2018-2019学年福建省惠安惠南中学高一12月月考数学试题（解析版）

2018-2019学年福建省惠安惠南中学高一12月月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省惠安惠南中学高一12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．在范围内，与角终边相同的角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，求出结果．‎ ‎【详解】‎ 与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，令k＝1，可得与角终边相同的角是，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查终边相同的角的定义和表示方法，得到 与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，是解题的关键 ‎2．已知角的终边经过点，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.‎ ‎【考点】三角函数的概念.‎ ‎3．若，则在( )‎ A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 ‎【答案】B ‎【解析】因为正余弦同号，那么只有在第一象限和第三象限时满足，故选B。‎ ‎4．函数的零点所在的一个区间是(　　)‎ A．(－1,0) B．(－2，－1) C．(0,1) D．(1,2)‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，，‎ ‎∴的零点在区间上，‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎5．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径cm，则扇形的周长为（ ）‎ A．cm B．60cm C．cm D．1 080cm ‎【答案】C ‎【解析】由条件利用扇形的弧长公式，求得扇形的弧长l的值，可得扇形的周长为l+2r 的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的弧长l＝α•rπ•20＝6π（cm），‎ 则扇形的周长为l+2r＝6π+2×20＝（6π+40）cm，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查角度与弧度的互化，弧长公式的应用，属于基础题．‎ ‎6．已知,则的值为(　　)‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：,解得，.‎ ‎【考点】同角三角函数的基本关系。‎ ‎7．已知，则等于 ( )‎ A．0 B． C． D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据分段函数的解析式可知，f （﹣3）＝0，f[f （﹣3）]＝f（0）＝π．‎ ‎【详解】‎ f（x），f （﹣3）＝0，‎ ‎∴f[f （﹣3）]＝f（0）＝π，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的解析式，考查分段函数的求值，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎8．下列不等式中，正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．cos55°>tan35°‎ ‎【答案】C ‎【解析】对4个选项中的三角函数值分别求值，再进行判断，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 对于A，tan1，tan，即A不正确；‎ 对于B，tantan，即B不正确；‎ 对于C，，正确；‎ 对于D，cos 55°≈0.57，tan 35°≈0.70，即D不正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数值大小比较，考查诱导公式的运用，比较基础．‎ ‎9．集合，，则（ ）‎ A．{－1，0，1} B．{0，1} C．Æ D．{0}‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别解出M与N，求出两集合的交集即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵M＝{x|x＝sin，n∈Z}＝{，0，}，‎ N＝{x|x＝cos，n∈N}＝{﹣1，0，1}，‎ ‎∴M∩N＝{0}，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．‎ ‎10．函数的图像的大致形状是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，又由可得函数图象选B。‎ ‎11．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】得到的偶函数解析式为，显然 ‎【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.‎ ‎12．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为对任意恒成立，所以，则或，当时，，则（舍去），当时，，则，符合题意，即，令，解得，即的单调递减区间是；故选A.‎ 二、填空题 ‎13．函数，若，则____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：，‎ ‎【考点】函数求值 ‎14．函数，的值域是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得∈[，]，由余弦函数可得最值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴∈[，]，‎ ‎∴当，即x＝时，函数取最小值，‎ 当即x时，函数取最大值1，‎ 故函数的值域为[，1]‎ 故答案为：[，1]‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的最值，属基础题．‎ ‎15．函数的零点个数 ________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由lnx﹣x+3＝0得lnx＝x﹣3，在同一坐标系内画出函数y＝x﹣3与y＝lnx的图象，利用图象得结论．‎ ‎【详解】‎ 由lnx﹣x+3＝0得lnx＝x﹣3，在同一坐标系内画出函数y＝x﹣3与y＝lnx的图象，‎ 因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数．‎ 由图得交点2个 故函数f（x）＝lnx﹣x+3的图象的零点的个数是2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点个数的判断和数形结合思想的应用．在判断函数零点个数时，常转化为对应方程的根，利用根的个数得结论或转化为对应两个函数的图象的交点，利用两个函数的图象的交点个数来判断．‎ ‎16．关于函数，有下列命题：‎ ‎（1）为偶函数；‎ ‎（2）要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度；‎ ‎（3）的图象关于直线对称；‎ ‎（4）在内的增区间为和．‎ 其中正确命题的序号为_______．‎ ‎【答案】(2)(3)‎ ‎【解析】略 三、解答题 ‎17．是单位圆上的点,点是单位圆与轴正半轴的交点,点在第二象限,记,且.‎ ‎(1)求点的坐标;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据角的终边与单位交点为（），结合同角三角函数关系和，可得B点坐标；（2）由（1）中结论，结合诱导公式化简，代入可得答案 试题解析：（1）∵点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．‎ 设B点坐标为（x，y），‎ 则y=sin ．‎ x=‎ 即B点坐标为：‎ ‎（2）‎ ‎【考点】1．三角函数定义；2．同角三角函数基本关系及诱导公式 ‎18．．‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）已知是第三象限角，若，求的值；‎ ‎（3）若，求的值．‎ ‎【答案】(1) (2) (3)‎ ‎【解析】（1）直接根据诱导公式化简即可．‎ ‎（2）首先根据诱导公式以及已知条件得出sin（a）＝cosa，然后代入即可得出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ ‎.‎ ‎(2)∵，‎ 又，∴.‎ 又是第三象限角，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎(3)‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，考查计算能力．‎ ‎19．已知函数 ‎ ‎ ‎(1)用“五点法”作出在上的简图;‎ ‎(2)写出的对称中心以及单调递增区间;‎ ‎(3)求的最大值以及取得最大值时的集合.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）,，最大值为2,此时,.‎ ‎【解析】（1）根据的范围求出的取值范围，然后按照“列表、描点、连线”的步骤画出函数的图象．（2）将作为一个整体，并结合正弦函数的相应性质求解．（3）根据的范围，并结合函数的图象求解可得函数的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵，‎ ‎∴．‎ 列表如下：‎ ‎2 +‎ ‎0‎ π ‎2‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ 画出图象如下图所示：‎ ‎(2)由，‎ 得，‎ ‎∴函数的图象的对称中心为．‎ 由，‎ 得，‎ ‎∴函数的增区间为，k∈Z．‎ ‎(3)当，即时，‎ 函数取得最大值，且最大值为2．‎ ‎∴函数的最大值为2，此时．‎ ‎【点睛】‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质是考查的重点，也是高考热点，解题时尽可能可能使用数形结合的思想方法，如求解函数的周期、函数图象的对称轴、对称中心和单调区间等．‎ ‎20．已知函数的图象关于直线对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.‎ ‎(1)求和的值 ‎(2)若,求的值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω＝2．再根据图象关于直线x对称，结合φ可得 φ 的值．‎ ‎（2）由条件求得sin（α）．再根据α的范围求得cos（α）的值，再利用诱导公式计算求得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为的图象上相邻两个最高点的距离为,‎ 所以的最小正周期,从而.‎ 又因为的图象关于直线对称,‎ 所以,.‎ 因为,所以.‎ ‎(2)由(1)得,‎ 所以.‎ 由,得,‎ 所以 ‎.‎ 因此 ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．‎ ‎21．． (12分)如图所示，函数的一段图象过点．‎ ‎（1）求函数的表达式；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求函数的最大值，并求此时自变量的取值集合．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由图知，T＝π，从而知ω＝2，由2×（）+φ＝0，可求得φ，f1（0）＝1可求得A，从而可求函数f1（x）的表达式；‎ ‎（2）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得y＝f2（x）＝f1（x）＝2sin（2x），从而可求y＝f2（x）的最大值及取最大值时的自变量的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由图知，T（）＝π，‎ ‎∴ω2；‎ 又2×（）+φ＝0，‎ ‎∴φ，‎ ‎∴f1（x）＝Asin（2x），‎ 又f1（0）＝1，即Asin1，‎ ‎∴A2，‎ ‎∴f1（x）＝2sin（2x）；‎ ‎（2）∵y＝f2（x）＝f1（x）＝2sin[2（x）]＝2sin（2x），‎ ‎∴当2x2kπ（k∈Z），即{x|x＝kπ（k∈Z）}时，y＝f2（x）取得最大值2．‎ 又-2x，解得-x+，（k∈Z），‎ 所以的增区间为，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的最值，属于中档题．‎ ‎22．已知定义域为的函数是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）证明函数在上是减函数；‎ ‎（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）1‎ ‎（2）略 ‎（3）‎ ‎【解析】解：（1）因为是奇函数，且定义域为R，所以，‎ ‎…….5分 ‎（2）证明：由（Ⅰ）知，‎ 令，则，‎ ‎＞０，‎ 即函数在R上为减函数…….10分 ‎（3）是奇函数，因为减函数，‎ ‎，即对一切横成立，‎ ‎…….15分