湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试 数学(文)

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湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试 数学(文)

武昌区2020届高三年级元月调研考试 文科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合 ,,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数满足,则在复平面内对应的点位于 ‎ A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知是各项均为正数的等比数列,,,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知,,,则,,的大小关系为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.等腰直角三角形中,,,点是斜边上一点,且,则 ‎ ‎ A. B. C.2 D.4 ‎ ‎6.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ‎·10·‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知数列中,,,设,则数列的前项和为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,平面,,,则球O的表面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知双曲线的左焦点为,点为其右支上任意一点,点的坐标为,‎ 则周长的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎10.函数(,,)的部分图象如图所示,给出下列说法:‎ ‎①直线为函数的一条对称轴;‎ ‎②点为函数的一个对称中心;‎ ‎③函数的图象向右平移个单位后得到 函数的图象.‎ 其中,正确说法的个数是 ‎ A.0 B‎.1 ‎‎ C.2 D.3 ‎ ‎11.已知直线与抛物线交于不同的两点,,直线,的斜率分别为,,且,则直线恒过定点 A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数若函数的图像上存在关于坐标原点对称的点,则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎·10·‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.函数的最大值为______. ‎ ‎14.若直线:被圆:截得的线段最短,则实数的值为______. ‎ ‎15.已知一组数据10,5,4,2,2,2,,且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2 倍,则所有可能的取值为______. ‎ ‎16.如图,已知平行四边形中,,,为边的中点,将 沿直线翻折成.若为线段的中点,则在翻折过程中,有下列三个命题:‎ A B E C D M A1‎ ‎①线段的长是定值;‎ ‎②存在某个位置,使;‎ ‎③存在某个位置,使平面.‎ 其中正确的命题有______. ‎ ‎(填写所有正确命题的编号)‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(本题12分)‎ 在锐角中,角、、的对边分别为、、,且.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求的面积的最大值.‎ ‎·10·‎ ‎18.(本题12分)‎ A1‎ C B A B1‎ D C1‎ E F 如图,在直三棱柱中,,,,,分别为,,的中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.(本题12分)‎ 为了增强消防意识,某部门从男,女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试(满分为100分),这40名职工测试成绩的茎叶图如下图所示:‎ 男 女 ‎8 6 5 5 6 8 9‎ ‎9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8‎ ‎9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5‎ ‎2 1 1 0 0 9 0‎ ‎(1)根据茎叶图判断男职工和女职工中,哪类职工的测试成绩更好?并说明理由;‎ ‎(2)(ⅰ)求这40名职工成绩的中位数,并填写下面列联表:‎ 超过的人数 不超过的人数 男职工 女职工 ‎(ⅱ)如果规定职工成绩不少于m定为优秀,根据(ⅰ)中的列联表,能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关?‎ ‎ 附:.‎ P()‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎·10·‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20.(本题12分)‎ 已知椭圆:的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点,且焦点到椭圆上的点的最短距离为1. ‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点的直线与椭圆交于,两点,点关于轴的对称点为,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ ‎21.(本题12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若有两个极值点,,且至少存在两个零点,求的取值范围. ‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题10分)‎ 在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为.‎ ‎ (1)写出的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)若与轴交于点,与相交于、两点,求的值.‎ ‎·10·‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲] (本题10分)‎ ‎ (1)已知,若存在实数,使成立,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若,,且,求证:.‎ ‎·10·‎ 武昌区2020届高三年级元月调研考试 文科数学参考答案及评分细则 一、选择题: ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A B D D C A C D C C B 二、填空题: ‎ ‎13. 14. 15. ,3,17 16. ①③‎ 三、解答题: ‎ 解:(1)由正弦定理,知,‎ 即,,,‎ 所以. ………………………………………(4分)‎ ‎(2)由余弦定理,知,即,‎ 所以,当且仅当时取等号.‎ 所以,所以. …………………………………(12分)‎ ‎18.(本题12分)‎ 解:(1)因为,,所以.‎ 因为平面,平面,‎ A1‎ C B A B1‎ D C1‎ E F 所以.‎ 因为,所以平面.‎ 因为平面,所以.‎ 易证,因为,‎ 所以平面. ……………(6分)‎ ‎(2)取的中点,连结交于.‎ ‎·10·‎ 由(1)知平面,而,‎ 所以平面.‎ 连结,则为直线与平面所成的角.‎ 在,求得.‎ 又因为,所以. ……………(12分)‎ ‎19.(本题12分)‎ 解:(1)由茎叶图可知,男职工的成绩更好,理由如下:‎ ‎①男职工的成绩的中位数为85.5分,女职工的成绩的 中位数为73.5分;‎ ‎②男职工的成绩的的平均数髙于80分,女职工的成绩的平均数低于80分;‎ ‎③男职工的成绩中,有的成绩不少于80分,女职工的成绩中,有的成绩至多79分;‎ ‎④男职工的成绩分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;女职工的成绩的分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.‎ 因此,男职工的成绩更好. ……………………(4分)‎ ‎(注:以上给出了4种理由,考生答出其中一种或其他合理理由均可得2分)‎ ‎(2)(ⅰ)由茎叶图可知:,列表如下:‎ 超过 不超过 男职工 ‎15‎ ‎5‎ 女职工 ‎5‎ ‎15‎ ‎ ……………(8分)‎ ‎(ⅱ)由表中数据,计算,所以,有的把握认为消防知识是否优秀与性别有关. ……………(12分)‎ ‎20.(本题12分)‎ 解:(1)由及,得,.‎ 所以,椭圆的方程为. ……………(4分)‎ ‎(2)设直线的方程为,代入椭圆方程,并整理,得 ‎.由,得.‎ 设,,则,.‎ 因为,所以,于是,直线的方程为.‎ ‎·10·‎ 即,,‎ 将,,,代入, ‎ 得,所以,直线过定点. ……………(12分)‎ 另解:在中,令,得 ‎.‎ 所以,直线过定点. ……………(12分)‎ ‎21.(本题12分)‎ 解:(1)的定义域为,且.‎ 令,得或.‎ 当时,,在单调递减,在单调递增;‎ 当时,在单调递减,在单调递增,在单调递减;‎ 当时,在单调递减;‎ 当时,在单调递减,在单调递增,在单调递减. (5分)‎ ‎(2)由(1)知,或.‎ 因为,所以不合题意.‎ 因为时,在单调递减,在单调递增,在单调递减.‎ 所以即 解得.‎ 此时.‎ 记,则.‎ 因为,所以,所以在区间单调递减,‎ 所以,解得.‎ ‎·10·‎ 所以,的取值范围为. ……………(12分)‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题10分)‎ 解:(1)方程可化为.‎ 方程可化为. ……………(5分)‎ ‎(2)将代入,得.‎ 设方程的两根分别为,,则. ……10分)‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲] (本题10分) ‎ 解:(1)方法一:因为,‎ 因为存在实数,使成立,‎ 所以,解得. ……………(5分)‎ 方法二:当时,符合题意.‎ 当时,因为所以.‎ 因为存在实数,使成立,所以.‎ 当时,同理可得.‎ 综上,实数的取值范围为. ……………(5分)‎ ‎(2)因为,‎ 所以,‎ 当且仅当或时取等号. ……………(10分)‎ ‎·10·‎
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