的实质是“执果索因”。‎ ‎ 例6：设，求证：。‎ 证明：略。‎ 例7：设，且。求证：。‎ 证明：略。‎ ‎4、不等式证明综合举例 例8：已知，求证：。‎ 证法一：因为 ‎ ＝ （因为），‎ ‎ 所以。‎ 证法二：因为，则，‎ 欲证，‎ 即证，‎ 只需证明：，又，‎ 只需证明：。‎ 由，成立。‎ 所以。‎ 证法三：因为，所以，又，‎ 则，即，‎ 两边同除以，得。‎ 例9：已知，求证：。‎ 证法一：因为，，所以。‎ 证法二：因为，欲证：‎ 即证：，即证：，‎ 只需证：，由题设知此不等式成立，所以。‎ 例10：已知是不全相等的正数，求证：。‎ 证明：左边＝‎ ‎＝。又：，三式相加得：，又不全相等，所以三等号不同时成立，即 ‎，所以。原不等式成立。‎ 例11：已知都是正数，且，求证：。‎ 证明：因为，所以，又，。三式相加得：‎ ‎，又不全相等，那么三个等号不同时成立，所以，即。‎ 例12：已知，且，求证：。‎ 证法一：因为，所以，得所以。‎ 又＝。‎ 证法二：，由，则，所以。即原不等式成立。‎ 说明：本例还有其它很多的证明方法，可以让同学思考。‎ 例13：设是两个互不相等的正数，且，求证：。‎ 证明：由，得，因为，所以。则，即，所以由是两个互不相等的正数，所以，即，由，得，由，得，所以。‎ 例14：已知实数满足：。‎ ‎（1）求证：；　　‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求证：；‎ ‎（4）若恒成立，求实数的取值范围。‎ 解：因为，令，则，且。‎ ‎（1）要证，即证时，。由知，，所以，而，所以成立，即原不等式成立。‎ ‎（2）由（1）且，相加得：，即，所以原不等式成立。‎ 说明：以上两题的证明方法是“放缩法”，一般情况下的“放缩”比较难，尺度难以把握。‎ ‎（3）要证，即证。‎ 因为，所以原不等式成立。‎ 说明：此例的证明就不好利用上面的“放缩法”。‎ ‎（4）若恒成立，即对于正数恒成立，所以，又，则，即实数的取值范围为。‎ 说明：本题的解题关键是简化分母，这样在证明、求解过程中可以简少运算量。‎ 例15：记，求证：，，中至少有一个不小于。‎ 证明：用反证法，过程略。‎ 课堂小结：‎ 本课主要讨论了不等式证明的三种基本方法：比较法、分析法与综合法。比较法是不等式证明的最基本方法，分析法要注意书写步骤，综合法是从重要不等式出发结合问题的条件利用不等式的基本性质推出要证明的不等式。不等式的证明还有很多的方法：如综合分析法、反证法、放缩法等。‎ 作业研究：‎ ‎1、已知，且，求证：。‎ ‎2、已知，，求证：。‎ ‎3、设，求证：。‎ ‎4、已知都是正数，求证：‎ ‎（1）；　（2）；　　（3）‎ ‎。‎ ‎5、若都是正数，求证：。‎ ‎6、已知，求证：。‎ ‎7＊、已知都是正数，，求证：。‎ ‎8＊、已知，且，求证：。‎ ‎9＊、已知，且，求证：与中至少有一个小于。‎ ‎10＊、若，求证：。‎ 作业:《导学先锋》‎ 简单无理不等式的解法 ‎1、无理不等式的概念：‎ 在根号内含有未知数的不等式称为无理不等式。本节主要探讨简单无理不等式的解法，简单的无理不等式是指二次根式内含有未知数的不等式，且二次根式内是关于未知数的一次或二次整式。‎ ‎2、无理不等式的基本类型：‎ ‎（1）与同解；‎ ‎（2）与或同解；‎ ‎（3）与同解。‎ ‎3、无理不等式的解法：‎ 例1：解不等式：（1）；　　　（2）。‎ 解：（1）不等式等价于，即，‎ ‎ 所以原不等式的解集为。‎ ‎（2）不等式等价于，即，‎ 所以原不等式的解集为。‎ 说明：解无理不等式，一般先确定出不等式有意义的自变量的取值范围，再用平方的方法去根式，要注意变形的同解性。‎ 例2：解不等式：。‎ 解：方法一：原不等式等价于，即，‎ 所以原不等式的解集为。‎ 方法二：令，则，且，‎ 不等式变为，解得或（舍），‎ 所以。所以原不等式的解集为。‎ 说明：若无理不等式只含一个根式，且根号内为一次函数的根式问题可以采用换元转化。‎ 例3：解不等式：（1）；　　‎ ‎ （2）。‎ 解（1）不等式化为：‎ 解得，所以原不等式的解集为。‎ ‎（2）不等式可以化为：‎ ‎　　①　　　或　　②‎ ‎ 解不等式组①得：；解不等式组②得：。‎ ‎ 所以原不等式的解集为。‎ 例4：解关于的不等式：，其中。‎ 解：不等式等价于：‎ ‎（1） 或（2）。‎ 解不等式组（1）：‎ ‎①若，无解；‎ ‎②若，则，得；‎ ‎③若，则，得。‎ ‎ 解不等式组（2），即。‎ ‎　　①若，无解；‎ ‎②若，则，得；‎ ‎③若，则，得。‎ 综上知：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；‎ ‎ 当时，不等式的解集为。‎ 说明：对于含参问题的讨论要分出讨论的层次，尤其是既要讨论参数又要讨论变量时更要注意讨论的分类标准。‎ 作业研究：‎ ‎1、解不等式：‎ ‎（1）；　　　　　　　　　　　（2）；‎ ‎（3）；　　　　　　（4）。‎ ‎2、已知，解关于的不等式：。‎ ‎3、已知，解关于的不等式：。‎ ‎4、已知关于的不等式的解集为，求实数的值。‎ ‎5、已知关于的不等式的解集为，求实数的值。‎