湖南省常德市2020届高三高考模拟考试（一）数学（理）试题

湖南省常德市2020届高三高考模拟考试（一）数学（理）试题

理科数学试卷一 总分：150分 时量:120分钟 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合P=，Q=，则PQ=____（桃源县第四中学）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ 答案：由已知得Q=[-1，6] P=（-5，6）故PQ=[-1，6]故选C ‎2.设复数满足 ，则下列说法正确的是 ( ) (桃源一中)‎ A. 的虚部为 B.为纯虚数 C. D. 在复平面内，对应的点位于第二象限 答案：C 由得，‎ ‎3.设等差数列的前项的和为，若，，则 ( ) (桃源一中)‎ A. 37 B.16 C. 13 D. -9‎ 答案：B 设等差数列的公差为d，由得：，‎ 将代入上式解得，故 ‎（法二：，又，所以，由得，‎ 故 ‎4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数(AQI)小于100‎ ‎·17·‎ 表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中)‎ A．这16日空气重度污染的频率为0.5‎ B．该市出现过连续4天空气重度污染 C．这16日的空气质量指数的中位数为203‎ D． 这16日的空气质量指数的平均值大于200‎ 答案：D 这16日空气重度污染的频率为故A正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B正确；中位数为，故C正确；‎ ‎，（也可根据图形判断，8个数据大于200，8个数据小于200，小于200的8个数据整体与200相差较大），故D不正确.‎ ‎5.已知为抛物线：上一点，为的焦点，若，则的面积为 ( ) (桃源一中)‎ A. B. C. D.‎ 答案：A 设，抛物线的焦点，准线为，由抛物线的定义可知：‎ 代入的方程得，‎ ‎·17·‎ ‎6.函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图像，则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中)‎ A．函数的最大值为3 B．函数关于点对称 ‎ C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为 答案：B 由图可知，，，将点代入，得，故，右平移个单位长度得：‎ ‎，故A，C，D正确 ，选B ‎7.已知向量a与a+b的夹角为，| a |=1，| b |=，则ab= ( ) (桃源一中)‎ A. B.C. D.或 答案：A 如图，，由余弦定理：，‎ 已知，代入上式得，，故，即，‎ 法二：设与的夹角为，由题设 ，‎ ‎·17·‎ 即，所以，‎ 即，所以或，经检验，不符合(1)式，舍去，故 ‎8.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为100秒，且一次亮红灯的时间不超过70秒，一次亮绿灯的时间不超过60秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为 ( ) (桃源一中)‎ A. B. C. D.‎ 答案：C 设亮绿灯的时间随机设置为t秒，则，亮红灯的时间，所以，亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为，由几何概型的概率公式知：‎ ‎9.的展开式中的常数项为 ( ) (桃源一中)‎ A. B. C. D.‎ 答案：B的通项为，所以的展开式中的常数项为和，又，所以的展开式中的常数项为180‎ ‎10.设函数，则不等式的解集为 ( ) (桃源一中)‎ ‎·17·‎ A. B. C. D.‎ 答案：D 的定义域为，考虑函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，g(x)的图像向右平移1个单位得到的图像，所以函数关于x=1对称，在上单调递减，在上单调递增.‎ 由，可得，解得：且 ‎ ‎ 甲的三视图图三 乙的三视图三 甲的三视图三 乙的三视图三 ‎11.几何体甲与乙的三视图如右图，几何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形，且等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等，若几何体甲与乙的体积相等，则几何体甲的外接球的表面积与几何体乙的表面积之比为 ( ) (桃源一中)‎ A. B. C. D.‎ 答案：B 由三视图可知甲为圆锥，乙为球，设球的半径为，设圆锥底面半径为，则圆锥高，因为甲与乙的体积相等，所以，即，；设圆锥的外接球半径为，则即，，故几何体甲的外接球与几何体乙的表面积之比为.‎ ‎·17·‎ ‎12.已知函数，（其中a为常数），则下列说法中正确的个数为 ( ) (桃源一中)‎ ‎①函数恰有4个零点； ②对任意实数a，函数至多有3个零点；‎ ‎③若a≤0，则函数有且仅有3个零点；‎ ‎④若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为(桃源一中)‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ‎ 答案：B 当时，的图像为抛物线的一部分 当时，当时，，所以时，，单调递增，时，，单调递减，画出的图像如图所示，由图可知恰有3个零点，故①不正确；‎ P 设的过原点的切线的斜率为，切点为，，由 ‎·17·‎ ‎，解得 在处的切线的斜率为，‎ 因为零点个数，即函数与的交点个数，‎ 由图可知：时，有1个交点；时，有2个交点；时，有3个交点；‎ 时，有4个交点；时，有3个交点.所以 ②不正确；③④正确.‎ ‎（说明：显然是的零点，x0时，也可转化为零点的个数问题，也可以画图得出答案）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）‎ ‎13.已知函数，则曲线在处的切线方程为____.(桃源一中)‎ ‎14已知实数满足约束条件则的最小值为 -2 ‎ ‎ ‎ ‎15.已知数列的各项为正，记为的前项和，若，，‎ 则___121________.(桃源一中)‎ ‎·17·‎ ‎16. 已知双曲线C:，是坐标原点，是的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为且为直角，记和的面积分别为和，若，则双曲线的离心率为 ‎ ‎ 答案：.或 ‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题12分）已知向量m，n，且函数mn.‎ ‎(Ⅰ)若，且，求的值；‎ ‎(Ⅱ)在锐角中，角的对边分别为，若的面积为，‎ 且，求的周长. (桃源一中)‎ 解：(Ⅰ)mn………………(2分）‎ ‎，‎ 又，， ……………………(4分）‎ 所以……………………(6分）‎ ‎(Ⅱ)因为，所以，即 由正弦定理可知，又所以 ……………………(8分）‎ ‎·17·‎ 由已知的面积，可得，又 ‎……………………(10分）‎ 由余弦定理得，故，从而 所以的周长为……………………(12分）‎ ‎18．（本小题12分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，，是的中点．‎ ‎(Ⅰ)在线段上找一点，使得平面，并证明；‎ ‎(Ⅱ)在(1)的条件下，若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．(桃源一中)‎ 解：(Ⅰ)是线段PA的中点，……………………(1分）‎ 证明：连接BE，OE，OB，‎ ‎∵O是AD的中点，∴，‎ 又平面，平面，∴平面，……………………(3分）‎ 又∵底面是直角梯形，，∴，‎ 又平面，平面，∴平面，……………………(4分）‎ ‎·17·‎ ‎∵平面，平面，，‎ ‎∴平面平面，‎ 又平面，∴平面．……………………(6分）‎ ‎（也可通过线线平行来证明线面平行）‎ ‎(Ⅱ)∵平面平面，，‎ ‎∴，∴平面，且，，‎ 以为原点，如图建立空间直角坐标系，……………………(8分）‎ 得，，，，，‎ 得，，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，得，取，‎ 得，……………………(10分）‎ 又易知是平面的一个法向量，设平面与平面所成的锐二面角为，‎ 则，‎ 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……………………(12分）‎ ‎19．（本小题12分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取费的标准是：不超过1kg的包裹收费8元；超过1kg的包裹，在8元的基础上，每超过1kg(不足1kg，按1kg计算)‎ ‎·17·‎ 需再收4元．‎ 该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1)：‎ 包裹质量（kg)‎ ‎（0，1]‎ ‎（1，2]‎ ‎（2，3]‎ ‎（3，4]‎ ‎（4，5]‎ 包裹件数 ‎43‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎4‎ 表1：‎ 公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数，列表如下(表2)：‎ 表2：‎ 件数范围 ‎(0，100]‎ ‎(100，200]‎ ‎(200，300]‎ ‎(300，400]‎ ‎(400，500]‎ 天数 ‎5‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎5‎ ‎5‎ 每天承揽包裹的件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ ‎(Ⅰ)将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在(100，300]内的概率；‎ ‎(Ⅱ) ①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：‎ ‎②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用．目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元．公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人? (桃源一中)‎ 解：(Ⅰ)将频率视为概率，样本中包裹件数在(100，300]内的天数为，‎ 频率为，故该公司1天揽件数在(100，300]内的概率为………(2分）‎ 未来3天包裹件数在(100，300]内的天数X服从二项分布，即 所以未来3天内恰有1天揽件数在[100，299]内的概率为：‎ ‎………(5分）‎ ‎·17·‎ ‎(Ⅱ) ①由题 可知，样本中包裹质量（kg)、快递费（元）、包裹件数如下表所示：‎ 包裹质量（kg)‎ ‎（0，1]‎ ‎（1，2]‎ ‎（2，3]‎ ‎（3，4]‎ ‎（4，5]‎ 快递费（元）‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎24‎ 包裹件数 ‎43‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎4‎ 所以每件包裹收取快递费的平均值为 ‎………(7分）‎ ‎②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12（元）‎ 若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：‎ 件数范围 ‎(0，100]‎ ‎(100,200]‎ ‎(200,300]‎ ‎(300，400]‎ ‎(400，500]‎ 天数 ‎5‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎5‎ ‎5‎ 每天承揽包裹的 件数Y ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 概率P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 每天承揽包裹的件数Y的期望E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+450×0.1=240‎ 公司每日利润的期望值为元………(9分）‎ 若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如下：‎ 件数范围 ‎(0，100]‎ ‎(100，200]‎ ‎(200，300]‎ ‎(300，400]‎ ‎(400，500]‎ 天数 ‎5‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎5‎ ‎5‎ 每天承揽包裹 的件数Y ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎400‎ 概率P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 每天承揽包裹的件数Y的期望E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+400×0.1=235‎ 公司每日利润的期望值为元………(11分）‎ 因为560<620 ，所以公司应将前台工作人员裁员1人．………(12分）‎ ‎·17·‎ ‎20.有一种曲线画图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；‎ ‎（2)设为曲线C的右焦点，为曲线C上一动点，直线斜率为，且与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点，使得,若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.（芷兰实验学校谌兴明供题）‎ 解（1）设则，则及 ‎（2）设直线的方程为，‎ 将代入，得；‎ 设，线段的中点为，‎ ‎，‎ ‎·17·‎ 即 因为所以直线为线段的垂直平分线，‎ 所以，则，即 ，‎ 所以，‎ 当时，因为，所以，‎ 当时，因为，所以.‎ 综上，存在点，使得，且的取值范围为 ‎21．（本小题12分）已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）若，求实数的值； （2）证明：.（常德市一中）‎ 解：（1）法一：‎ 当时，与恒成立矛盾，不合题意；‎ 当时，，令，则，‎ 所以在上递增，又，‎ 故存在，使，且，‎ 当时，，，递减，‎ 当时，，，递增 所以 故，即，令，‎ ‎·17·‎ 则，知在上递增，在上递减，‎ 所以，要使，当且仅当 综上，实数的值为1‎ 法二：，令 则等价于，对任意恒成立，令，‎ 当时，与恒成立矛盾，不合题意；‎ 当时，，与恒成立矛盾，不合题意；‎ 当时，，在上递减，在上递增，‎ 所以的最小值为 令，则，知在上递增，在上递减，‎ 所以，要使，当且仅当 ‎（2）由（1）知，当时，，即，‎ 所以，‎ 下面证明，即证：‎ 令，‎ 当时，显然单调递增，，‎ 所以在上单调递减，，‎ 当时，显然，即 故对一切，都有，即 故原不等式成立 ‎22．(本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系中，直线：，曲线 ：(为参数,)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎·17·‎ ‎(Ⅰ)说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程.‎ ‎(Ⅱ)曲线的极坐标方程为()，其中，且曲线 分别交，于点，两点，若，求的值. (桃源一中)‎ 解：(Ⅰ) 由消去参数得：‎ 的普通方程为，……………………（2分）‎ 则是以为圆心，为半径的圆. ……………………（3分）‎ ‎∵，‎ ‎∴的极坐标方程为，‎ 即的极坐标方程为，……………………（5分）‎ ‎(Ⅱ)曲线极坐标方程为()，，且 所以曲线的直角坐标方程为 由解得：，……………………（7分）‎ ‎，……………………（8分）‎ 故点B的极坐标为，‎ 代入得……………………（10分）‎ ‎23．(本小题满分10分) [选修4-5：不等式选讲]‎ 设函数.‎ ‎·17·‎ ‎(I)若，求不等式的解集;‎ ‎(II)已知关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ 解：( I) 时，，‎ 由得不等式的解集为. …………(5分)‎ ‎(II)由题知在上恒成立，‎ 且当时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， …………(7分)‎ 又函数在上的最小值为，‎ ‎，即的取值范围是. …………(10分)‎ ‎·17·‎